高考数学 7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系课件.ppt

第三节空间点 直线 平面之间的位置关系 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 平面的基本性质 两点 过不在一条直线上 一条 2 空间两条直线的位置关系 位置关系分类 相交 平行 任何一个平面 平行公理 公理4 和等角定理 平行公理 平行于同一条直线的两条直线 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角 平行 相等或互补 异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线a b 经过空间任一点O作直线a a b b 把a 与b 所成的 叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 范围 锐角 或直角 3 空间直线与平面 平面与平面的位置关系 a A 1 a 0 a 无数 0 l 无数 2 必备结论教材提炼记一记 1 唯一性定理 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 2 异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线 3 确定平面的三个推论 经过一条直线和这条直线外的一点 有且只有一个平面 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 同一法 反证法 平移法 辅助平面法 2 数学思想 转化与化归思想 3 记忆口诀 夹角和距离求法口诀 空间距离和夹角平行转化是关键一找二证三构造三角形中找答案 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 两个不重合的平面只能把空间分成四个部分 2 两个平面 有一个公共点A 就说 相交于A点 并记作 A 3 两个平面ABC与DBC相交于线段BC 4 已知a b是异面直线 直线c平行于直线a 那么c与b不可能是平行直线 5 没有公共点的两条直线是异面直线 解析 1 错误 当两个平面平行时 把空间分成三部分 2 错误 由公理3知应交于过点A的一条直线 3 错误 应相交于直线BC 而非线段 4 正确 因为若c b 则由已知可得a b 这与已知矛盾 5 错误 异面或平行 答案 1 2 3 4 5 2 教材改编链接教材练一练 1 必修2P43T1改编 两两相交的三条直线最多可确定个平面 解析 当三条直线共点且不共面时 最多可确定三个平面 答案 3 2 必修2P52B组T1改编 如图是正方体的平面展开图 则在这个正方体中 CN与BM所成的角为 解析 由展开图得正方体如图所示 连接AN AC 因为BM AN 所以 ANC为异面直线CN与BM所成的角 或其补角 又 ANC为正三角形 故 ANC 60 答案 60 3 真题小试感悟考题试一试 1 2013 安徽高考 在下列命题中 不是公理的是 A 平行于同一个平面的两个平面相互平行B 过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面C 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在此平面内D 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 解析 选A 因为B C D是经过人类长期反复的实践检验是真实的 不需要由其他判断加以证明的命题和原理 是公理 而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理而不是公理 2 2015 北京模拟 a b c是两两不同的三条直线 下面四个命题中 真命题是 A 若直线a b异面 b c异面 则a c异面B 若直线a b相交 b c相交 则a c相交C 若a b 则a b与c所成的角相等D 若a b b c 则a c 解析 选C 如图 1 知A错 如图 2 知B错 如图 3 知D错 在直线c上任取一点P 过P作直线m a 则m b 因此a b与c所成的角都等于m与c所成的角 故选C 3 2014 大纲版全国卷 已知正四面体ABCD中 E是AB的中点 则异面直线CE与BD所成角的余弦值为 解析 选B 利用平移法求两条异面直线所成的角 画出正四面体ABCD的直观图 如图所示 设其棱长为2 取AD的中点F 连接EF CF 设EF的中点为O 连接CO 则EF BD 则 FEC就是异面直线CE与BD所成的角 或其补角 由题知 ABC为等边三角形 则CE AB 易得CE 同理可得CF 故CE CF 因为OE OF 所以CO EF 又EO EF BD 所以cos FEC 考点1平面的基本性质 典例1 1 2015 厦门模拟 下列四个命题中 真命题的个数为 如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点 那么这两个平面重合 两条直线可以确定一个平面 空间中 相交于同一点的三条直线在同一平面内 若M M l 则M l A 1B 2C 3D 4 2 2015 长沙模拟 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是AB和AA1的中点 求证 E C D1 F四点共面 解题提示 1 利用公理2 公理3及推论判断 2 只需证明EF CD1即可 规范解答 1 选B 根据公理2 可判断 是真命题 两条异面直线不能确定一个平面 故 是假命题 在空间 相交于同一点的三条直线不一定共面 如墙角 故 是假命题 根据平面的性质可知 是真命题 综上 真命题的个数为2 2 如图 连接CD1 EF A1B 因为E F分别是AB和AA1的中点 所以EF A1B且EF A1B 又因为A1D1 BC 且A1D1 BC 所以四边形A1BCD1是平行四边形 所以A1B CD1 所以EF CD1 即EF与CD1确定一个平面 且E F C D1 即E C D1 F四点共面 互动探究 本例第 2 题的条件不变 如何证明 CE D1F DA交于一点 证明 由例题解析可知 EF CD1 且EF CD1 所以四边形CD1FE是梯形 所以CE与D1F必相交 设交点为P 如图 则P CE 平面ABCD 且P D1F 平面A1ADD1 又因为平面ABCD 平面A1ADD1 AD 所以P AD 所以CE D1F DA交于一点 规律方法 1 证明点共面或线共面的常用方法 1 直接法 证明直线平行或相交 从而证明线共面 2 同一法 先确定一个平面 再证明有关点 线在此平面内 3 辅助平面法 先证明有关的点 线确定平面 再证明其余元素确定平面 最后证明平面 重合 2 证明空间点共线问题的方法 1 公理法 一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点 再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上 2 同一法 选择其中两点确定一条直线 然后证明其余点也在该直线上 3 证明三线共点的方法先选取两线交于一点 再证明该点在第三线上即可 变式训练 2015 武汉模拟 如图所示 四边形ABEF和ABCD都是梯形 BCAD BEFA G H分别为FA FD的中点 1 证明 四边形BCHG是平行四边形 2 C D F E四点是否共面 为什么 解析 1 由已知FG GA FH HD 得GHAD 又BCAD 所以GHBC 所以四边形BCHG是平行四边形 2 方法一 由BEAF G为FA中点知BEGF 所以四边形BEFG为平行四边形 所以EF BG 由 1 知BG CH 所以EF CH 所以EF与CH共面 又D FH 所以C D F E四点共面 方法二 如图所示 延长FE DC分别与AB交于点M M 因为BEAF 所以B为MA的中点 因为BCAD 所以B为M A的中点 所以M与M 重合 即FE与DC交于点M M 所以C D F E四点共面 加固训练 如图 已知正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别为D1C1 C1B1的中点 AC BD P A1C1 EF Q 求证 1 D B F E四点共面 2 若A1C交平面DBFE于R点 则P Q R三点共线 证明 1 连接B1D1 因为E F分别为D1C1 C1B1的中点 所以EF D1B1 又D1B1 DB 则EF DB 所以D B F E四点共面 2 因为AC BD P A1C1 EF Q 所以P 平面DBFE P 平面A1ACC1 Q 平面DBFE Q 平面A1ACC1 又A1C 平面DBFE R 所以R 平面DBFE R 平面A1ACC1 所以P Q R在平面DBFE与平面A1ACC1的交线上 因此P Q R三点共线 考点2空间直线的位置关系 典例2 1 2015 烟台模拟 a b c表示不同的直线 M表示平面 给出四个命题 若a M b M 则a b或a b相交或a b异面 若b M a b 则a M 若a c b c 则a b 若a M b M 则a b 其中正确的为 A B C D 2 如图所示 正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别是A1B1 B1C1的中点 问 AM和CN是否是异面直线 说明理由 D1B和CC1是否是异面直线 说明理由 解题提示 1 先判断命题 真假 再结合选择支判断其他命题真假 进而作出选择 2 通过说明MN AC 说明AM CN共面 从而判断 由图易判断D1B和CC1是异面直线 可用反证法证明 规范解答 1 选A 对于命题 a M b M 则a与b平行或相交或异面 故 正确 排除B C 若a M 则 错误 排除D 故选A 2 AM和CN不是异面直线 理由 连接MN A1C1 AC 因为M N分别是A1B1 B1C1的中点 所以MN A1C1 又因为A1AC1C 所以四边形A1ACC1为平行四边形 所以A1C1 AC 所以MN AC 所以A M N C在同一平面内 故AM和CN不是异面直线 D1B和CC1是异面直线 理由 因为ABCD A1B1C1D1是正方体 所以B C C1 D1不共面 假设D1B与CC1不是异面直线 则存在平面 使D1B 平面 CC1 平面 所以D1 B C C1 这与B C C1 D1不共面矛盾 所以假设不成立 即D1B和CC1是异面直线 易错警示 解答本例题 2 用反证法时有两点容易出错 1 将直线D1B与CC1异面的否定搞错 误以为不异面 则否定为平行或相交 2 不知推出的结论与谁矛盾 规律方法 异面直线的判定方法 1 反证法 先假设两条直线不是异面直线 即两条直线平行或相交 由假设出发 经过严格的推理 导出矛盾 从而否定假设 肯定两条直线异面 此法在异面直线的判定中经常用到 2 判定定理法 平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线 变式训练 1 2014 广东高考 若空间中四条两两不同的直线l1 l2 l3 l4满足l1 l2 l2 l3 l3 l4 则下列结论一定正确的是 A l1 l4B l1 l4C l1与l4既不垂直也不平行D l1与l4的位置关系不确定 解析 选D 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 记l1 DD1 l2 DC l3 DA 若l4 AA1 满足l1 l2 l2 l3 l3 l4 此时l1 l4 可以排除选项A和C 若l4 DC1 也满足条件 可以排除选项B 2 2015 承德模拟 设A B C D是空间四个不同的点 在下列命题中 不正确的是 填序号 若AC与BD共面 则AD与BC共面 若AC与BD是异面直线 则AD与BC是异面直线 若AB AC DB DC 则AD BC 若AB AC DB DC 则AD BC 解析 对于 由于点A B C D共面 显然结论正确 对于 假设AD与BC共面 由 正确得AC与BD共面 这与题设矛盾 故假设不成立 从而结论正确 对于 如图 当AB AC DB DC 使二面角A BC D的大小变化时 AD与BC不一定相等 故不正确 对于 如图 取BC的中点E 连接AE DE 则由题设得BC AE BC DE 根据线面垂直的判定定理得BC 平面ADE 从而AD BC 答案 加固训练 1 如果两条异面直线称为 1对 那么在正方体的十二条棱中共有异面直线 A 12对B 24对C 36对D 48对 解析 选B 如图所示 与AB异面的直线有B1C1 CC1 A1D1 DD1四条 因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱 排除两棱的重复计算 共有异面直线 24 对 2 如图所示 正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别为棱C1D1 C1C的中点 有以下四个结论 直线AM与CC1是相交直线 直线AM与BN是平行直线 直线BN与MB1是异面直线 直线AM与DD1是异面直线 其中正确的结论为 注 把你认为正确的结论序号都填上 解析 因为点A在平面CDD1C1外 点M在平面CDD1C1内 直线CC1在平面CDD1C1内 CC1不过点M 所以AM与CC1是异面直线 故 错 取DD1中点E 连接AE 则BN AE 但AE与AM相交 故 错 因为B1与BN都在平面BCC1B1内 M在平面BCC1B1外 BN不过点B1 所以BN与MB1是异面直线 故 正确 同理 正确 故填 答案 考点3异面直线所成的角知 考情计算异面直线所成角的大小 是高考考查空间角的一个重要考向 常与空间几何体的结构特征 三视图及平面图形的折叠等知识综合以选择题 填空题 解答题的形式出现 明 角度命题角度1 由几何体的结构特征计算其中异面直线所成的角 典例3 2014 新课标全国卷 直三棱柱ABC A1B1C1中 BCA 90 M N分别是A1B1 A1C1的中点 BC CA CC1 则BM与AN所成的角的余弦值为 本题源于教材必修2P48练习T2 解题提示 通过平行关系找出异面直线的夹角 再根据余弦定理求解 规范解答 选C 如图 取BC中点D 连接MN ND AD 由于MNB1C1BD 因此NDBM 则ND与NA所成角即为异面直线BM与AN所成的角 或其补角 设BC 2 则BM ND AN AD 因此cos AND 命题角度2 根据三视图计算其对应几何体中异面直线所成的角 典例4 2015 揭阳模拟 如图是三棱锥D ABC的三视图 点O在三个视图中都是所在边的中点 则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于 解题提示 将三视图还原成几何体 利用几何体的平行关系或特殊点 确定异面直线所成的角 规范解答 选A 由题意得如图所示的直观图 从A出发的三条线段AB AC AD两两垂直且AB AC 2 AD 1 O是BC中点 取AC中点E 连接DE DO OE 则OE 1 又可知AE 1 由于OE AB 故 DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角 在直角三角形DAE中 DE 由于O是中点 在直角三角形ABC中可以求得AO 在直角三角形DAO中可以求得DO 在三角形DOE中 由余弦定理得cos DOE 故所求余弦值为 悟 技法1 求异面直线所成角的常用方法及类型常用方法是平移法 平移的方法一般有三种类型 利用图中已有的平行线平移 利用特殊点 线段的端点或中点空间某特殊点 作平行线平移 补形平移 2 求异面直线所成角的三个步骤 1 作 通过作平行线 得到相交直线 2 证 证明相交直线夹角为异面直线所成的角 3 求 通过解三角形 求出该角 3 计算由三视图或平面图形折叠得到几何体中异面直线所成角的思路 1 准确作出直观图 2 在直观图中作出异面直线所成的角 进而求解 通 一类1 2015 岳阳模拟 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别为A1B1 BB1的中点 则异面直线AM与CN所成角的余弦值为 解析 选D 如图 取AB的中点E 连接B1E 则AM B1E 取EB的中点F 连接FN 则B1E FN 因此AM FN 连接CF 则直线FN与CN所夹锐角或直角为异面直线AM与CN所成的角 设AB 1 在 CFN中 由余弦定理cos cos CNF 2 2015 佛山模拟 如图所示 在正三棱柱ABC A1B1C1中 D是AC的中点 AA1 AB 1 则异面直线AB1与BD所成的角为 解析 如图所示 取A1C1的中点D1 连接B1D1 由于D是AC的中点 所以B1D1 BD 所以 AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角或其补角 连接AD1 设AB a 则AA1 a 所以AB1 a B1D1 AD1 在 AB1D1中 由余弦定理得cos AB1D1 所以 AB1D1 60 所以异面直线AB1与BD所成的角为60 答案 60 3 2015 盐城模拟 如图 在正三角形ABC中 D E F分别为各边的中点 G H分别为DE AF的中点 将 ABC沿DE EF DF折成正四面体P DEF 则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为 解析 如图 连接HE 取HE的中点K 连接GK PK 则GK DH 故 PGK即为所求的异面直线所成的角或者其补角 设这个正四面体的棱长为2 在 PGK中 PG GK PK 故cos PGK 即异面直线PG与DH所成的角的余弦值是 答案 4 2015 兰州模拟 如图 E F分别是三棱锥P ABC的棱AP BC的中点 PC 10 AB 6 EF 7 则异面直线AB与PC所成的角为 解析 取AC的中点M 连接EM MF 因为E F是中点 所以MF AB MF AB 3 ME PC ME PC 5 所以MF与ME所成的角即为AB与PC所成的角 或其补角 在三角形MEF中 cos EMF 所以 EMF 120 所以直线AB与PC所成的角为60 答案 60 自我纠错18空间直线 平面位置关系的判定 典例 2013 江西高考改编 如图 正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上 且AB CD 则正方体的六个面所在的平面与直线CE EF分别相交的平面个数的和为 解题过程 错解分析 分析上面解题过程 你知道错在哪里吗 提示 上述解题过程错在误认为EF不与前 后侧面相交 CE不与左 右两个侧面相交 规避策略 1 掌握概念及定理 要明确空间直线 平面的概念 熟练掌握空间直线 平面位置关系有关的判定定理和性质 提高空间想象能力 2 分清关系 要分清空间中直线 平面的位置关系与平面中的点 直线间的关系的不同 各种位置关系 要考虑全面 自我矫正 取CD的中点G 连接EG GF 在四面体CDEF中 CD EG CD FG 所以CD 平面EFG 因为AB CD 所以AB 平面EFG 所以正方体的左 右两个侧面与EF平行 其余4个平面与EF相交 又因为CE与AB在同一平面内 所以CE与正方体下底面共面 与上底面平行 与其余四个面相交 故相交的平面的个数为4 4 8个 答案 8