高中数学 3.3.2函数的极值与导数课件 新人教A版选修1-1.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教A版 选修1 11 2 导数及其应用 第三章 3 3导数在研究函数中的应用 第三章 3 3 2函数的极值与导数 结合函数的图象 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值 极小值 体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性 重点 利用导数的知识求函数的极值 难点 函数的极值与导数的关系 新知导学 函数的极值与导数的关系 1 如图是函数y f x 的图象 在x a邻近的左侧f x 单调递 f x 0 右侧f x 单调递 f x 0 在x a邻近的函数值都比f a 小 且f a 0 在x b邻近情形恰好相反 图形上与a类似的点还有 e f e 与b类似的点还有 我们把点a叫做函数f x 的极 值点 f a 是函数的一个极 值 把点b叫做函数f x 的极 值点 f b 是函数的一个极 值 增 减 c f c d f d 大 大 小 小 2 一般地 已知函数y f x 及其定义域内一点x0 对于包含x0在内的开区间内的所有点x 如果都有 则称函数f x 在点x0处取得 并把x0称为函数f x 的一个 如果都有 则称函数f x 在点x0处取得 并把x0称为函数f x 的一个 极大值与极小值统称为 极大值点与极小值点统称为 f x f x0 极大值 极大值点 f x f x0 极小值 极小值点 极值 极值点 3 理解极值概念时需注意的几点 1 函数的极值是一个局部性的概念 是仅对某一点的左右两侧 的点而言的 2 极值点是函数 的点 而函数定义域的端点绝不是函数的极值点 3 若f x 在定义域 a b 内有极值 那么f x 在 a b 内绝不是单调函数 即在定义域区间上的单调函数 极值 附近 定义域内 没有 4 极大值与极小值没有必然的大小关系 一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值 在某一点的极小值可能大于另一点的极 值 如图 大 牛刀小试1 函数y x3 1的极大值是 A 1B 0C 2D 不存在 答案 D 解析 y 3x2 0在R上恒成立 函数y x3 1在R上是单调增函数 函数y x3 1无极值 2 下列说法正确的是 A 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B 函数在闭区间上的极大值一定比极小值小C 函数f x x 只有一个极小值D 函数y f x 在区间 a b 上一定存在极值 答案 C 解析 函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系 单调函数在区间 a b 上没有极值 故A B D错误 C正确 函数f x x 只有一个极小值为0 答案 A 4 函数y 2x3 15x2 36x 24的极大值为 极小值为 答案 43 解析 y 6x2 30 x 36 即y 6 x 2 x 3 令y 0 得x 2或x 3 经判断知极大值为f 2 4 极小值为f 3 3 求函数y 3x3 x 1的极值 分析 首先对函数求导 然后求方程y 0的根 再检查y 在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么y在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么y在这个根处取得极小值 利用导数求函数的极值 方法规律总结 1 当函数f x 在点x0处连续时 判断f x0 是否为极大 小 值的方法是 1 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极小值 3 如果f x 在点x0的左 右两侧符号不变 则f x0 不是函数f x 的极值 设函数f x x3 ax2 9x的导函数为f x 且f 2 15 1 求函数f x 的图象在x 0处的切线方程 2 求函数f x 的极值 解析 1 f x 3x2 2ax 9 f 2 15 12 4a 9 15 a 3 f x x3 3x2 9x f x 3x2 6x 9 f 0 0 f 0 9 函数在x 0处的切线方程为y 9x 已知函数f x x3 3ax2 2bx在点x 1处的极小值为 1 试确定a b的值 并求f x 的单调区间 分析 f x 在x 1处的极小值为 1包含以下的含义 一是f 1 1 二是f 1 0 已知函数极值求参数 设函数f x x a 2lnx a R 若x e为y f x 的极值点 求实数a 右图是函数y f x 的导函数y f x 的图象 对此图象 有如下结论 在区间 2 1 内f x 是增函数 在区间 1 3 内f x 是减函数 x 2时 f x 取到极大值 在x 3时 f x 取到极小值 其中正确的是 将你认为正确的序号填在横线上 图象信息问题 分析 给出了y f x 的图象 应观察图象找出使f x 0与f x 0的x的取值范围 并区分f x 的符号由正到负和由负到正 再做判断 答案 函数f x 的定义域为R 导函数f x 的图象如图所示 则函数f x A 无极大值点 有四个极小值点B 有一个极大值点 两个极小值点C 有两个极大值点 两个极小值点D 有四个极大值点 无极小值点 答案 C 解析 设f x 与x轴的4个交点 从左至右依次为x1 x2 x3 x4 当x0 f x 为增函数 当x1 x x2时 f x 0 f x 为减函数 则x x1为极大值点 同理 x x3为极大值点 x x2 x x4为极小值点 解题思路探究 第一步 审题 审结论明确解题方向 求函数f x 的单调区间与极值 需求f x 然后按单调性和极值与导数的关系求解 分类讨论思想在含参数的函数极值中的应用 审条件 发掘解题信息 f x 是三次函数 f x 是二次函数 由二次方程的根探求极值点和单调区间 f x 解析式中含参数 应分类讨论 第二步 建联系 找解题途径 先求f x 解方程f x 0找分界点 再按a的符号讨论单调性求极值 第三步 规范解答 注意极大值点与极小值点的区别已知f x x3 3ax2 bx a2在x 1时有极值0 求常数a b的值 辨析 根据极值定义 函数先减后增为极小值 函数先增后减为极大值 上述解法未验证x 1时函数两侧的单调性 导致错误 正解 在上述解法之后继续 当a 1 b 3时 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 所以f x 在R上为增函数 无极值 故舍去 当a 2 b 9时 f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 当x 3 1 时 f x 为减函数 当x 1 时 f x 为增函数 所以f x 在x 1时取得极小值 因此a 2 b 9