高考数学 6.6 直接证明与间接证明课件.ppt

第六节直接证明与间接证明 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 直接证明 推理论证 成立 证明的结论 充分条件 2 间接证明 反证法 假设原命题 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立的证明方法 不成立 矛盾 2 必备结论教材提炼记一记 1 综合法证明问题是由因导果 分析法证明问题是执果索因 2 分析法与综合法相辅相成 对较复杂的问题 常常先从结论进行分析 寻求结论与条件 基础知识之间的关系 找到解决问题的思路 再运用综合法证明 或者在证明时将两种方法交叉使用 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 求差法 分析法 综合法 反证法 放缩法 2 数学思想 正难则反的思想 3 记忆口诀 证不等式的方法 实数性质威力大 求差与0比大小 作商和1争高下 直接困难分析好 思路清晰综合法 非负常用基本式 正面难则反证法 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 综合法的思维过程是由因导果 逐步寻找已知的必要条件 2 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻找使结论成立的充要条件 3 用反证法证明时 推出的矛盾不能与假设矛盾 4 在解决问题时 常常用分析法寻找解题的思路与方法 再用综合法展现解决问题的过程 解析 1 正确 因为综合法的思维过程是由因导果 就是寻找已知的必要条件 因此 1 正确 2 错误 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻找使结论成立的充分条件 不是充要条件 3 错误 用反证法证明时 推出的矛盾可以与已知 公理 定理 事实或者假设等相矛盾 4 正确 在解决问题时 常常用分析法寻找解题的思路与方法 再用综合法展现解决问题的过程 答案 1 2 3 4 2 教材改编链接教材练一练 1 选修2 2P91练习T1改编 用反证法证明命题 三角形三个内角至少有一个不大于60 时 应假设 A 三个内角都不大于60 B 三个内角都大于60 C 三个内角至多有一个大于60 D 三个内角至多有两个大于60 解析 选B 因为 至少有一个不大于 的反面是 都大于 因此选B 2 选修2 2P91习题2 2A组T2改编 已知A B都是锐角 且A B 1 tanA 1 tanB 2 则A B 解析 由已知得tanA tanB 1 tanAtanB 所以tan A B 因为A B 且A B都是锐角 所以A B 答案 3 真题小试感悟考题试一试 1 2014 山东高考 用反证法证明命题 已知a b为实数 则方程x2 ax b 0至少有一个实根 时 要做的假设是 A 方程x2 ax b 0没有实根B 方程x2 ax b 0至多有一个实根C 方程x2 ax b 0至多有两个实根D 方程x2 ax b 0恰好有两个实根 解析 选A 方程x2 ax b 0至少有一个实根 的反面是 方程x2 ax b 0没有实根 故选A 2 2015 长春模拟 设a b c都是正数 则三个数 A 都大于2B 都小于2C 至少有一个不大于2D 至少有一个不小于2 解析 选D 因为当且仅当a b c时取等号 所以三个数中至少有一个不小于2 考点1分析法 典例1 ABC的三个内角A B C成等差数列 A B C的对边分别为a b c 求证 解题提示 本题从条件不易寻求证题思路 考虑使用分析法 规范解答 要证即证只需证c b c a a b a b b c 需证c2 a2 ac b2 又 ABC三内角A B C成等差数列 故B 60 由余弦定理 得b2 c2 a2 2accos60 即b2 c2 a2 ac 故c2 a2 ac b2成立 于是原等式成立 规律方法 1 分析法的思路 执果索因 逐步寻找结论成立的充分条件 即从 未知 看 需知 逐步靠拢 已知 或本身已经成立的定理 性质或已经证明成立的结论等 通常采用 欲证 只需证 已知 的格式 在表达中要注意叙述形式的规范性 2 分析法证明问题的适用范围当已知条件与结论之间的联系不够明显 直接 或证明过程中所需用的知识不太明确 具体时 往往采用分析法 特别是含有根号 绝对值的等式或不等式 常考虑用分析法 变式训练 已知c 0 用分析法证明 证明 要证原不等式成立 只需证明即证 2c 4c 即证 c 而c 0 故只需证明c2 1 c2 而此式一定成立 故原不等式得证 加固训练 已知非零向量a b 求证 证明 因为a b 所以a b 0 要证只需证 a b a b 平方得 a 2 b 2 2 a b 2 a 2 b 2 2a b 只需证 a 2 b 2 2 a b 0成立 即 a b 2 0 显然成立 故原不等式得证 考点2综合法知 考情综合法证明问题是历年高考的热点问题 也是必考问题之一 通常在解答题中出现 考查立体几何 数列 函数 不等式及一些新型定义问题 因而掌握好综合法是突破此类问题的关键 明 角度命题角度1 与立体几何有关的证明题 典例2 2014 湖北高考 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F P Q M N分别是棱AB AD DD1 BB1 A1B1 A1D1的中点 求证 1 直线BC1 平面EFPQ 2 直线AC1 平面PQMN 解题提示 1 通过证明FP AD1 得到BC1 FP 根据线面平行的判定定理即可得证 2 证明BD 平面ACC1 得出BD AC1 进而得MN AC1 同理可证PN AC1 根据线面垂直的判定定理即可得出直线AC1 平面PQMN 规范解答 1 连接AD1 由ABCD A1B1C1D1是正方体 知AD1 BC1 因为F P分别是AD DD1的中点 所以FP AD1 从而BC1 FP 而FP 平面EFPQ 且BC1 平面EFPQ 故直线BC1 平面EFPQ 2 连接AC BD 则AC BD 由CC1 平面ABCD BD 平面ABCD 可得CC1 BD 又AC CC1 C 所以BD 平面ACC1 而AC1 平面ACC1 所以BD AC1 因为M N分别是A1B1 A1D1的中点 所以MN BD 从而MN AC1 同理可证PN AC1 又PN MN N 所以直线AC1 平面PQMN 命题角度2 与数列有关的证明题 典例3 2013 北京高考 给定数列a1 a2 an 对i 1 2 n 1 该数列前i项的最大值记为Ai 后n i项ai 1 ai 2 an的最小值记为Bi di Ai Bi 1 设数列 an 为3 4 7 1 写出d1 d2 d3的值 2 设a1 a2 an n 4 是公比大于1的等比数列 且a1 0 证明 d1 d2 dn 1是等比数列 解题提示 先根据已知条件写出d1 d2 d3的值 再利用等比数列的定义证明d1 d2 dn 1是等比数列 规范解答 1 d1 A1 B1 3 1 2 d2 A2 B2 4 1 3 d3 A3 B3 7 1 6 2 由a1 a2 an n 4 是公比大于1的等比数列 且a1 0 可得 an 的通项为an a1 qn 1且为单调递增数列 于是当k 2 3 n 1时 因此d1 d2 dn 1构成首项d1 a1 a2 公比为q的等比数列 悟 技法综合法证明问题的常见类型及方法 1 数列证明题 充分利用等差 等比数列的通项及前n项和公式转化证明 2 几何证明题 首先利用点线面位置关系的判定或性质 也可利用向量法证明 其次要进行必要的转化 通 一类1 2015 潍坊模拟 设f x 是定义在R上的奇函数 且当x 0时 f x 单调递减 若x1 x2 0 则f x1 f x2 的值 A 恒为负值B 恒等于零C 恒为正值D 无法确定正负 解析 选A 由f x 是定义在R上的奇函数 且当x 0时 f x 单调递减 可知f x 是R上的单调递减函数 由x1 x2 0 可知x1 x2 f x1 f x2 f x2 则f x1 f x2 0 故选A 2 2015 福州模拟 在数列 an 中 已知 1 求数列 an 的通项公式 2 求证 数列 bn 是等差数列 解析 1 因为所以数列 an 是首项为 公比为的等比数列 所以an n N 2 因为bn 所以bn 所以b1 1 公差d 3 所以数列 bn 是首项b1 1 公差d 3的等差数列 3 2015 中山模拟 定义在x 0 1 上的函数f x 若x1 0 x2 0且x1 x2 1 都有f x1 x2 f x1 f x2 成立 则称函数f x 为理想函数 g x 2x 1 x 0 1 是否为理想函数 如果是 请予以证明 如果不是 请说明理由 解题提示 根据理想函数的定义加以判定证明 解析 g x 2x 1 x 0 1 是理想函数 当x1 0 x2 0 且x1 x2 1时 f x1 x2 f x1 f x2 所以f x1 x2 f x1 f x2 因为x1 0 x2 0 所以 1 0 1 0 所以f x1 x2 f x1 f x2 0 则f x1 x2 f x1 f x2 故函数g x 2x 1 x 0 1 是理想函数 考点3反证法 典例4 2013 陕西高考 设 an 是公比为q的等比数列 1 推导 an 的前n项和公式 2 设q 1 证明数列 an 1 不是等比数列 解题提示 推导数列 an 的前n项和公式要注意分情况讨论 证明数列 an 1 不是等比数列 一般要用反证法 规范解答 1 分两种情况讨论 当q 1时 数列 an 是首项为a1的常数数列 所以Sn a1 a1 a1 na1 当q 1时 Sn a1 a2 an 1 an qSn qa1 qa2 qan 1 qan 上面两式错位相减 1 q Sn a1 a2 qa1 a3 qa2 an qan 1 qan a1 qan Sn 2 使用反证法 设 an 是公比q 1的等比数列 假设数列 an 1 是等比数列 则 a2 1 2 a1 1 a3 1 即 a1q 1 2 a1 1 a1q2 1 整理得a1 q 1 2 0得a1 0或q 1均与题设矛盾 故数列 an 1 不是等比数列 规律方法 反证法的适用范围及证题的关键 1 适用范围 当一个命题的结论是以 至多 至少 唯一 或以否定形式出现时 宜用反证法来证 2 关键 在正确的推理下得出矛盾 矛盾可以是与已知条件矛盾 与假设矛盾 与定义 公理 定理矛盾 与事实矛盾等 推导出的矛盾必须是明显的 变式训练 已知a b c是互不相等的实数 求证 由y ax2 2bx c y bx2 2cx a和y cx2 2ax b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点 证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点 即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点 由y ax2 2bx c y bx2 2cx a y cx2 2ax b 得 1 2b 2 4ac 0 2 2c 2 4ab 0 3 2a 2 4bc 0 上述三个同向不等式相加得 4b2 4c2 4a2 4ac 4ab 4bc 0 所以2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca 0 所以 a b 2 b c 2 c a 2 0 所以a b c 这与题设a b c互不相等矛盾 因此假设不成立 从而原命题得证 规范解答9综合法与分析法的综合应用 典例 12分 2015 黄山模拟 1 设x 1 y 1 证明 2 设1 a b c 证明logab logbc logca logba logcb logac 解题导思研读信息快速破题 规范解答阅卷标准体会规范 1 由于x 1 y 1 所以x y xy xy x y 1 y x xy 2 2分将上式中的右式减左式 得 y x xy 2 xy x y 1 xy 2 1 xy x y x y xy 1 xy 1 x y xy 1 xy 1 xy x y 1 xy 1 x 1 y 1 5分既然x 1 y 1 所以 xy 1 x 1 y 1 0 从而所要证明的不等式成立 6分 2 设logab x logbc y 由对数的换底公式得 8分于是 所要证明的不等式即为x y 10分其中x logab 1 y logbc 1 故由 1 可知所要证明的不等式成立 12分 高考状元满分心得把握规则争取满分1 证明问题的常用思路 在解题时 常常把分析法和综合法结合起来运用 先以分析法寻求解题思路 再用综合法表述解答或证明过程 2 关键步骤要全面 证明数学问题时 一些关键的步骤必不可少 如果写不全 会扣掉相应的步骤分 如本例 1 中作差化简后的变形要彻底 2 中要注明x 1 y 1