高考数学 2.12 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用课件.ppt

第十二节定积分的概念与微积分基本定理 定积分的简单应用 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 定积分的概念 几何意义与性质 定积分的定义及相关概念 一般地 如果函数f x 在区间 a b 上连续 用分点a x0 x1 xi 1 xi xn b 将区间 a b 等分成n个小区间 在每个小区间 xi 1 xi 上任取一点 i i 1 2 n 作和式当n 时 上述和式无限接近某个常数 这个常数叫做函数f x 在区间 a b 上的定积分 记作 在中 a与b分别叫做积分下限与积分上限 区间 叫做积分区间 函数f x 叫做被积函数 x叫做 叫做被积式 a b 积分变量 f x dx 定积分的几何意义 x a x b x a x b 定积分的性质 kf x dx k为常数 f1 x f2 x dx 其中a c b 2 微积分基本定理 一般地 如果f x 是区间 a b 上的连续函数 并且F x f x 那么 这个结论叫做微积分基本定理 又叫牛顿 莱布尼茨公式 F b F a 3 定积分的应用 定积分与曲边梯形面积的关系 设阴影部分的面积为S S f x dx S S S f x dx g x dx f x g x dx 定积分与变速直线运动的路程及变力做功间的关系 s W 2 必备结论教材提炼记一记设函数f x 在闭区间 a a 上连续 则有 1 若f x 是偶函数 则f x dx 2f x dx 2 若f x 是奇函数 则f x dx 0 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 利用定积分求曲边梯形面积的方法 2 数学思想 数形结合 分类讨论 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 设函数y f x 在区间 a b 上连续 则f x dx f t dt 2 定积分一定是曲边梯形的面积 3 若f x dx 0 那么由y f x x a x b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方 解析 1 正确 定积分与被积函数 积分上限和积分下限有关 与积分变量用什么字母表示无关 2 错误 不一定是 要结合具体图形来定 3 错误 也有可能是在x轴上方部分的面积小于在x轴下方部分的面积 答案 1 2 3 2 教材改编链接教材练一练 1 选修2 2P55B组T1 3 改编 3xdx 解析 答案 2 选修2 2P60A组T6改编 汽车以36km h的速度行驶 到某处需要减速停车 设汽车以等减速度a 2m s2刹车 则从开始刹车到停车 汽车走的距离是m 解析 先求从刹车开始到停车所用的时间 t 0时 v0 36km h 10m s 刹车后 汽车减速行驶 速度为v t v0 at 10 2t 由v t 0可得 t 5s 所以从刹车到停车 汽车所走过的路程为v t dt 10 2t dt 10t t2 25 m 即汽车从开始刹车到停住 共走了25m 答案 25 3 真题小试感悟考题试一试 1 2013 江西高考 若s1 x2dx s2 dx s3 exdx 则s1 s2 s3的大小关系为 A s13 所以s2 s1 s3 2 2014 山东高考 直线y 4x与曲线y x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为 A 2B 4C 2D 4 解析 选D 由得交点为 0 0 2 8 2 8 所以S 4x x3 dx 2x2 x4 4 故选D 3 2015 贵阳模拟 已知t 1 若 2x 1 dx t2 则t 解析 2x 1 dx x2 x t2 t 2 从而得方程t2 t 2 t2 解得t 2 答案 2 考点1定积分的计算 典例1 1 2014 江西高考 若f x x2 2f x dx 则f x dx 2 2015 石家庄模拟 dx 解题提示 1 利用方程思想求解 2 dx利用定积分的几何意义求解 规范解答 1 选B 设则c 解得c 2 因为的几何意义是单位圆x2 y2 1 x 0 y 0 与坐标轴围成区域的面积 所以又则答案 互动探究 若本例 1 条件变为 若 a 1 试求a的值 解析 由所以解得a 2 规律方法 计算定积分的步骤 1 把被积函数变形为幂函数 正弦函数 余弦函数 指数函数与常数的积的和或差 2 把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分 3 分别用求导公式找到一个相应的原函数 4 利用微积分基本定理求出各个定积分的值 5 计算原始定积分的值 提醒 根据定积分的几何意义可利用面积求定积分 变式训练 2014 湖北高考 若函数f x g x 满足 0 则称f x g x 为区间 1 1 上的一组正交函数 给出三组函数 f x sinx g x cosx f x x 1 g x x 1 f x x g x x2 其中为区间 1 1 的正交函数的组数是 A 0B 1C 2D 3 解析 选C 对于 则f x g x 为区间 1 1 上的正交函数 对于 则f x g x 不为区间 1 1 上的正交函数 对于 则f x g x 为区间 1 1 上的正交函数 所以满足条件的正交函数有2组 加固训练 求下列定积分 1 2 解析 1 因为 3 2x 所以 2 3x3 4sinx dx表示直线x 5 x 5 y 0和曲线y f x 3x3 4sinx所围成的曲边梯形面积的代数和 且在x轴上方的面积取正号 在x轴下方的面积取负号 又f x 3 x 3 4sin x 3x3 4sinx f x 所以f x 3x3 4sinx在 5 5 上是奇函数 所以 3x3 4sinx dx 3x3 4sinx dx 所以 3x3 4sinx dx 3x3 4sinx dx 3x3 4sinx dx 0 考点定积分在物理中的应用 典例 1 2013 湖北高考 一辆汽车在高速公路上行驶 由于遇到紧急情况而刹车 以速度v t 7 3t t的单位 s v的单位 m s 行驶至停止 在此期间汽车继续行驶的距离 单位 m 是 A 1 25ln5B 8 25lnC 4 25ln5D 4 50ln2 2 2015 郑州模拟 已知作用于某一质点的力F x 单位 N 则力F x 从x 0处运动到x 2处 单位 m 所做的功为 解题提示 1 先求出行驶至停止时所用时间 然后利用定积分求出汽车行驶的距离 2 分别在积分区间 0 1 和 1 2 求定积分 规范解答 1 选C 7 3t 0 t 4或t 0 舍去 2 根据题意 力F所做的功为答案 J 规律方法 定积分在物理中的两个应用 1 求变速直线运动的路程 如果变速直线运动物体的速度为v v t 那么从时刻t a到t b所经过的路程s v t dt 2 变力做功 一物体在变力F x 的作用下 沿着与F x 相同的方向从x a移动到x b时 力F x 所做的功是W F x dx 变式训练 物体A以v 3t2 1 m s 的速度在一直线l上运动 物体B在直线l上 且在物体A的正前方5m处 同时以v 10t m s 的速度与A同向运动 出发后 物体A追上物体B所用的时间t s 为 A 3B 4C 5D 6 解析 选C 由题意知即解得t 5 加固训练 一质点在直线上从时刻t 0 s 开始以速度v t2 4t 3 m s 运动 求 1 在t 4s的位置 2 在t 4s内运动的路程 解析 1 在时刻t 4时该质点的位置为 m 即在t 4s该质点距出发点m 2 因为v t t2 4t 3 t 1 t 3 所以在区间 0 1 及 3 4 上的v t 0 在区间 1 3 上 v t 0 所以t 4s时的路程为s 4 m 即质点在4s内运动的路程为4m 考点2利用定积分计算平面图形的面积知 考情利用定积分计算平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考向 常与解析几何 概率交汇命题 主要以选择题 填空题的形式出现 属中低档题 明 角度命题角度1 求平面图形的面积或根据面积求参数 典例2 2015 青岛模拟 由曲线xy 1 直线y x x 3所围成的封闭平面图形的面积为 A B 4 ln3C 4 ln3D 2 ln3 解题提示 画出平面图形 根据图形确定积分的上 下限及被积函数 规范解答 选B 由曲线xy 1 直线y x x 3所围成的封闭的平面图形如图所示 由得或由得故阴影部分的面积为 命题角度2 与概率综合应用 典例3 2014 福建高考 如图 在边长为e e为自然对数的底数 的正方形中随机撒一粒黄豆 则它落到阴影部分的概率为 解题提示 本题考查了互为反函数的两个函数在图象上的性质 利用对称性 将问题化为可利用定积分求解面积的问题 规范解答 y ex和y lnx互为反函数 不妨将样本空间缩小到左上方的三角形 则答案 易错警示 解答本题有两点容易出错 1 不清楚两个阴影部分面积相等导致错解 2 对积分上 下限确定错误 悟 技法1 利用定积分求平面图形面积的步骤 1 根据题意画出图形 2 借助图形确定出被积函数 求出交点坐标 确定积分的上 下限 3 把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和 4 计算定积分 写出答案 2 根据平面图形的面积求参数的求解策略先利用定积分求出平面图形的面积 再据条件构建方程 不等式 求解 通 一类1 2015 莆田模拟 如图 由函数f x ex e的图象 直线x 2及x轴所围成的阴影部分面积等于 A e2 2e 1B e2 2eC D e2 2e 1 解析 选B 由已知得S 2 2015 合肥模拟 由曲线f x 与y轴及直线y m m 0 围成的图形的面积为 则m的值为 A 2B 3C 1D 8 解析 选A S 解得m 2 3 2015 北京模拟 如图 圆O x2 y2 2内的正弦曲线y sinx与x轴围成的区域记为M 图中阴影部分 随机向圆O内投一个点A 则点A落在区域M内的概率是 解析 阴影部分的面积为圆的面积为所以点A落在区域M内的概率是答案 自我纠错7利用定积分求平面图形的面积 典例 2015 太原模拟 如图 由两条曲线y x2 y x2及直线y 1所围成的平面图形的面积为 解题过程 错解分析 分析上面解题过程 你知道错在哪里吗 提示 上述解题过程错在把平面图形的下边界搞错了 误认为y x2是平面图形的下边界而导致失误 规避策略 1 当平面图形的上 下 边界是不同的函数的图象时 可在交点处作x轴的垂线 从而确定积分上下限 分段求面积 2 被积函数实际上就是曲线所围图形的上边界的函数解析式减去下边界的函数解析式 自我矫正 由得交点A 1 1 B 1 1 由得交点C 2 1 D 2 1 所以所求面积答案