高中数学 第3章 2第1课时 实际问题中导数的意义课件 北师大版选修2-2.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 2 导数应用 第三章 第1课时实际问题中导数的意义 第三章 2导数在实际问题中的应用 1 与几何有关的最值问题 2 与物理学有关的最值问题 3 与利润及其成本有关的最值问题 4 效率最值问题 本节重点 会解释导数的实际意义 本节难点 利用导数的实际意义解题 并能解释 1 在日常生活和科学领域中 有许多需要用导数概念来理解的量 以中学物理为例 速度是 的导数 线密度是 的导数 功率是 的导数 2 经济学中 通常把生产成本y关于产量x的函数y f x 的导函数称为边际成本 边际成本f x0 指的是当产量为x0时 生产成本的增加速度 也就是当产量为x0时 每增加一个单位的产量 需要增加 个单位的成本 路程关于时间 质量关于长度 功关于时间 f x0 1 实际问题中导数的意义 在实际问题中 在x x0处的导数 往往反映在x x0时函数的瞬时变化率 在不同的环境中 f x0 所表示的含义不同 如在功与时间的关系中 W t0 表示在t t0时的功率 在降雨强度中 f t0 表示在t t0时的降雨强度 t0时刻的强度 在建筑业中 成本y与面积x之间的关系中 在x x0处的导数表示边际成本 在路程关于时间的函数中 S t0 表示在t t0时的瞬时速度 从上面的分析中可以看出 导数在日常生活中的应用非常广泛 这需要我们认真理解 领会导数在不同环境下的具体含义 2 实际问题中平均变化率的意义 在实际问题中的平均变化率 也具有一定的实际意义 x1到x2之间的平均变化率常用来反映在此段时间内y的平均水平 如在有关运动问题中的平均速度 平均加速度 在有关温度变化问题中的平均温度 在有关功与时间关系中的平均功率等 在解题时注意结合题意分析平均变化率的实际意义 3 要理解实际问题中导数的意义 首先要熟练掌握导数的定义 学习中要通过实际例子从不同的方面加深对导数定义的理解 另外 还要学会把 问题情境 译为数学语言 体会数学是从实践中来 又要应用到实践中去 体会数学的应用价值 提高学习数学的兴趣 坚定学好数学的信心 1 一次降雨过程中 降雨量y是时间t的函数 用y f t 表示 则f 10 表示 A t 10时的降雨强度B t 10时的降雨量C t 10时的时间D t 10时的温度 答案 A 解析 f t 表示t时刻的降雨强度 故选A 答案 C 3 火箭竖直向上发射 熄火时向上速度达到100m s 则熄火后 秒后火箭速度为零 g取10m s2 答案 10 设质点做直线运动 已知路程s 单位 m 是时间t 单位 s 的函数 s 3t2 2t 1 求 1 从t 2变到t 3时 s关于t的平均变化率 并解释它的实际意义 2 当t 2时的瞬时速度 3 当t 2时的加速度 导数在物理中的意义 点评 在日常生活和科学领域中 有许多需要用导数概念来理解的量 例如中学物理中 速度是路程关于时间的导数 线密度是质量关于长度的导数 功率是功关于时间的导数等 一个电路中 流过的电荷量Q 单位 C 关于时间t 单位 s 的函数为Q t 3t2 lnt 1 求当t从1变到2时 电荷量Q关于t的平均变化率 并解释它的实际意义 2 求Q 2 并解释它的实际意义 分析 1 按平均变化率的公式计算平均变化率 2 电荷量对于时间的导数是电流 将原油精炼为汽油 柴油 塑胶等各种不同产品 需要对原油进行冷却和加热 如果在第xh时 原油的温度 单位 为y f x x2 7x 15 0 x 8 计算第2h和第6h时 原油温度的瞬时变化率 并说明它们的意义 分析 用导数的定义求解 并说明实际意义 导数在生活中的应用 同理可得f 6 5 所以在第2h与第6h时 原油温度的瞬时变化率分别为 3和5 它说明在第2h附近 原油温度大约以3 h的速度下降 在第6h附近 原油温度大约以5 h的速度上升 f x0 反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况 点评 函数f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢 由上述计算可知 c 98 25c 90 它表示纯净度为98 左右时净化费用的变化率大约是纯净度为90 左右时净化费用变化率的25倍 这说明 水的纯净度越高 需要的净化费用就越多 而且净化费用增加的速度也越快