高考数学一轮复习 几何证明选讲 第2课时 圆课件 理（选修4-1）.ppt

选考部分选修系列4 1 会证圆周角定理 圆的切线的判定定理及性质定理 2 会证相交弦定理 圆内接四边形的性质定理与判定定理 切割线定理 3 了解平行投影的含义 通过圆柱与平面的位置关系 体会平行投影 证明平面与圆柱面的截面是椭圆 特殊情形是圆 请注意此部分为选考重点 广东 全国卷 等省多年均有考查 1 圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 2 圆心角定理圆心角的度数等于 的度数 推论1 同弧或等弧所对的 相等 同圆或等圆中相等的圆周角对的 也相等 推论2 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角对的弦是直径 一半 它所对的弧 圆周角 弧 3 圆内接四边形性质定理 互补 外角等于它的 判定定理 如果一个四边形的 互补 那么这个四边形四个顶点共圆 推论 如果四边形的一个外角等于它的 那么这个四边形四个顶点共圆 对角 内对角 对角 内对角 4 圆的切线 1 切线判定定理 经过半径外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 2 切线性质定理 圆的切线 于经过切点的半径 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点 推论2 经过切点垂直于切线的直线必经过 3 弦切角定理 弦切角等于它所夹弧对的圆周角 垂直 圆心 5 与圆有关的比例线段 1 相交弦定理 圆的两条相交弦被交点分成的两条线段长的 相等 2 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的 相等 3 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的 4 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点连线平分 积 积 比例中项 两切线夹角 答案A 3 2014 湖北理 如图 P为 O外一点 过P点作 O的两条切线 切点分别为A B 过PA的中点Q作割线交 O于C D两点 若QC 1 CD 3 则PB 答案4解析由题意知PA PB PA切 O于点A 由切割线定理可得QA2 QC QD 1 1 3 4 QA 2 PA 2 2 4 PB 4 如右图所示 圆O的直径AB 6 C为圆周上一点 BC 3 过C作圆的切线l 过A作l的垂线AD 垂足为D 则 DAC 答案30 解析由弦切角定理 可知 DCA B 60 又AD l 故 DAC 30 5 2013 广东理 如图 AB是圆O的直径 点C在圆O上 延长BC到D使BC CD 过C作圆O的切线交AD于E 若AB 6 ED 2 则BC 6 如图 AE是圆的切线 A是切点 AD OE于点D 割线EC交圆于B C两点 1 证明 O D B C四点共圆 2 设 DBC 50 ODC 30 求 OEC的大小 答案 1 略 2 20 2 连接OB 因为 OEC OCB COE 180 结合 1 得 OEC 180 OCB COE 180 OBC DBE 180 OBC 180 DBC DBC ODC 20 例1已知 O是 ABC的外接圆 I是 ABC的内切圆 A 80 那么 BOC BIC 题型一圆周角与圆心角 答案 160 130 探究1 1 圆周角定理是一个十分重要的定理 涉及圆周角相等的结论很难用其他结论代替 由圆周角定理易知 同一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍 2 三角形的内心是内切圆的圆心 是三角形三条内角平分线的交点 1 如图 点A B C是圆O上的点 且AB 4 ACB 30 则圆O的面积等于 解析 连接AO OB 因为 ACB 30 所以 AOB 60 AOB为等边三角形 故圆O的半径r OA AB 4 圆O的面积S r2 16 答案 16 思考题1 2 如图 已知直线AB交 O于A B两点 点M在圆上 点P在圆外 且点M P在AB的同侧 AMB 35 设 APB x 当点P移动时 x的变化范围是 解析 因为P在 O外 设AP与 O交于点E 连接BE 如图 则 AEB AMB 35 又 AEB APB 所以 APB0 所以0 x 35 答案 0 x 35 例2如图 BD是 O的直径 E是 O上的一点 直线CE交BD的延长线于A点 BC AE于C点 且 CBE DBE 求证 AC是 O的切线 题型二圆的切线 证明 连接OE 由OE OB 得 OEB OBE CBE DBE CBE OEB OE BC 又BC AE OE AC AC是 O的切线 答案 略 探究2 1 过切点的半径是一条重要的辅助线 凡涉及切线的问题都要注意应用 简称 见切点 连半径 2 当两圆相切时 过切点的公切线是重要辅助线 注意应用 如图 已知圆上的弧A B 过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点 证明 1 ACE BCD 2 BC2 BE CD 思考题2 答案 略 例3 1 如图 ABC是直角三角形 ABC 90 以AB为直径的圆O交AC于点E 点D是BC边的中点 连接OD交圆O于点M 求证 O B D E四点共圆 求证 2DE2 DM AC DM AB 题型三圆内接四边形与四点共圆 证明 连接BE 则BE EC 又D是BC的中点 DE BD 又 OE OB OD OD ODE ODB OBD OED 90 O B D E四点共圆 答案 略 2 梯形ABCD内接于 O AD BC 过B引 O的切线分别交DA CA的延长线于E F 求证 AB2 AE BC 已知BC 8 CD 5 AF 6 求EF的长 探究3 1 证明四点共圆是高考常考题型 常见的证明方法有 定义法 到定点距离相等 如果某两点在一条线段的同侧时 可证明两点对该线段的张角相等 证明凸四边形的内对角互补 或外角等于它的内对角 等 2 圆内接四边形的性质定理是探求圆中角相等或互补关系的常用定理 使用时要注意观察图形 要弄清四边形的外角和它的内对角的位置 其性质定理是沟通角的相等关系的重要依据 解题时要注意与圆周角定理 圆心角 弧 弦 弦心距之间的关系以及垂径定理的联系与综合 1 如图 在梯形ABCD中 AB DC K M分别在AD BC上 DAM CBK 求证 DMA CKB 思考题3 答案 略 2 如右图 已知AP是 O的切线 P为切点 AC是 O的割线 与 O交于B C两点 圆心O在 PAC的内部 点M是BC的中点 证明 A P O M四点共圆 求 OAM APM的大小 解析 连接OP OM 因为AP与 O相切于点P 所以OP AP 因为M是 O中弦BC的中点 所以OM BC 于是 OPA OMA 180 由圆心O在 PAC的内部 可知四边形APOM的对角互补 所以A P O M四点共圆 由 得A P O M四点共圆 所以 OAM OPM 由 得OP AP 由圆心O在 PAC的内部 可知 OPM APM 90 所以 OAM APM 90 答案 略 90 例4如图 P是 O外一点 PA是切线 A为切点 割线PBC与 O相交于点B C PC 2PA D为PC的中点 AD的延长线交 O于点E 证明 1 BE EC 2 AD DE 2PB2 题型四与圆有关的比例线段 2 由切割线定理 得PA2 PB PC 因为PA PD DC 所以DC 2PB BD PB 由相交弦定理 得AD DE BD DC 所以AD DE 2PB2 答案 略 探究4相交弦定理 割线定理 切割线定理 切线长定理的联系 从相交弦定理开始 相交弦定理可以利用相似三角形对应边成比例证明 然后使两弦的交点P从圆内移动到圆外得出割线定理 再将一条割线变为圆的切线得出切割线定理 最后两条割线都变为切线得出切线长定理 充分体现了运动变化的思想 如图所示 O1与 O2相交于A B两点 AB是 O2的直径 过A点作 O1的切线交 O2于点E 并与BO1的延长线交于点P PB分别与 O1 O2交于C D两点 求证 1 PA PD PE PC 2 AD AE 思考题4 思路 应用切割线定理 弦切角定理等知识求解 证明 1 PAE PDB分别是 O2的割线 PA PE PD PB 又 PA PCB分别是 O1的切线和割线 PA2 PC PB 由 得PA PD PE PC 答案 1 略 2 略 1 圆内接四边形的重要结论 内接于圆的平行四边形是矩形 内接于圆的菱形是正方形 内接于圆的梯形是等腰梯形 应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推理过程 2 圆的切线的性质定理及推论有如下结论 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个 就可推出第三个 垂直于切线 过切点 过圆心 于是在利用切线性质时 过切点的半径是常作的辅助线 3 判定切线通常有三种方法 和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线 到圆心距离等于半径的直线是圆的切线 过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线 4 与圆有关的比例线段证明要诀 圆幂定理是法宝 相似三角形中找诀窍 联想射影定理分角线 辅助线来搭桥 第三比值作介绍 代数方法不可少 分析综合要记牢 十有八九能见效