高考数学一轮复习 坐标系与参数方程 2 参数方程课件(理) 选修4-4.ppt

第二节参数方程 知识梳理 1 曲线的参数方程一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标x y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值 由这个方程组所确定的点M x y 都在这条曲线上 那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程 联系变数x y的变数t叫做 简称 相对于参数方程而言 直接给出点的坐标间关系的方程F x y 0叫做 方程 参变数 参数 普通 2 参数方程和普通方程的互化 1 参数方程化普通方程 主要利用两个方程相加 减 乘 除或者代入法消去参数 2 普通方程化参数方程 如果x f t 把它代入普通方程 求出另一个变数与参数的关系y g t 则得曲线的参数方程 3 直线 圆与椭圆的普通方程和参数方程 特别提醒 1 将参数方程化为普通方程时 要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小 必须根据参数的取值范围 确定函数f t 和g t 的值域 即x和y的取值范围 2 直线的参数方程中 参数t的系数的平方和为1时 t才有几何意义且几何意义为 t 是直线上任一点M x y 到M0 x0 y0 的距离 考向一直线的参数方程与应用 典例1 2015 陕西高考 在直角坐标系xOy中 直线l的参数方程为 t为参数 以原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 C的极坐标方程为 2sin 1 写出 C的直角坐标方程 2 P为直线l上一动点 当P到圆心C的距离最小时 求点P的直角坐标 解题导引 1 利用直角坐标与极坐标的关系进行代换即得 2 直角坐标与极坐标进行坐标代换后 利用两点间的距离公式可求解 规范解答 1 由 2sin 得 2 2 sin 从而有x2 y2 2y 所以x2 y 2 3 2 设P 又C 0 则 PC 故当t 0时 PC 取得最小值 此时P点的坐标为 3 0 规律方法 直线的参数方程在交点问题中的应用已知直线l经过点M0 x0 y0 倾斜角为 点M x y 为l上任意一点 则直线l的参数方程为 t为参数 1 若M1 M2是直线l上的两个点 对应的参数分别为t1 t2 则 2 若线段M1M2的中点为M3 点M1 M2 M3对应的参数分别为t1 t2 t3 则t3 3 若直线l上的线段M1M2的中点为M0 x0 y0 则t1 t2 0 t1t2 0 变式训练 2016 临汾模拟 已知直线l经过点P 1 1 倾斜角 1 写出直线l的参数方程 2 设直线l与圆x2 y2 4相交于A B两点 求点P到A B两点的距离之积 解析 1 直线l的参数方程为即 2 把直线代入x2 y2 4 得 4 即t2 1 t 2 0 故t1t2 2 则点P到A B两点的距离之积为2 加固训练 1 2014 江苏高考 在平面直角坐标系xOy中 已知直线l的参数方程 t是参数 直线l与抛物线y2 4x相交于A B两点 求线段AB的长 解析 把直线l x y 3代入抛物线y2 4x并整理得x2 10 x 9 0 所以交点A 1 2 B 9 6 故 AB 2 2015 湖北高考改编 在直角坐标系xOy中 以O为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 已知直线l的极坐标方程为 sin 3cos 0 曲线C的参数方程为 t为参数 l与C相交于A B两点 求 AB 的长 解析 由 sin 3cos 0知 直线的方程是y 3x 由曲线C的参数方程为 t为参数 消去参数得 y2 x2 4 解方程组 得 考向二圆的参数方程与应用 典例2 2015 全国卷 在直角坐标系xOy中 曲线C1 t为参数 且t 0 其中0 在以O为极点 x轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线C2 2sin C3 2cos 1 求C2与C3交点的直角坐标 2 若C1与C2相交于点A C1与C3相交于点B 求 AB 的最大值 解题导引 1 把曲线C2与C3的极坐标方程化为普通方程联立求得交点坐标 2 把曲线C1的方程化为极坐标方程与曲线C2与C3联立可求得A B的极坐标 进而可求 AB 的最大值 规范解答 1 曲线C2的直角坐标方程为x2 y2 2y 0 曲线C3的直角坐标方程为x2 y2 2x 0 联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为 0 0 和 2 曲线C1的极坐标方程为 R 0 其中0 因此点A的极坐标为 2sin 点B的极坐标为 2cos 所以 AB 2sin 2cos 当 时 AB 取得最大值 最大值为4 母题变式 1 本例条件不变 若直线 m为参数 与曲线C1平行 求 的值 解析 曲线C1为过原点的直线 直线的普通方程为x y 1 0 由两直线平行得tan 1 所以 2 本例条件不变 求直线x y 1 0被C3 2cos 截得的弦长 解析 曲线C3的普通方程为 y2 3 圆心到直线的距离为所以弦长为 规律方法 利用圆的参数方程求最值的技巧 1 解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题 通常可以转化为点与圆 直线与圆的位置关系 2 求距离的问题 通过设圆的参数方程 就转化为求三角函数的值域问题 易错提醒 把曲线的参数方程化为普通方程或极坐标方程时易忽视参数的范围导致出错 变式训练 2016 衡水模拟 已知直线l的参数方程为 t为参数 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线C的极坐标方程为 2sin 2cos 1 求曲线C的参数方程 2 当 时 求直线l与曲线C交点的极坐标 解析 1 由 2sin 2cos 可得 2 2 sin 2 cos 所以曲线C的直角坐标方程为x2 y2 2y 2x 标准方程为 x 1 2 y 1 2 2 曲线C的极坐标方程化为参数方程为 为参数 2 当 时 直线l的方程为化成普通方程为y x 2 由解得或所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为 2 加固训练 1 2014 福建高考 已知直线l的参数方程为 t为参数 圆C的参数方程为 为参数 1 求直线l和圆C的普通方程 2 若直线l与圆C有公共点 求实数a的取值范围 解析 1 直线l的普通方程为2x y 2a 0 圆C的普通方程为x2 y2 16 2 因为直线l与圆C有公共点 故圆C的圆心到直线l的距离d 4 解得 2 a 2 2 2014 全国卷 在直角坐标系xOy中 以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 半圆C的极坐标方程为 2cos 1 求C的参数方程 2 设点D在C上 C在D处的切线与直线l y x 2垂直 根据 1 中你得到的参数方程 确定D的坐标 解析 1 C的普通方程为 x 1 2 y2 1 0 y 1 可得C的参数方程为 t为参数 0 t 2 设D 1 cost sint 由 1 知C是以G 1 0 为圆心 1为半径的上半圆 因为C在点D处的切线与l垂直 所以直线GD与l的斜率相同 tant t 故点D的直角坐标为 即 考向三椭圆的参数方程与应用 典例3 在平面直角坐标系xOy中 若l t为参数 过椭圆C 为参数 的右顶点 求常数a的值 解题导引 把椭圆的参数方程化为普通方程 找出右顶点 代入直线的普通方程中 即可求出a的值 规范解答 直线l的普通方程是x y a 0 椭圆C的普通方程是 1 其右顶点为 3 0 代入直线方程得a 3 规律方法 圆与椭圆的参数方程的异同点 1 圆与椭圆的参数方程实质都是三角代换 有关圆或椭圆上的动点距离的最大值 最小值以及取值范围的问题 通常利用圆或椭圆的参数方程转化为三角函数的最大值 最小值求解 2 圆的参数方程中的参数与椭圆的参数方程中的参数的几何意义不同 圆的参数方程中的参数是旋转角 椭圆的参数方程中的参数是离心角 只有椭圆上的点在坐标轴上时 离心角才等于圆心角 变式训练 2014 辽宁高考 将圆x2 y2 1上每一点的横坐标保持不变 纵坐标变为原来的2倍 得曲线C 1 写出C的参数方程 2 设直线l 2x y 2 0与C的交点为P1 P2 以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程 解析 1 设 x1 y1 为圆上的点 在已知变换下变为C上的点 x y 依题意得由x12 y12 1得即曲线C的方程为故C的参数方程为 t为参数 2 由解得或不妨设P1 1 0 P2 0 2 则线段P1P2的中点坐标为所求直线斜率为k 于是所求直线方程为y 1 化为极坐标方程 并化简得 加固训练 已知直线l的参数方程为曲线C的参数方程为设直线l与曲线C交于两点A B 1 求 AB 2 设P为曲线C上的一点 当 ABP的面积取最大值时 求点P的坐标 解析 1 由已知可得直线l的方程为x 2y 2 曲线C的方程为由 A 2 0 B 0 1 所以 AB 2 设P 2cos sin 当sin 1 即 时d最大 所以