高中数学 4.1.2利用二分法求方程的近似解课件 北师大版必修1.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 必修1 函数应用 第四章 第四章 1函数与方程 1 2利用二分法求方程的近似解 在一档娱乐节目中 主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格 若猜中了 就把物品奖给选手 某次竞猜的物品为价格在800元 1200元之间的一款手机 选手开始报价 选手 1000 主持人 低了 选手 1100 主持人 高了 选手 1050 主持人 祝贺你 答对了 问题1 主持人说 低了 隐含着手机价格在哪个范围内 问题2 选手每次的报价值同竞猜前手机价格所在范围有何关系 1 二分法每次取区间的中点 将区间 再经比较 按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法 2 函数零点的性质对于图像是连续不间断的函数 其函数零点具有下列性质 1 当函数图像通过零点 不是二重零点 时 其函数值的符号 填 改变 或 不改变 2 在相邻的两个零点之间所有的函数值保持 填 同号 或 异号 一分为二 改变 同号 1 已知函数y f x 的图像是连续不断的 有如下的对应值表 则函数y f x 在区间 1 6 上的零点至少有 A 2个B 3个C 4个D 5个 答案 B 解析 f 2 f 3 0 f 3 f 4 0 f 4 f 5 0 至少有3个零点 分别在 2 3 3 4 4 5 上 故选B 2 函数y x2 bx 1有二重零点 则b的值为 A 2B 2C 2D 不存在 答案 C 解析 y x2 bx 1有二重零点 b2 4 0 即b 2 故选C 3 下列函数中能用二分法求零点的是 答案 C 解析 从图像上看 A的函数无零点 B D中的函数都是不变号零点 不能运用二分法 故选C 4 用二分法求方程x3 2x 5 0在区间 2 3 内的实根 取区间中点2 5 那么下一个有根区间是 答案 2 2 5 解析 由计算器可算得f 2 1 f 3 16 f 2 5 5 625 f 2 f 2 5 0 所以下一个有根区间是 2 2 5 5 函数f x x2 ax b有零点 但不能用二分法求出 则a b的关系是 答案 a2 4b 0 解析 二次函数有零点 但不能用二分法求出 则有 a2 4 1 b 0 即a2 4b 0 判断下列函数是否有变号零点 1 y x2 5x 14 2 y x2 x 1 3 y x4 x3 10 x2 x 5 4 y x4 18x2 81 函数零点类型的判断 f 5 54 53 10 52 5 5 2500并不一定代表f x 在 a b 上没有零点 2 若给出函数图像 主要去看图像是否与x轴有交点 图像是否穿过了x轴来判定零点类型 下列图像与x轴均有交点 其中不能用二分法求函数零点的是 答案 A 解析 A B C D四个选项中只有A的图像没有穿过x轴 此零点属不变号零点 不能用二分法求解 二分法求函数零点的近似值 试判断方程x3 3x 5 0在区间 0 3 内是否有实数解 若有 求出该解的近似值 精确到0 01 思路分析 可利用函数零点存在性的判定方法判断方程在 0 3 内有实数解 然后再利用二分法求出其近似值 规范解答 设函数f x x3 3x 5 由于f 0 50 因此f 0 f 3 0 所以方程的解又必在区间 1 2 内 故可取区间 1 2 为计算的初始区间 用二分法逐次计算 将方程的解所在的区间依次求出 列表如下 由上表可知 区间 1 15234375 1 154296875 中的每一个数都精确到0 01 都等于1 15 所以1 15就是方程精确到0 01的近似解 规律总结 二分法求解步骤 1 确定区间 a b 验证f a f b 0 初始区间的选择不宜过大 否则将增加运算的次数 2 求区间 a b 的中点c 3 计算f c 若f c 0 则c就是函数的零点 若f a f c 0 则令b c 此时零点x0 a c 若f c f b 0 则令a c 此时零点x0 c b 4 判断a b的两端的近似值是否相等且满足要求的精确度 若是 得零点的近似解 否则 重复 2 4 步 特别注意要运算彻底 用二分法求函数y x3 3的一个正零点 精确到0 01 分析 选定区间 1 2 用二分法逐次计算 验证区间两端点值精确到0 01后相等 取正零点 解析 记f x y x3 3 由于f 1 20 因此可取区间 1 2 作为计算的初始区间 用二分法逐次计算 见表如下 因为区间 1 44140625 1 443359375 内的所有值 若精确到0 01都是1 44 所以1 44就是所求函数一个精确到0 01的正零点的近似值 函数零点的综合应用 1 指出方程x3 2x 1 0的正根所在的大致区间 2 求证 方程x3 3x 1 0的根一个在区间 2 1 内 一个在区间 0 1 内 另一个在区间 1 2 思路分析 解答本题的关键是寻找合适的a b使得f a f b 0 规范解答 1 方程x3 2x 1 0 即x3 2x 1 令F x x3 2x 1 f x x3 g x 2x 1在同一平面直角坐标系中 作出函数f x 和g x 的图像如图 显然它们在第一象限只有1个交点 两函数图像交点的横坐标就是方程的解 又 F 1 20 方程的正根在区间 1 2 内 2 证明 令G x x3 3x 1 它的图像一定是连续的 又G 2 8 6 1 10 方程x3 3x 1 0的一根在区间 2 1 内 同理可以验证G 0 G 1 1 1 1 0 G 1 G 2 1 3 3 0 方程的另两根分别在 0 1 和 1 2 内 规律总结 1 求函数零点所在区间时 若F x 0对应函数y F x 比较简单 其图像容易画出 就可以观察图像与x轴相交的点的位置 交点横坐标就是方程F x 0的解 从而得到F x 0的根所在大致区间 若函数y F x 的图像不容易画出 则将F x 分解为f x g x 的形式 且y f x 与y g x 较容易画出图像 它们交点的横坐标就是F x 0的解 这种方法要求作图要准确 否则得不出正确答案 2 对于连续函数 可以多次验证某些点处的函数值的符号是否异号 若异号 则方程的解在以这两个数为端点的区间内 若同号 再需要利用二分法多次尝试 将 1 中的方程改为 x5 x 1 0 时 求其一个正根所在的大致区间 解析 f 1 1 f 2 29 f 1 f 2 0 即x5 x 1 0的一个正根所在的区间为 1 2 用二分法求方程x2 5 0的一个非负近似解 精确到0 1 误解 令f x x2 5 因为f 2 2 2 22 5 0 160 所以f 2 2 f 2 4 0 因为f 2 2 f 2 3 0 因为f 2 2 f 2 25 0 所以x0 2 2 2 25 所以原方程的非负近似解为2 2 辨析 本题产生错解的原因是对精确度的理解不正确 2 25取近似值为2 3 正解 令f x x2 5 因为f 2 2 0 160 所以f 2 2 f 2 4 0 因为f 2 2 f 2 3 0 因为f 2 2 f 2 25 0 所以x0 2 2 2 25 同理可得x0 2 225 2 25 x0 2 225 2 2375 因为2 2375 2 225 0 0125 0 1 区间 2 225 2 2375 的左 右端点精确到0 1所取的近似值2 2 所以2 2就是所给方程的一个非负近似解 规律总结 用二分法求函数的零点 首先是大致区间的确定 使区间长度尽量小 否则会增加运算量 虽然此类问题要求用计算器运算 但也应注意运算的准确性 另外 在计算到第n步时 区间 an bn 的长度应小于精确度