高中数学 3.3.2二倍角的三角函数（二）课件 北师大版必修4.ppt

3二倍角的三角函数 二 半角公式 2cos2 1 1 2sin2 2 1 判一判 正确的打 错误的打 1 2 3 4 半角公式实质就是二倍角公式的变形 解析 1 错误 2 错误 3 错误 4 正确 半角公式可由二倍角公式变形得到 答案 1 2 3 4 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 计算 sin15 2 计算 tan22 5 3 化简 解析 1 sin15 答案 2 tan22 5 答案 3 答案 要点探究 知识点半角公式1 半角公式与二倍角公式的关系半角公式与二倍角公式功能各异 本质相同 对立统一 2 公式适用的条件 1 半角的正弦和余弦公式对任意的角都成立 2 和中要求角 2k k Z 而中则要求角 k k Z 3 半角公式的应用 1 半角公式给出了求的正弦 余弦 正切的另一种方式 即只需知道cos 的值及相应 的条件 便可求出 2 由于不含被开方数 且不涉及符号问题 所以求解关于的题目时 使用相对方便 但需要注意该公式成立的条件 3 涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目 常用求解 知识拓展 万能代换公式 微思考 1 半角公式的等式两端有什么变化 提示 半角公式的等式两端 从左向右 方次降低 角度加倍 从右向左 方次增大 角度减半 2 如何确定公式中的正负号 提示 依据所在象限相应的三角函数值的符号确定 如果所在象限无法确定 则应保留sin cos公式中的正负号 即时练 1 设则sin等于 2 已知则等于 解析 1 选D 因为所以所以因为a cos 所以 2 选C 方法一 因为sin 0 cos 0 所以 的终边落在第一象限 的终边落在第一 三象限 所以tan 0 故tan 方法二 题型示范 类型一利用半角公式求解给值求值问题 典例1 1 2014 合肥高一检测 若sin 且则 2 已知求的值 解题探究 1 如何由sin 求cos 如何用cos 表示2 半角公式的有理形式是什么 探究提示 1 2 自主解答 1 选B sin sin 又 所以由cos 得 所以 2 分子 分母同除以sin 得 延伸探究 在题 1 条件不变的情况下 求 解析 由题 1 解析知 方法一 得 方法二 方法技巧 利用半角公式求值的思路 1 看角 若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍 则常常借助半角公式求解 2 明范围 由于半角公式求值常涉及符号问题 因此求解时务必依据角的范围 求出相应半角的范围 3 选公式 涉及半角公式的正切值时 常用其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题 涉及半角公式的正 余弦值时 常先利用计算 4 下结论 结合 2 求值 变式训练 2013 宿州高一检测 已知求的值 解题指南 利用sin2 cos2 1求得cos 代入半角公式求解 解析 因为所以cos 又因为所以或 补偿训练 已知则的值分别为 解析 选B 因为所以由cos 得又所以 类型二利用半角公式化简与证明 典例2 1 化简 cos2 15 sin2 15 sin 180 cos 180 2 求证 解题探究 1 题 1 中如何把cos2 15 sin2 15 降幂 2 题 2 证明本题的关键是什么 探究提示 1 cos2 15 2 借助公式把 1 消去 自主解答 1 原式 答案 1 2 左边 方法技巧 利用半角 倍角 公式化简的基本思路 1 降次 一般运用公式化次数较高的三角函数为次数较低的三角函数 2 统一函数名称 化多种三角函数为单一的三角函数 3 统一角 化多角为单一角 减少角的种类 4 弦切互化 一般地 若要化简的式子中含有正切 则需要将正切化为正余弦 有时候也需要将弦化为切 要视已知条件或式子结构而定 变式训练 化简 0 解题指南 由 的范围先确定出的范围 利用半角公式将分母中根号里面的式子转变成完全平方的形式 解析 因为0 所以0 所以原式 补偿训练 求证 证明 原式 右边 所以原等式成立 类型三三角恒等变换与三角函数的综合问题 典例3 1 2014 合肥高一检测 设a R f x cosx asinx cosx 满足 f 0 当x 时 则f x 的值域为 2 已知函数f x cos4x 2sinxcosx sin4x 求函数f x 的递增区间 求当函数f x 取最大值时的自变量x的值 解题探究 1 求解题 1 的关键是什么 2 如果遇到sin4x cos4x或者sin4x cos4x 一般的处理思路是什么 探究提示 1 关键是利用三角恒等变换将函数的解析式化为y Asin x 的形式 2 遇到sin4x cos4x或者sin4x cos4x一般的处理思路是把前者配成完全平方的形式 即sin4x cos4x sin2x cos2x 2 2sin2xcos2x 而后者往往采取因式分解的形式 即sin4x cos4x sin2x cos2x sin2x cos2x 自主解答 1 选D f x asinxcosx cos2x sin2x asin2x cos2x 又 f 0 即得所以f x 又x 所以所以f x 2 根据题意可知f x cos4x 2sinxcosx sin4x cos4x sin4x 2sinxcosx cos2x sin2x cos2x sin2x 2sinxcosx cos2x sin2x 由得递增区间为 k Z 要使函数f x 取最大值 自变量x应满足k Z 即时 f x 取最大值 此时x的集合为 方法技巧 较复杂三角函数性质问题研究流程 变式训练 2014 宝鸡高一检测 已知函数f x sin2x 2sinxcosx 3cos2x x R 求 1 函数f x 的最大值及取得最大值时的自变量x的取值集合 2 函数f x 的单调递减区间 解析 1 方法一 f x 2 sin2x cos2x 所以当即 k Z 时 f x 取得最大值函数f x 取得最大值时的自变量x的集合为 方法二 f x sin2x cos2x 2sinxcosx 2cos2x 2sinxcosx 1 2cos2x sin2x cos2x 2 所以当2x 2k 即x k k Z 时 f x 取得最大值函数f x 取得最大值时的自变量x的集合为 2 f x 由题意得 2k 2x 2k k Z 即 k Z 因此 函数f x 的单调减区间为 补偿训练 函数y sin6x cos6x的最小正周期为 解析 y sin6x cos6x sin2x cos2x sin4x cos4x sin2xcos2x 1 3sin2xcos2x 函数y sin6x cos6x的最小正周期为答案 易错误区 应用半角公式求值时的易错点 典例 设3 4 等于 解析 选B 由于可得又3 4 所以所以所以 常见误区 防范措施 明确三角函数值的符号应用半角公式求值时 要特别注意半角的三角函数值符号的确定 否则会出现符号的失误 如本例 处对角的范围的计算 是明确值的符号的关键 类题试解 若 是第三象限的角 则等于 A B C 2D 2 解析 选A 因为 是第三象限角 所以sin 所以