高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.7 函数的图象课件(理).ppt

第七节函数的图象 知识梳理 1 利用描点法作函数图象的基本步骤及流程 1 基本步骤 列表 连线 描点 2 流程 确定函数的定义域 化简函数解析式 讨论函数的性质 奇偶性 单调性 周期性 对称性等 列表 尤其注意特殊点 零点 最大值点 最小值点 与坐标轴的交点等 描点 连线 2 平移变换 右移 左移 上移 下移 f x b 3 伸缩变换 伸长 缩短 f x 伸长 缩短 A A 4 对称变换y f x y y f x y y f x y f x f x f x 5 翻折变换y f x y y f x y f x f x 特别提醒 1 函数对称的重要结论 1 函数y f x 与y f 2a x 的图象关于直线x a对称 2 函数y f x 与y 2b f 2a x 的图象关于点 a b 中心对称 3 若函数y f x 对定义域内任意自变量x满足 f a x f a x 则函数y f x 的图象关于直线x a对称 2 函数图象平移变换八字方针 1 左加右减 要注意加减指的是自变量 2 上加下减 要注意加减指的是函数值 小题快练 链接教材练一练1 必修1P112A组T4改编 小明骑车上学 开始时匀速行驶 途中因交通堵塞停留了一段时间后 为了赶时间加快速度行驶 与以上事件吻合得最好的图象是 解析 选C 距学校的距离应逐渐减小 由于小明先是匀速运动 故第一段是直线段 途中停留时距离不变 最后一段加速 最后的直线段比第一段下降得快 故应选C 2 必修1P113B组T2改编 如图 在不规则图形ABCD中 AB和CD是线段 AD和BC是圆弧 直线l AB于E 当l从左至右移动 与线段AB有公共点 时 把四边形ABCD分成两部分 设AE x 左侧部分面积为y 则y关于x的大致图象为 解析 选D 因为左侧部分面积为y 随x的变化而变化 最初面积增加得快 后来均匀增加 最后缓慢增加 只有D选项适合 感悟考题试一试3 2016 漳州模拟 已知函数f x x 则函数y f x 的大致图象为图中的 解析 选B 方法一 因为f 1 f 1 所以函数f x 为非奇非偶函数 可排除A C 因为所以排除D 方法二 f x 当x 0时 f x x 2 当且仅当x 即x 1时取得等号 故函数f x 在 0 1 上单调递减 在 1 上单调递增 排除C D 当x 1时 f 1 0 故排除A 4 2016 安庆模拟 为了得到函数y log2的图象 可将函数y log2x的图象上所有的点 A 纵坐标缩短到原来的倍 横坐标不变 再向右平移1个单位长度B 纵坐标缩短到原来的倍 横坐标不变 再向左平移1个单位长度 C 横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 再向左平移1个单位长度D 横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 再向右平移1个单位长度 解析 选A y 所以可将y log2x的图象上所有的点纵坐标缩短到原来的倍 横坐标不变 得到y log2x的图象 再向右平移1个单位长度 得到y log2 x 1 的图象 考向一作函数的图象 典例1 作出下列函数的图象 1 y x 2 x 1 2 y 3 y log2 x 1 解题导引 1 先对绝对值分类讨论 将原函数化简成分段函数的形式 再分段作图即可 2 先化简解析式 分离常数 再利用图象变换画出图象 3 将y log2x的图象向左平移1个单位 y log2 x 1 的图象 将y log2 x 1 的图象位于x轴下方的部分向上翻折 y log2 x 1 的图象 规范解答 1 先化简 再作图 图象如图实线所示 2 因为y 先作出y 的图象 将其图象向右平移1个单位 再向上平移1个单位 即得y 的图象 如图所示 3 利用函数y log2x的图象进行平移和翻折变换 图象如图实线所示 规律方法 函数图象的画法 1 直接法 当函数解析式 或变形后的解析式 是熟悉的基本函数时 就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出 2 转化法 含有绝对值符号的函数 可脱掉绝对值符号 转化为分段函数来画图象 3 图象变换法 若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移 伸缩 翻折 对称得到 可利用图象变换作出 易错提醒 1 画函数的图象一定要注意定义域 2 利用图象变换法时要注意变换顺序 对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形 并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响 变式训练 作出下列函数的图象 1 y 2x 2 2 y elnx 3 y log2 x 1 解析 1 将y 2x的图象向左平移2个单位 图象如图所示 2 因为函数的定义域为 x x 0 且y elnx x x 0 所以其图象如图所示 3 作y log2 x 的图象 再将图象向右平移一个单位 如图 即得到y log2 x 1 的图象 加固训练 1 作出下列函数的图象 1 y a x 0 a 1 2 y 3 y sin x 解析 1 因为y 所以只需作出0 a 1时函数y ax x 0 和y x 0 的图象 合起来即得函数y a x 0 a 1 的图象 如图所示 2 因为y 故函数图象可由y 的图象向右平移1个单位 再向上平移2个单位而得 如图所示 3 当x 0时 y sin x 与y sinx的图象完全相同 又y sin x 为偶函数 其图象关于y轴对称 其图象如图所示 2 作出函数y 的图象 解析 分段分别画出一次函数 x 1 二次函数 13 的图象 如图所示 3 已知函数f x 画出函数y f 1 x 的图象 解析 画出y f x 的图象 再作其关于y轴对称的图象 得到y f x 的图象 再将所得图象向右平移1个单位 得到y f x 1 f x 1 的图象 如图 考向二函数图象的识别 考情快递 考题例析 命题方向1 已知解析式确定函数的图象 典例2 2016 唐山模拟 函数f x 的图象是 解题导引 求出函数的定义域 通过函数的定义域 判断函数的单调性 推出选项即可 规范解答 选B 因为x 0 解得x 1或 1 x 0 所以函数f x 的定义域为 1 0 1 所以选项A C不正确 当x 1 0 时 g x x 是增函数 因为y lnx是增函数 所以函数f x 是增函数 所以D不正确 B正确 命题方向2 借助实际情景探究函数图象 典例3 2015 全国卷 如图 长方形ABCD的边AB 2 BC 1 O是AB的中点 点P沿着边BC CD与DA运动 记 BOP x 将动点P到A B两点距离之和表示为x的函数f x 则f x 的图象大致为 本题源自A版必修1P112A组T2 解题导引 分三种情况表示出f x 然后分析图象特点 利用三角函数的图象与性质解题 规范解答 选B 由已知得 当点P在BC边上运动时 即0 x 时 PA PB 当点P在CD边上运动时 即x 时 PA PB 当x 时 PA PB 当点P在AD边上运动时 即 x 时 PA PB tanx 从点P的运动过程可以看出 轨迹关于直线x 对称 且且轨迹非直线型 技法感悟 有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路 1 由解析式确定函数图象的判断技巧 由函数的定义域 判断图象左右的位置 从函数的值域 判断图象的上下位置 由函数的单调性 判断图象的变化趋势 由函数的奇偶性 判断图象的对称性 由函数的周期性 判断图象的循环往复 2 由实际情景探究函数图象 关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解 要注意实际问题中的定义域问题 题组通关 1 2016 成都模拟 函数f x e1 x2 e是自然对数的底数 的部分图象大致是 解析 选C 函数f x 为偶函数 排除选项A B 又e1 x2 0 排除选项D 2 2016 焦作模拟 已知f x 则下列函数的图象错误的是 解析 选D 先在坐标平面内画出函数y f x 的图象 再将函数y f x 的图象向右平移1个单位长度即可得到y f x 1 的图象 因此A正确 作函数y f x 的图象关于y轴的对称图形 即可得到y f x 的图象 因此B正确 y f x 的值域是 0 2 因此y f x 的图象与y f x 的图象重合 C正确 y f x 的定义域是 1 1 且是一个偶函数 当0 x 1时 y f x 相应这部分图象不是一条线段 因此选项D不正确 3 2016 绥化模拟 在同一个坐标系中画出函数y ax y sinax的部分图象 其中a 0且a 1 则下列所给图象中可能正确的是 解析 选D 正弦函数的周期公式T 所以y sinax的最小正周期T 对于A T 2 故a1 所以函数y ax是增函数 故错 对于C T 2 故a 1 故错 对于D T 2 故a 1 所以y ax是减函数 正确 4 2016 鹰潭模拟 如图 点P是以O为圆心 AB为直径的半圆上的动点 AB 2 设弦AP的长为x APO的面积为y 则下列选项中 能表示y与x的函数关系的大致图象是 解析 选A 如图 因为根据三角形面积公式 当一边OA固定时 它边上的高最大时 三角形面积最大 所以当PO AO 即PO为 APO中OA边上的高时 APO的面积y最大 此时 由AB 2 根据勾股定理 得弦AP x 所以当x 时 APO的面积y最大 最大面积为y 从而可排除B D选项 又因为当AP x 1时 APO为等边三角形 它的面积y 所以此时 点应在y 的一半的上方 从而可排除C选项 加固训练 2016 广州模拟 已知函数f x 是定义在R上的增函数 则函数y f x 1 1的图象可能是 解析 选B 根据题意 由于函数f x 是定义在R上的增函数 那么可知函数y f x 1 1的图象先是保留f x 在y轴右侧的图象不变为增函数 再作关于y轴对称的图象 再整体向右平移一个单位 再整体向下平移一个单位 那么可知为先减后增 同时关于直线x 1对称 故选B 考向三函数图象的应用 典例4 1 已知函数f x x 2 1 g x kx 若方程f x g x 有两个不相等的实根 则实数k的取值范围是 A B C 1 2 D 2 2 2015 江苏高考 已知函数f x lnx g x 则方程 f x g x 1实数根的个数为 解题导引 1 画出函数f x 的图象 结合函数图象确定实数k的取值范围 2 将 f x g x 1变为f x 1 g x 交点的个数即为y f x 与y 1 g x 和y 1 g x 图象的公共点的个数之和 结合图象进行判断 规范解答 1 选B f x 如图 作出y f x 的图象 其中A 2 1 则kOA 要使方程f x g x 有两个不相等的实根 则函数f x 与g x 的图象有两个不同的交点 由图可知 k 1 2 因为g x 所以1 g x 1 g x 又因为 f x g x 1实数根的个数即为y f x 与y 1 g x 的图象交点的个数和y f x 与y 1 g x 的图象交点的个数之和 而y f x 与y 1 g x 的图象有两个交点 y f x 与y 1 g x 的图象也有两个交点 所以 f x g x 1实数根的个数为4 答案 4 一题多解 解答本题还有以下解法 当0 x 1时 f x lnx lnx g x 0 原方程即为 lnx 1 解得x 所以当0 x 1时原方程有一个实数根 当1 x 2时 f x lnx g x 2 x2 原方程即为 lnx 2 x2 1 设F x lnx 2 x2 1 x 2 因为F x 2x 0 所以F x 在 1 2 上单调递减 得F x 的值域为 ln2 2 1 又ln2 2 1 得方程 lnx 2 x2 1有且只有一个实数根 所以当1 x 2时原方程有一个实数根 当x 2时 f x lnx g x x2 6 原方程即为 lnx 6 x2 1 则lnx 6 x2 1或lnx 6 x2 1 即得方程lnx x2 7或lnx x2 5 因为函数G x lnx x2在 2 上单调递增 所以G x 的值域为 4 ln2 因此方程lnx x2 7或lnx x2 5各有一个实数根 所以当x 2时原方程有两个实数根 综上 方程 f x g x 1的实数根个数为4 答案 4 易错警示 解决本例 2 易出现以下错误 1 对方程 f x g x 1有实数根的意义不明确 2 画函数图象时 忽略了函数的定义域 母题变式 1 本例 1 中 有两个不相等的实根 改为 有一个实根 其他条件不变 求实数k的取值范围 解析 由题意得f x 其图象如图所示 由图象可知 要使方程f x g x 有一个实根 则k 1或k 1或k 2 本例 1 中 若函数f x 其他条件不变 求实数k的取值范围 解析 函数y 的定义域为 x x 1 所以当x 1时 y x 1 当 1 x 1时 y x 1 当x 1时 y x 1 图象如图所示 由图象可知当0 k 2且k 1时两函数恰有两个交点 所以实数k的取值范围为 0 1 1 2 规律方法 1 利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时 可以通过函数图象来研究方程的根 方程f x 0的根就是函数f x 图象与x轴交点的横坐标 方程f x g x 的根就是函数f x 与g x 图象交点的横坐标 2 利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时 常将不等式问题转化为两函数图象的上 下关系问题 从而利用数形结合求解 变式训练 1 函数f x lnx的图象与函数g x x2 4x 4的图象的交点个数为 A 0B 1C 2D 3 解析 选C g x x2 4x 4 x 2 2 在同一平面直角坐标系内画出函数f x lnx与g x x 2 2的图象 如图 由图可得两个函数的图象有2个交点 2 函数f x 的定义域为R 且f x 若方程f x x a有两个不同实根 则a的取值范围是 解析 当x 0时 f x 2 x 1 当0 x 1时 1 x 1 0 f x f x 1 2 x 1 1 当1 x 2时 1 x 2 0 f x f x 1 f x 2 2 x 2 1 故x 0时 f x 是周期函数 如图 欲使方程f x x a有两解 即函数f x 的图象与直线y x a有两个不同交点 故a 1 则a的取值范围是 1 答案 1 加固训练 1 2016 大同模拟 已知函数y f x 的周期为2 当x 1 1 时 f x x2 那么函数y f x 的图象与函数y lgx 的图象的交点共有 A 10个B 9个C 8个D 1个 解析 选A 根据f x 的性质及f x 在 1 1 上的解析式可作图如下 可验证当x 10时 y lg10 1 x 10时 lgx 1 因此结合图象及数据特点知y f x 与y lgx 的图象交点共有10个 2 已知函数f x 是定义在R上的奇函数 当x 0时 f x x a2 x 2a2 3a2 若 x R f x 1 f x 则实数a的取值范围为 解析 选B 当x 0时 f x 因为f x 是定义在R上的奇函数 故可作出函数f x 的图象 如图所示 那么对 x R f x 1 f x 则要向右移动函数f x 的图象 即让点A1移到图中A2位置时 满足题意 又A1 3a2 0 A2 3a2 1 0 可知3a2 3a2 1 即6a2 1 解得a 3 2016 南昌模拟 已知函数f x 若关于x的方程f x k有两个不同的实根 则实数k的取值范围是 解析 画出分段函数f x 的图象如图所示 结合图象可以看出 若f x k有两个不同的实根 即函数y f x 的图象与y k有两个不同的交点 k的取值范围为 0 1 答案 0 1