高中数学 3.3.1几何概型及其概率计算课件 新人教A版必修3.ppt

第三章概率 3 3 1几何概型及其概率计算 栏目链接 与长度 角度有关的几何概型 1 右图有两个转盘 转盘上每个扇形的面积都相等 甲 乙两人玩转盘游戏 规定当指针指向A区域 阴影部分 时 甲获胜 否则乙获胜 在两种情形下甲获胜的概率分别是多少 2 取一根长度为3米的绳子 拉直后在任意位置剪断 求剪得两段的长都不小于1米的概率 解析 1 在玩转盘时 指针指向转盘上任一位置都是随机的 等可能的 也就是说试验的所有可能的结果 基本事件 有无限多个 而且每个基本事件的发生都是等可能的 因而甲获胜的概率只与字母A所在扇形区域的圆弧的长度有关 而与字母A所在区域的位置无关 只要字母A所在扇形区域的圆弧长度不变 不管这些区域是相邻还是不相邻 甲获胜的概率都是不变的 栏目链接 点评 1 几何概型的计算步骤 栏目链接 跟踪训练1 公共汽车站每隔5min有一辆汽车通过 乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的 求乘客候车不超过3min的概率 解析 设A 候车时间不超过3min x表示乘客来到车站的时刻 那么每一个试验结果可表示为x 假定乘客到达车站后开来一辆公共汽车的时刻为t 据题意 乘客必然在 t 5 t 内来到车站 故 x t 5 x t 欲乘客候车时间不超过3min 必有t 3 x t 所以A x t 3 x t 栏目链接 栏目链接 与面积有关的几何概型 如右图 在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板 上面画了小 中 大三个同心圆 半径分别为2cm 4cm 6cm 某人站在3m远向此板投镖 设投镖击中线上或没有击中木板时都不算 可重投 问 1 投中大圆内的概率是多少 2 投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少 3 投中大圆之外的概率是多少 栏目链接 解析 投中正方形木板上每一点 投中线上或没投中不算 都是一个基本事件 这一点可以是正方形木板上任意一点 因而基本事件有无限多个 且每个基本事件发生的可能性都相等 所以 投中某一部分的概率只与这部分的几何度量 面积 有关 这符合几何概型的条件 栏目链接 设事件A 投中大圆内 B 投中小圆与中圆形成的圆环 C 投中大圆之外 S正方形 162 256 cm2 A S大圆 62 36 cm2 B S中圆 S小圆 42 22 12 cm2 C S正方形 S大圆 256 36 cm2 由几何概率公式得 栏目链接 点评 解此类几何概型问题的关键是 1 根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题 2 找出或构造出随机事件对应的几何图形 利用图形的几何特征计算相关面积 套用公式从而求得随机事件的概率 栏目链接 跟踪训练2 如图所示 在半径为1的半圆内 放置一个边长为0 5的正方形ABCD 向半圆内任投一点 求该点落在正方形内的概率 栏目链接 栏目链接 与体积有关的几何概型 在1L高产小麦种子中混入了一粒带锈病的种子 从中随机取出10mL 含有小麦锈病种子的概率是多少 解析 由于带锈病的种子在1L小麦种子中的位置是随机的 所以随机取出10mL时 取到带锈病种子的概率只与所取种子样品的体积有关 这符合几何概型的条件 栏目链接 点评 1 病种子在这1升种子中的分布可以看作是随机的 有无限个结果 并且是等可能的 是几何概型 取得的10毫升种子可看作构成事件的区域 1升种子可看作是试验的所有结果构成的区域 2 要注意使用 几何概型 的条件 栏目链接 跟踪训练3 有一杯2升的水 其中含有一个细菌 用一个小杯从这杯水中取出0 1升水 求小杯水中含有这个细菌的概率 栏目链接 与角度有关的几何概型问题 在等腰直角三角形ABC中 直角顶点为C AC 1 在 ABC的内部任作一条射线CM 与线段AB交于点M 求AM AC的概率 栏目链接 错解 依题意知 AC 1 AB 点M随机落在线段AB上 故线段AB为基本事件的区域 当M位于线段AC AC AC 上时 如图所示 AM AC 故线段AC 为所求事件的区域 所以 栏目链接 错因 解本题易出现的错误在于对几何概型的概念把握不准 理解模糊 将角度型的几何概型错误地当作长度型几何概型求解 解析 由于在 ACB内作射线CM 等可能分布的是CM在 ACB内的任一位置 如图所示 因此基本事件的区域应是 ACB 栏目链接 点评 关注基本事件的形成过程 事实上 本例在 ACB内部作一条射线 故所求的概率与 ACM的大小有关 而和AM的长度不成比例关系 解决此类问题的关键是要注意事件A在区域角度内是否是均匀的 进而判定事件的发生是否是等可能的 栏目链接 跟踪训练4 如图 已知等腰Rt ABC中 C 90 1 在线段BC上任取一点M 求使 CAM 30 的概率 2 在 CAB内任作射线AM 求使 CAM 30 的概率