高考数学一轮复习 不等式的证明与常见不等式课件 文.ppt

第二节不等式的证明与常见不等式 最新考纲展示1 了解柯西不等式的几种不同形式 理解它们的几何意义 并会证明 2 能够利用平均值不等式 柯西不等式求一些特定函数的极值 3 了解证明不等式的基本方法 比较法 综合法 分析法 反证法 放缩法 一 比较法1 求差比较法知道a b a b 0 a b a b 0 因此要证明a b 只要证明即可 这种方法称为求差比较法 a b 0 二 综合法从已知条件出发 利用定义 公理 定理 性质等 经过一系列的推理 论证而得出命题成立 这种证明方法称为综合法 即 由因寻果 的方法 三 分析法从所要证明的出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实 定义 公理或已证明的定理 性质等 从而得出要证的命题成立 这种证明方法称为分析法 即 执果索因 的证明方法 结论 四 放缩法在证明不等式时 有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小 简化不等式 从而达到证明的目的 这种方法称为放缩法 五 反证法先假设要证的命题不成立 以此为出发点 结合已知条件 应用公理 定义 定理 性质等 进行正确的推理 得到和命题的条件 或已证明的定理 性质 明显成立的事实等 矛盾的结论 以说明假设不正确 从而证明原命题成立 我们把它称为反证法 对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明 六 二维形式的柯西不等式1 定理1 二维形式的柯西不等式 若a b c d都是实数 则 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 当且仅当ad bc时 等号成立 2 定理2 柯西不等式的向量形式 设 是两个向量 则 当且仅当 是零向量 或存在实数k 使 k 时 等号成立 七 一般形式的柯西不等式定理 设a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn是实数 则 a a a b b b a1b1 a2b2 anbn 2 当且仅当bi 0 i 1 2 n 或存在一个数k 使得ai kbi i 1 2 n 时 等号成立 以上不等式称为一般形式的柯西不等式 八 排序不等式1 定理 排序不等式sequenceinequality 又称排序原理 设a1 a2 an b1 b2 bn为两组实数 c1 c2 cn是b1 b2 bn的任一排序 则a1bn a2bn 1 anb1 a1c1 a2c2 ancn a1b1 a2b2 anbn 当且仅当a1 a2 an或b1 b2 bn时 反序和等于顺序和 2 排序不等式可简记为 反序和 乱序和 顺序和 2 分析法证明不等式的注意事项 用分析法证明不等式时 不要把 逆求 错误地作为 逆推 分析法的过程仅需要寻求充分条件即可 而不是充要条件 也就是说 分析法的思维是逆向思维 因此在证题时 应正确使用 要证 只需证 这样的连接 关键词 一 不等式的证明方法1 设t a 2b s a b2 1 则s与t的大小关系是 A s tB s tC s tD s t解析 s t a b2 1 a 2b b2 2b 1 b 1 2 0 s t 故选A 答案 A 2 用反证法证明命题 a b c全为0 时 其假设为 A a b c全为0B a b c至少有一个为0C a b c至少有一个不为0D a b c至多有一个不为0解析 a b c全为0 的反面应是 a b c中至少有一个不为0 故选C 答案 C 答案 C 4 若x y z是正数且满足xyz x y z 1 则 x y y z 的最小值为 答案 2 答案 a2 b2 x y 2 考情分析不等式的证明问题是高考的重点也是难点问题 它经常与其他知识相结合 考查学生分析问题解决问题的能力 下面举例说明 不等式的证明方法 高频研析 角度一比较法证明不等式1 求证 当x R时 1 2x4 2x3 x2 证明 1 2x4 2x3 x2 x4 2x3 x2 x4 2x2 1 x 1 2 x2 x2 1 2 0 1 2x4 2x3 x2 规律方法比较法证明不等式最常用的是差值比较法 其基本步骤是 作差 变形 判断差的符号 下结论 其中 变形 是证明的关键 一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式 当差式是二次三项式时 有时也可用判别式来判断符号 个别题目也可用柯西不等式来证明 柯西不等式的应用 师生共研 规律方法柯西不等式的一般结构为 a a a b b b a1b1 a2b2 anbn 2 在利用柯西不等式证明不等式时关键是正确构造左边的两个数组 从而利用题目的条件正确解题 排序不等式的应用 师生共研 规律方法 1 利用排序不等式证明不等式 关键是构造出不等式中所需要的大小顺序的两个不等式 2 在没有给定字母大小的情况下 要使用排序不等式 必须限定字母的大小顺序 而只有对称性的字母才可以直接限定字母的大小顺序 否则要根据具体情况分类讨论