《傅里叶光学》长春理工大学

傅里叶光学 Fourier Optics 薛常喜 光电工程学院,1）光学是一门古老的学科，主要研究光波的本性、光波的传播以及光与物质的相互作用。 2）光学的发展历史可以追溯到公元前5世纪，到目前已经有2000多年的历史，并逐渐在物理学中形成了一门独立 的基础学科。 3）光学的发展历史可以看成是人们对光本性认识的历史，以及人们利用光学技术推动社会不断进步的历史。 4）在整个发展历史中，光学也从经典光学发展到现代光学，人们对光学的认识不断深入，而光学在整个社会中的应用也越来越广泛。,1、傅里叶光学的发展历史,光学的发展历程,第一阶段：17世纪中叶之前 经典光学的早期发展阶段 【几何光学】,触觉论、发射论,直线传播、小孔成像、光的反射和凹凸面镜反射成像,公元前5世纪,公元前4世纪,Snell折射定律、费马原理,公元前3世纪到公元17世纪中叶,第二阶段：17世纪中叶至19世纪 经典光学的快速发展阶段【波动光学】,波动学说和粒子学说之争,17世纪初至19世纪末,Maxwell电磁波理论 迈克尔逊-莫雷以太实验,19世纪60年代,第三阶段：20世纪 现代光学的诞生及发展阶段,量子力学、相对论、波粒二像性、物质波理论,20世纪上半叶,全息术、光学传递函数及激光器的诞生,20世纪40年代至60年代,量子光学、傅里叶光学、薄膜光学、集成光学、非线性光学、光纤光学等现代光学分支的诞生,20世纪60年代以来,19世纪80年代,5）现代光学发展的三件大事1948年，全息术的诞生，物理学家第一次精确地拍摄下一张立体的物体像，它几乎记录了光波所携带的全部信息 (这正是“全息”名称的来历)！1955年，科学家第一次提出“光学传递函数”的新概念，并用它来评价光学镜头的质量。1960年，一种全新的光源-激光器诞生了，它的出现极大地推动了相关学科的发展。,6）20世纪50年代 数学、电子技术、通信理论与光学相结合，给光学引入了频谱、空间滤波、载波、线性变换及相关运算等概念，从而形成了一门新的光学学科傅里叶光学！ 傅里叶变换和通信中的线性系统理论使光学与通信在信息学领域统一起来，从“空域” 走向“频域”。 光学不再仅限于用光强、振幅和透过率的空间分布描述光学图像，也用空间频率的分布变化描述光学图像。,1、傅里叶光学的发展历史,6）20世纪60年代以来由于激光器的应用，全息术获得了新的生命；全息术和光学传递函数的概念结合，光学研究的内容和方法发生了改变,7）随着计算机技术的发展，信息光学也获得了巨大发展，信息光学逐渐发展成为集光学、计算机和信息科学相结合的一门技术，成为信息科学的一个重要组成部分和现代光学的核心之一。,传统上，用光强、振幅的空间分布来描述光学图像,现在，则把图像看作是由缓慢变化的背景、粗 的轮廓等比较低的“空间频率”成分和急剧 变化的细节等比较高的“空间频率”成分构成 的，用频率的分布和变化来描述光学图像。,“空域” “频域”,傅里叶光学（又称信息光学）最终形成一个重要的学科分支。,1、傅里叶光学的发展历史,1）课程将从三个方面介绍傅里叶光学的基本内容 一、信息光学的基础理论，包括傅里叶变换、线性系统理论、标量衍射理论、传递函数理论等； 二、信息光学的主要应用，包括光学全息、计算全息、空间滤波、光学相干和非相干处理等； 三、信息光学的最新发展动态，如激光散斑、分数傅里叶变换等。 2）具体安排见下页,3、本课程的主要内容,1）傅里叶光学基于傅里叶变换的方法研究光学信息在线性系统中的传递、处理、变换与存储等。 2）傅里叶光学主要的研究内容包括： 光在空间的传播（衍射和干涉问题） 光学成像（相干与非相干成像系统） 全息术（包括计算全息） 光学信息处理（相干滤波、相关识别等） 光学变换、光计算、光学传感等 3）傅里叶光学主要的研究方法：傅里叶变换+线性系统理论,2、傅里叶光学的研究内容和研究方法,课程内容安排 第一章 傅里叶变换 第二章 二维线性系统 第三章 标量衍射理论 第四章 透镜的位相调制和傅里叶变换性质 第五章 光学成像系统的频率特性 第六章 部分相干理论 第七章 光学全息 第八章 光学信息处理 第九章 激光散斑及其应用,3、本课程的主要内容,主要内容 1.引言信息 2.光学信息光信息处理的优势 3.光信息处理发现的历史 4.光信息处理作为一个新的技术科学分支还远远没有达到成熟和广泛实用阶段。 5.具体体现： 6.课程学习要求达到目的,从信息光学角度进一步阐述傅里叶光学,一引言信息科学技术是组成社会生产力的一个重要因素，社会生产水平最终决定人类改造自然的能力和范围，也就决定了科学技术工作的任务，性质和规模。 信息分为两种类型： 1.能量传递和转换为特征18世纪60年代的工业革命，以纺纱机和蒸汽机的发明为先导。 2.信息科学的形成20世纪中叶以来，随着自动控制，通讯，电子计算机的迅猛发展。从而认识到信息运动是物质运动总体的一个方面，它与能量运动存在于统一的物质运动中。,信息的表现形式多种多样 例如：人的语言是社会信息遗传密码是生物信息计算机程序是技术信息信息借助一定的物质作为载体才能存在、传递或变换，同时必须伴有一定的能量。信息的变换过程包括信息的接受，存取和处理。,二光学信息光学是研究光的本性、光的产生、传输、接收及光与物质相互作用规律和特性的一门科学。人们主要是从光的能量和信息两个侧面加以研究。随着电子技术、半导体技术、计算机技术、信息论等新兴科学的发展，与应用光学相互渗透，相互交叉，产生了一系列光学学科中新的生长点。现代应用光学与光学工程就其范围来说，分为： 光能量技术 光信息技术 1.光能量技术主要包括：照明工程；激光武器；激光加工；太阳能利用等,2.光信息技术主要包括： A.光学量测试技术它以光强、位相、波长、频率、旋光度等光信息的空间分布和随时间的变化作为测试对象，或者将非光量信息转换为光信息加以测量，如光谱分析、光度测量干涉计量、莫尔条纹测量等等 B.光信息处理它以信息光学为基础，用付里叶分析的方法研究光学成像和光学变换的理论和技术；实现图像的改善和增强，图像识别，图像的几何畸变与光度的规整和纠正，光信息的编码、存储和成图技术，三维图象显示和记录，仿生视觉系统，以及电、声等非光信号的光信息处理等等。 C.光纤通信用纤维光缆代替金属电缆，实现传输量大、防干扰性好、保密性强，耗电少的新型通信线路，将是近年迅猛发展的一个新领域。,三光学既古老又年轻由于信息光学、统计光学、波导光学、集成光学、空间光学、海洋光学、仿生光学等新光学的产生，又因激光的出现，付里叶光学促进了图像科学与工程（Image Science and Engineering）的发展。新型的电光、光电材料的不断发明，形成了崭新的光电子学(Optoelectronics)，所以应用光学与光学工程(Applied Optics and Optics Engineering)与电子学的关系更加密切。总之“信息光学”作为光信息处理的理论基础，它是物理光学、信息科学和光电子学相交叉的一个学科分支。,本课程将经典物理光学的基础上，阐明傅立叶光学的分析方法，对光学成像过程、光信息处理系统、全息照相以及光信息处理用元器件的有关光学知识作一系统叙述，从技术科学的角度为工程应用提供理论基础。此外，既然把光作为信息的载体，还应该研究光信息传输和变换的有效性、可靠性以及系统抗干扰的能力。这就是说，有必要对光编码、光噪声、光存储以及信息传输过程中光量子效应等问题做全面的探讨。但由于学时有限，有待进一步总结。,四光信息处理的优势 1. 电子学的缺点由于现代科学技术的发展提高计算机的运算速度和通信容量。从这个意义来说，电子计算机正面临光计算机的挑战，换句话说，光信息处理与光通信急速发展的原因是由于光波本身物理本质的优越性。电子计算机高速化有以下三个方面限制 1)量子力学限制 2)热力学限制 3)电子线路技术的限制 4)电子通信容量的限制,2.光信息处理具有以下特点1)易于实现二维和三维光信息的并列处理，特别有利于快速图像处理。2)运算速度快，基本上按光速进行。 目前，全息片的存储速度已达 毕/秒。3)光信息容易模拟其他物理量信息，如微波天线电磁场的模拟和超声波的模拟等。由于光波波长短，模拟装置的几何尺寸大小缩小。4)由于光学装置受到光学材料及记录介质质量等的限制，产生光噪音的因素较多，运算精度还不高，一般只能达到百分之几。5)目前光信息处理还处于模拟运算阶段，线性变换中以付里叶最易实现。非线性变换及空间变换处理系统正在深入研究。所以与数学计算机相比，运算的灵活性较弱。,五光信息处理发现的历史原始的光信息处理处理方法可以追溯到著名的佛科刀口检验与辉纹法，他都是以弱衍射效应为基础，从可见的光场中提取必要的信息。 1）1873年E.Abbe对显微镜成像的探讨，阐明了光学系统分辨率与物面空间频谱的联系。 2）1906年Porter实现了空间滤波的实验。 1）-2）公认为相干光处理系统的先驱3）1927年Michelson说明了再现记录的衍射图样叠加重要的位相信息后成像的过程。,4)最早最有效的光学处理系统是1935年F.Zernike的相衬显微镜，成功运用了滤波。 5）1948年盖伯（D.Gabor）在研究电子显微镜分辨率的同时，提出了以菲涅耳衍射成像构成的全息术（更大突破，激光出现验证成功）。 1970年获得诺贝尔奖 1）-5）光信息处理的萌芽时期。 衍射成像理论是以付里叶变换为数学工具的。 6）1946年P.Duffieux开始应用光学系统成像理论，对像质评价方法，光学系统设计和性能测试有了很大的促进。20世纪50年代，美国成功实现模拟雷达信号处理及相控阵列雷达信号处理系统。 7）1963年迂内顺平采用真空镀膜制作逆滤波器来处理模糊图象。,8）A.marechel用空间滤波的方法来消除图片的网点，抽出轮廓，改变图象的对比。 60年代激光问世 9)1962年利思（E.Leith）和乌帕特尼克斯（J.Upatniks）利用空间载波的概念，拍摄和重现了高质量的全息图。 10）1964年范德拉格特（A.Vandor-Lugt）用复数空间滤波的概念，全息空间滤波器作了字符识别实验，使光学信息处理进入一个广泛的应用阶段。,光波传播规律的科学 （天文，显微，视光学，自然奇观）光波与物质的相互作用（光合，照片胶卷，辐射与生物，光电子）,中国 墨子 小孔成像古希腊 欧几里德 反射光学,1608， 望远镜， 荷兰，李普塞 1612， 显微镜， 荷兰，姜森 1860，光谱分析仪， 德国，基尔霍夫,光学仪器,哈勃望远镜,相对论 量子力学 麦克斯韦方程组 门捷列夫的元素周期表,19世纪末期世界科学几大发现,1948，全息术诞生 （英，盖伯） 1955，光学传递函数 （评价镜头） 1960，激光的诞生 （红宝石激光） 1961，中国的第一台激光器（长春光机所）,现代光学的发展,1961年，我国第一台激光器,I （振幅，光强），1792， 黑白照相 （波长，频率），1908， 彩色照片 （位相），1935，相衬显微镜 I， 全息照相 CT 计算机技术，1979诺贝尔医学奖,光学照相的发展,90%的信息通过视觉 古代 烽火台 光波，承载，传播，记录，萃取，显示信息 光纤通信技术 光驱外设，光盘存储技术 空间光学与航空技术,近代光学与信息科学,傅里叶光学（傅里叶级数） 线性系统理论引入现代光学 光的传播，衍射，成像 从空域到频域 光学信息处理 应用，高密度存储 光学测量技术,信息光学的研究,光盘存储,人民日报全文数据库（1993）,激光体全息高密度存储实验系统,激光全息防伪人民币（建国50周年纪念币）,奥迪轿车车身在线三维测量系统,激光测距与激光雷达（1）,激光测距与激光雷达（2）,长度测量,空间滤波的应用,相干光学信息处理实验,图像相减的实验结果微分滤波（边缘增强）的实验结果, 调制实验的彩照,在以下各个方面得到了初步应用和发展 1.合成孔径雷达信息处理 2.声纳信号处理 3.地震法物理勘探波形分析 4.图象加强和复原 5.图样识别 6.航空摄影测量图光学处理 7.非破坏检查 8.晶体结构分析 9.光学计量 10.生物医学等,六光信息处理作为一个新的技术科学分支还远远没有达到成熟和广泛实用阶段。具体体现： 1.在基础理论和系统方面：光学一般变换，非线性变换系统，空间变相干光处理系统部分相干性理论，相干与非相干光的转换机制等等尚待深入研究。由于相干系统的光噪声问题不易克服，近年来对非相干光和白光处理系统的研究又有加强趋势。 2.在材料器件方面实时调制器，可逆光学存贮器，光电子电光转换陈列器件还是十分薄弱环节，严重阻滞光信息处理的发展和应用。目前认为，发挥光学与电子光学的优势，弥补两者的不是从长远的意义来说，发展光-电子式混合式计算机是值得研究的重要方向。,对光学信息处理的理解性定义：从光衍射的惠更斯-菲涅耳原理可知，光学系统的成像过程就是二次付里叶变换的过程，它是光电信息处理的基本着眼点。用付里叶分折的观点，可以把任何二维图象看成各种空间频率的正弦光栅迭加的结果。同时，又可把光学系统成像特性归结为对不同空间频率正弦光栅的成像特性，即光学系统的空间频率响应。因为图象和他的付里叶变换频谱有着对应的关系，我们研究一下图象既可以在像面上进行，也可以在它的谱面上进行，只要搞清楚其中的一个，就等于搞清楚了另一个。所以处理与分析一个图象，可以在像面进行，也可以在谱面进行。,七课程学习要求达到目的 1. 学习要求，掌握物理光学，应用光学，光学测量知识，同时要掌握一定的数学知识。 2. 理解透镜的位相调制作用和付里叶变换性质。 掌握付里叶分析和线性系统的基本理论，常用函数，函数及其付里叶变换，卷积和相关的基本概念。 理解透镜的位相调制作用和付里叶变换性质。 掌握相干传递函数和光学传递函数的基本概念，用其对光学成像系统进行频谱分析。 掌握光学信息处理和空间滤波的概念及其基本原理，能对相干光、非相干光及白光的信息处理进行分析和应用。,采用脉冲响应与线性系统理论进行分析，主要有以下两个主要理由： 1.它简化了分析方法，使得能够实际计算问题的解； 2.电气工程师对脉冲响应与线性系统理论较为熟悉。,Phone:13504428642 Email: xcx272479sina.comxuechangxicust.edu.cn,第一章 基本数学知识,主要内容 1.几个常用函数 2. 函数 3.傅立叶变换 4.卷积和相关,1.1几个常用函数 1.矩形函数（Rectangle function）光学上常常用矩形函数表示狭缝、矩孔的透过率。它与某函数相乘时，可限制函数自变量的范围，起到截取的作用，故又常称为“门函数”。,函数 定义 Sinc函数常用来描述狭缝或矩孔的夫琅和费衍射图样。,3.三角函数（triangle function）三角函数可用来表示光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数。,4.阶跃函数 定义： 常用它表示直边（或刀口）的透过率。 5.符号函数（sign function）它与阶跃函数的联系则表示间断点移到的符号函数。当它与某函数相乘，可使部分函数的极性（正负号）改变。例如某孔径的一半嵌有的位相板，可利用符号函数来描述它的复振幅透过率。,6.圆柱函数（circle function） 在直角坐标系中圆柱函数定义为极坐标内定义为常用来表示圆孔的透过率。,7.高斯函数 定义式： 性质：常用作描述激光器发出的高斯光束。,8.梳状函数通常总在直角坐标系内考察二维梳状函数，并记为comb(x,y)定义为,1.2 函数在物理学和工程技术中，人们常常考察质量或能量在空间或时间上高度集中的各种现象，为此，人们设想了诸如质点，点电荷，点光源，以及瞬时脉冲等物理模型。函数就是用来描述这类物理模型的数学工具。函数不是普通函数，它不像普通函数那样完全由数值对应关系确定。它是广义函数，其属性完全由它在积分中的作用表现出来。,1.定义光学成像系统中常把“光点”作为成像的物单元。数学上的点是没有大小的，它仅仅代表一个空间位置，但光学中往往一个点又包含了一定的物理量。为了表示这种关系，引入一个函数的概念。函数又称脉冲函数。若有一点光源在空间占了某一位置，它发出一定的光能量，除了这一点的位置以外空间其它位置都不发光。显然，这一点的面积趋向于零的，因此这点的面发光强度成了无穷大。但是这个无穷大又不能是任意的，它对于任意无限小区间（-，）的积分值，也就是点光源发出的总光能量，又必须是一个定值。,（1）脉冲函数的定义以上是在一维情况下，在光学中这相当于一个线光源，即一个无限长的狭缝。这样的一个线光源的数学模型就是一维函数：,（2）矩形函数极限因为上一种方法定义，运算时比较困难，因此常用矩形函数极限定义：设有一个矩形函数，它的底宽为 ，高度为N，面积等于1，假定这个矩形函数的底宽逐渐变窄，也就是N逐渐变大，那么高度就全随之增高，但矩形的面积始终等于1，则 ，而面积=1，则函数旋Nrect（Nx）的极限就是函数的定义,也可以这样,（3）函数序列的极限,（4）广义函数定义下的函数因此函数可以用不同的矩形函数的极限来定义，所以是一个广义函数。为了判别不同的函数族所定义的是不是，同一个广义函数，就需要用一个检验函数 检验函数 需满足两个条件： 1）函数连续可微任意次 2）当 时， 及其各阶段导数值都趋于零 3）当 时， 下降很快，比 收敛很快，N为整数 利用检验函数 ，可得 得一个定义任意函数族的极限，只要满足上式，都可以用来定义函数，上式是 函数的严格定义。由于 地函数值不一定有直接的定义，因此在讨论函数时通常是指它的积分值。,2.函数的性质 （1）筛选性光学函数能 从中取出（2） 偶函数（3） 卷积（4）,（5） 与普通函数的乘积（6） （7） 的导数性质a） b）c）,（8）这个式相当于常数1的付利叶变换。,1.3 付里叶变换 一付里叶级数 1周期函数检验光学系统成像质量用的鉴别率板，当只考虑一维情况时，它的图形和光强度分布如图光强度写成 ，则在 方向伸展的光强度变化（1） （1）式称为周期，周期为X，周期的倒数即单位自变量内周期函数重复的次数称为频率,2.付里叶级数的系数3 付里叶级数的收敛定理（狄里赫利条件）,4 付里叶级数的物理变量周期函数可以展开为付里叶级数，这为处理某些物理过程提供了一个极为有用的数学方法。函数中以 为周期的函数 可以展开为付里叶级数，而级数的每一项是以 为周期的三角函数，式中的变量x所表示的是角变量，常取弧度为单位。物理过程中的周期现象常是由一些有物理意义的变量来描述的，周期也不一定是 。所以在用付里叶级数来讨论某一物理问题时，需要赋予付里叶级数一些相应的物理变量。为了使周期现象能化成以三角函数式来表示的付里叶级数，我们用 作为变量。 即： 引入圆频率 的概念： 意义：单位时间内变化的角度，单位取,则积分域由,变为,对于光学成象中的周期现象，我们常用空间周期函数 来表示。变量x所代表的是以mm为单位的空间位置。不是函数式中角度变量x。函数 的空间周期为P，空间频率为 ，它的物理意义是单位长度内光的周期变化次数，单位为 。把这些关系式代入以上函数式，便可得到空间频率展开的付里叶级数表达式积分域为 f: 基频 基波 2fnf 谐波,上面已经提到过，函数式中的傅里叶级数的各项是以为周期 的三角函数。对于频率为f（周期为P）的空间周期函数，展开成傅里叶技术后，它的各项也是各种频率的三角函数。这些不同频率的三角函数可以理解为各种频率的波，而第n项波相应的频率是原来函数f的n倍。如n=1，则第一项频率f；n=2，频率为2f；。我们称原来周期函数的频率f为基频，具有频率为f的波为基波，而其它各项的频率是基频f的整数倍。这些倍频的波统称为谐波。这样，一个频率为f的空间周期函数，可以用傅里叶级数的运算法则，把它分解为具有基波和各次谐波的三角函数之和（常数项可以理解为n=0）。类似的讨论同样适用于其它物理过程的周期现象。在光学传递函数的讨论中，我们所关心的空间周期函数，涉及的频率也是指空间频率。例：它的光强度空间分布是一个一定空间频率的矩形波。利用傅里叶级数的展开法则，可以把它分解为一些列不同空间频率的正弦（或余弦）波。这个矩形物的象就是各个正弦物的象的总和，而讨论各个不同空间频率的正弦物的成像就可以直接运用光学传递函数的概念。,5.周期函数展开成付里叶级数 一维鉴别率板的矩形波函数 ，它的周期为P，频率 ，振幅为例1,利用前面公式式，解得因为 奇函数，所以则根据傅立叶级数收敛定理，在间断点上下图表示了这个矩形波的展开以及基波与各次谐波相加的情形。可以看出，高次谐波的项数取得越多，则相加后的结果越接近与原来的波形，为了不使这个矩形波函数出现负值，可把坐标做适当推移。,6 付里叶级数的指数形式令所以式中,因为当n=0时，,三个式子合并起来写为：,综合以上两式，就得,表示了空间频率为nf的各次谐波,表示了各次谐波的振幅大小和相位关系,代数式的项数（n数）为,指数式的项数为,代数形式：,指数形式,6 付里叶级数的指数形式 7.频谱分析与频谱图 8.非周期函数的付里叶展开 9.付里叶展开和付里叶变换的定义和物理意义,四付里叶变换的性质,卷积和相关 一 卷积和相关的定义符号表示相关，*符号表示卷积，我们用图解析卷积和相关的运算过程，并说明相关不可变换及可变换性。,展宽 平滑化：被积函数经过卷积运算，其微细结构在一定程度上被消除，函数本身的起伏变得平缓圆滑。,卷积过程的两个效应,卷积运算定理 1、交换律2、分配律3、结合律这几个定律不难证明。,包含函数的卷积-函数的移位 任意函数和脉冲函数的卷积：原点处的篩选性质有任意函数和位于 处的脉冲函数的卷积得到这个性质有助于对于重复的物理结构的描述，如光栅、双缝等,卷积的物理意义-透镜的非相干成象理想的物象关系是点点对应，物象共轭。实际成象时产生一个弥散斑。由物点和附近的无数个点共同产生如果每个点的贡献只与该点与物点的距离有关，与具体象（高斯物点所成的）的位置无关像点的总光能表示为,相关运算 两个函数的互相关定义为：与卷积的差别在于相关运算中后一个函数取复共轭，且不需要折叠，不满足交换律。互相关运算是两个函数间相似性的度量。函数本身的自相关定义为自相关有一个重要性质：它的模在原点处最大，即这个性质常常用来作为图象（信号）识别的判据,互相关在两函数有相似性时出现峰值，自相关则会在位移到重叠时出现极大值,互相关与自相关比较,二卷积和相关的性质 （一）线性 (二) 付里叶变换性质 若1 卷积性质,5巴塞伐定理若则有如下性质：,线性系统与线性空不变系统,常用函数及其傅里叶变换（1）常数c（2） 函数（3）余弦函数（4）正弦函数,（5）阶跃函数 用于表示开关（6）符号函数 用于改变极性（正负号）,（7）矩形函数 表示狭缝（8）三角形函数 表示矩形光瞳OTF,（9）梳状函数 用来表示光栅，抽样（10）高斯函数 用于表示激光光束光强分布,线性系统的叠加性质,一个二维脉冲函数在输入平面上位移时，线性系统的响应函数形式始终与在原点处输入的二维脉冲函数的响应函数形式相同，仅造成响应函数相应的位移，即这样的系统称为二维不变线性系统。其脉冲响应函数可表示为脉冲响应函数仅仅依赖于观察点与脉冲输入点坐标的相对间距二维线性不变系统还常常叫做空间不变（线性）系统,二维不变线性系统的定义,空间不变线性系统的输入输出关系示意图,不变线性系统的“卷积积分”,物理的空间不变线性系统，输入平面和输出平面常常是不同的两个平面，需要建立两个坐标 从研究输入和输出之间关系的角度来看，输入和输出两种信号放在同一坐标系中是方便的，因此对输入平面和输出平面的坐标做归一化（不管两者是否表示同一种物理量），使得从数值上有 和 脉冲响应函数变为 叠加积分变为“卷积积分” 光学成象系统可以把物平面划分为若干个等晕区，把每个等晕区当作空间不变线性系统处理,二维不变线性系统的传递函数,如果不变线性系统的输入是空域函数，其傅里叶变换为同时输出函数和脉冲响应函数的傅里叶变换分别为根据卷积定理有 即称做不变线性系统的的传递函数,传递函数的意义,空间频谱是基元函数的线性组合中对应的权重因子输入和输出空间频谱之比表达了系统对于输入函数中不同频率的基元函数的作用，也就是系统在把输入“传递”为输出过程中的作用，因而称为传递函数传递函数一般是复函数，其模的作用是改变输入函数各种频率基元成分的幅值大小，其幅角的作用是改变这些基元成分的初位相传递函数的模称作振幅传递函数，传递函数的幅角称作位相传递函数,空间频率的两种意义,空间频率类似于时域函数的时间频率，时间倒数称作频率，长度倒数称作空间频率，即在单位长度内周期函数变化的周数（单位为：周/mm，线对/mm，L/mm，等 ）信息光学中有两种空间频率，一种是对二维图象进行频谱分析得到的图象频谱对应的空间频率，这是一种空间强度分布，单位为：周/mm，线对/mm，L/mm，等，其大小是没有限制的，可以是无穷大另一种是对电磁波场进行频谱分析得到的平面波对应的空间频率，因为电磁波在均匀介质中波长是常数，在其传播方向上空间频率是不变的。因而其对应在三维空间坐标上的每个方向的空间频率（单位为：光波数/mm ）表示出的意义实际上是电磁波的传播方向，或其传播方向与坐标轴的夹角，而且大小受到光波长的限制，最大是波长的倒数。下章再详细讲这两者区别,不变线性系统的本征函数,如果函数 满足以下条件（式中 为一复常数）则称为算符所表征的系统的本征函数。这就是说，系统的本征函数是一个特定的输入函数，它相应的输出函数与它之间的差别仅仅是一个复常系数。 前面讲的基元函数复指数函数就是不变线性系统的本征函数 即 工程光学中已经说明光波可以用复指数函数表示，光学系统传播光波的数学模型，就是这样一个用复指数函数表示的光输入变为复指数函数表示的光输出的不变线性系统,非相干成像系统的本征函数（1）,下面再讨论其脉冲响应是实函数的一类特殊的空间不变线性系统， 它把一个实值输入变换为一个实值输出。 这种系统也是一种常见的线性系统，如一般的非相干成像系统。 实函数的傅里叶变换是厄米型函数，即其传递函数有由于 因而 由此可见，这种系统振幅传递函数是偶函数，位相传递函数是奇函数,非相干成像系统的本征函数（2）,余弦函数或正弦函数是这类系统的本征函数 ，输入函数为余弦函数 对应的频谱为该不变线性系统输出函数频谱则为 系统输出函数相应为,非相干成像系统的本征函数（3）,因而有： 这表明，对于脉冲响应是实函数的空间不变线性系统，余弦输入将产生同频率的余弦输出。同时产生与频率有关的振幅衰减和相位移动，其大小决定于传递函数的模和幅角。非相干光学成象系统的脉冲响应是实函数，对这一类空间不变线性系统的分析是建立光学传递函数理论的基础。,不变线性系统图解法（1）,给定一个不变线性系统，输入函数是有限延伸的三角波对下列传递函数用图解法确定系统的输出。 （1）（2）计算计算方法，首先求出输入函数的频谱，再用图解找出输出函数的频谱，最后用反变换计算出系统的输出。,不变线性系统图解法（2）,输入函数的频谱为,不变线性系统图解法（3）,输入函数 的频谱分以下几个步骤来完成： 1、画出 、 和2、画出卷积3、得到乘积 画出传递函数 画出输出函数版的频谱（近似）通过简单计算把剩下来的几个SINC函数的反变换化简，最后画出输出函数图象,级联系统,下图表示的是两个级联在一起的空间不变线性系统，前一系统的输出恰是后一系统的输入,两个系统级联的传递函数,对于总的系统 和 分别是其输入和输出，因为 前式代入后式，并利用卷积的结合律，有总的脉冲响应为总的传递函数为,n个空间不变线性系统的级联,n个空间不变线性系统级联的情况，总的等效系统的脉冲响应和传递函数分别为 用模和幅角表示传递函数时还可以进一步得到振幅传递函数和位相传递函数的如下关系级联系统总的传递函数满足相乘律，简单地是各子系统传递函数的乘积，这为我们分析复杂系统提供了很大的方便。复杂光学系统或者说光学链就是这种情况。,抽样定理,抽样定理的由来和意义,实际的宏观物理过程都是连续变化的，物理量的空间分布也是连续变化的。 在今天的数字时代，连续变化的物理量要用它的一些离散分布的采样值来表示，而且这些采样值的表达方式也是离散的 这些离散的数字表示的物理量的含义或者说包含的信息量与原先的连续变化的物理量是否相同？ 是否可以由这些抽样值准确恢复一个连续的原函数？ 本书用的是惠特克香农（Whittaker-Shannon）抽样定理的二维形式,函数的抽样,最简单的抽样方法是用二维梳状函数与被抽样的函数相乘 如果被抽样的函数为 ，抽样函数可表示为梳状函数是 函数的集合，它与任何函数的乘积就是无数分布在平面 上在 ， 两方向上间距为 和 的 函数 与该函数的乘积任何函数与 函数相乘的结果仍然是 函数，只是 函数的“大小”要被该函数在 函数位置上的函数值所调制。换句话说，每个 函数下的体积正比于该点函数的数值,抽样函数,抽样函数的频谱,利用卷积定理和梳状函数的傅里叶变换，可计算抽样函数的频谱,抽样函数的原函数的复原图,奈奎斯特（Nyquist）抽样间隔,假如函数 是限带函数，即它的频谱仅在频率平面上一个有限区域内不为零 若包围该区域的最小矩形在 和 方向上的宽度分别为 和 欲使图中周期性复现的函数频谱不会相互混叠，必须使 或者说抽样间隔必须满足 式中表示的两方向上的最大抽样间距和通常称作奈奎斯特（Nyquist）抽样间隔,原函数频谱的复原,要原函数的复原首先要恢复其频谱 在满足奈奎斯特抽样间隔的情况下，只要用宽度 和 ,位于原点的矩形函数去乘抽样函数的频谱就可得到原来函数的频谱。在频率域进行的这种操作去掉了部分频谱成份，常常称作“滤波” 用频域中宽度 和 的位于原点的矩形函数为 滤波过程可写作,原函数的复原(1),做反变换就可直接得到原函数 根据卷积定理，在空间域得到对上式左边两个因子分别进行化简有结果得到无数 函数与SINC函数的卷积和,最后卷积的结果,愿函数为若取最大允许的抽样间隔，即 ，并且 ，则可见用SINC函数做为插值函数可以准确恢复原函数(当然要满足必要的条件),抽样定理的意义,抽样定理公式就是由抽样点函数值计算在抽样点之间所不知道的非抽样点函数值，在数学上就是插值公式抽样定理的重要意义在于它表明，准确的插值是存在的。也就是说，由插值准确恢复原函数可以在一定条件下实现一个连续的限带函数可以由其离散的抽样序列代替，而不丢失任何信息因此抽样定理是数字化社会的基础，其重要意义怎么讲也不过分,抽样定理证明图解（1）,抽样定理证明图解（2）,空间带宽积,若限带函数 在频域中 , 以外恒为零，根据抽样定理，函数在空域中的范围内抽样数至少为式中 表示函数在空域覆盖的面积, 表示函数在频域中覆盖的面积。在该区域的函数可由数目为 的抽样值来近似表示。问题：为什么是近似？抽样定理不是准确的吗？空间带宽积 就定义为函数在空域和频域中所占有的面积之积：,空间带宽积的意义,空间带宽积描述空间信号（如图象，场分布）的信息量，也可用来描述成象系统、光信息处理系统的信息容量，即传递与处理信息的能力。 空间带宽积决定了图象最低必须分辨的象素数，如数码相机的技术指标 空间带宽积表达图象的自由度或自由参数数 图象是实函数，每一个抽样值为一个实数，自由度为当图象是复函数，每一个抽样值为一个复数，要由两个实数表示。自由度增大一倍，,抽样定理例题（1）,若二维不变线性系统的输入是“线脉冲” ，系统对线脉冲的输出响应称为线响应 。如果系统的传递函数为 ，求证：线响应的一维傅里叶变换等于系统传递函数沿 轴的截面分布 。,抽样定理例题（1）解,证明： 线脉冲实质上也是二维的函数，只是沿 方向函数值不变，是常数1。系统对线脉冲的输出响应，即线响应也是二维的函数，可表示为线响应的一维傅里叶变换则为这就是系统传递函数沿 轴的截面分布 证毕。,抽样定理例题（1）解续,这里要注意的一点是这是二维傅里叶变换的特点，另一个变量是隐含着的。从这一题中我们还要引伸出一个重要的概念，即二维传递函数测量可以通过一维线响应，即线扩散函数来测量和计算。因为两维的测量在过去没有图像传感器时是相当困难的，而转换成一维信号就可以用全部光能积分随时间变化的线响应来实现了。,线响应函数和传递函数的关系,习题11. 已知线性不变系统的输入为 ,系统的传递函数为 ,若b取下列数值，求系统的输出。并画出输出函数及其频谱的图形。(1)b=1 (2)b=3,解：当b=1时，当b=3时,2.一个二维的物函数f(x,y)，在空域中尺寸为10*10mm2，最高空间频率为5线/mm，若要制作一张傅里叶变换计算全息图，物面上最少的抽样点数为多少？,解：由于物函数的最高空间频率为5线/mm，即其最大带宽。根据抽样定理，若限带函数在频域中 以外恒为0，函数在空域中 范围内抽样数至少为由题意可知，XY5mm， 线/mm,