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课时训练(十九) 全等三角形和等腰三角形|夯实基础|1.如图19-21,已知AE=CF,AFD=CEB,那么添加下列一个条件后,仍无法判定ADFCBE的是()图19-21A.A=CB.AD=CBC.BE=DFD.ADBC2.xx怀化 等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm,则它的周长为()A.16 cmB.17 cmC.20 cmD.16 cm或20 cm3.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40,则这个等腰三角形的顶角为()A.50B.130C.50或130D.40或1404.xx荆门 如图19-22,在ABC中,AB=AC,AD是ABC的角平分线,已知AB=5,AD=3,则BC的长为()图19-22A.5B.6C.8D.105.xx南充 如图19-23,等边三角形OAB的边长为2,则点B的坐标为()图19-23A.(1,1)B.(3,1)C.(3,3)D.(1,3)6.xx湖州 如图19-24,AD,CE分别是ABC的中线和角平分线.若AB=AC,CAD=20,则ACE的度数是()图19-24A.20B.35C.40D.707.xx德州 如图19-25,在ABC中,B=55,C=30,分别以点A和点C为圆心,大于12AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则BAD的度数为()图19-25A.65B.60C.55D.458.如图19-26,在ABC中,BD平分ABC,BC的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若A=60,ABD=24,则ACF的度数为()图19-26A.48B.36C.30D.249.xx泰安 如图19-27,在PAB中,PA=PB,M,N,K分别是边PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK.若MKN=44,则P的度数为()图19-27A.44B.66C.88D.9210.xx包头 如图19-28,在ABC中,AB=AC,ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且DAE=90,AD=AE.若C+BAC=145,则EDC的度数为()图19-28A.17.5B.12.5C.12D.1011.xx南充 如图19-29,在RtABC中,A=30,BC=1,D,E分别是直角边BC,AC的中点,则DE的长为()图19-29A.1B.2C.3D.1+312.xx湖州 如图19-30,已知在ABC中,CD是AB边上的高,BE平分ABC,交CD于点E.若BC=5,DE=2,则BCE的面积等于()图19-30A.10B.7C.5D.413.xx淄博 如图19-31,在RtABC中,CM平分ACB交AB于点M,过点M作MNBC交AC于点N,且MN平分AMC.若AN=1,则BC的长为()图19-31A.4B.6C.43D.814.xx淮安 如图19-32,AOB=120,OP平分AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且PMN为等边三角形,则满足上述条件的PMN有()图19-32A.1个B.2个C.3个D.3个以上15.如图19-33,AD是ABC的角平分线,DE,DF分别是ABD和ACD的高,有下面四个结论:图19-33OA=OD;ADEF;当BAC=90时,四边形AEDF是正方形;AE2+DF2=AF2+DE2.其中正确的是()A.B.C.D.16.xx金华 如图19-34,ABC的两条高AD,BE相交于点F,请添加一个条件,使得ADCBEC(不添加其他字母及辅助线),你添加的条件是.图19-3417.xx成都 等腰三角形的一个内角为50,则它的顶角的度数为.18.xx北京 如图19-35,在ABC中,M,N分别为AC,BC的中点.若SCMN=1,则S四边形ABNM=.图19-3519.xx长沙 如图19-36,在ABC中,AC=8,BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交边AC于点E,则BCE的周长为.图19-3620.如图19-37,在ABC中,AB=AC,BC=5,BD为AC边上的中线,且将ABC的周长分成两部分,这两部分的差为3,则腰长为.图19-3721.如图19-38,矩形ABCD的周长为16,点E,F分别在边AD,AB上,EF=EC,FEC=90.若DE=2,则AE=.图19-3822.xx扬州 如图19-39,把等边三角形ABC沿着DE折叠,使点A恰好落在BC边上的点P处,且DPBC.若BP=4 cm,则EC= cm.图19-3923.xx包头 如图19-40,将ABC纸片的一角沿DE向下翻折,使点A落在BC边上的点A处,且DEBC.下列结论:AED=C;ADDB=AEEC;BC=2DE;S四边形ADAE=SDBA+SEAC.其中正确的有个.图19-4024.xx宁夏 如图19-41,在边长为2的等边三角形ABC中,P是BC边上任意一点,过点P分别作PMAB,PNAC,垂足分别为M,N.(1)求证:不论点P在BC边的何处,都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高;(2)当BP的长为何值时,四边形AMPN的面积最大,并求出最大值.图19-4125.xx莱芜 已知ABC与DEC是两个大小不同的等腰直角三角形.(1)如图19-42所示,连接AE,BD.试判断线段AE和BD的数量和位置关系,并说明理由;(2)如图19-42所示,连接BD,将线段BD绕点D顺时针旋转90到DF,连接AF,试判断线段DE和AF的数量和位置关系,并说明理由.图19-42|拓展提升|26.如图19-43,在ABC中,AB=AC,AD,BE分别为BAC和ABC的平分线,交点为O.若OD=a,ABC的周长为b,则ABC的面积为()图19-43A.12abB.abC.2abD.b2a27.如图19-44,在ABC中,CA=CB,ACB=90,以AB的中点D为圆心,作圆心角为90的扇形DEF,点C恰在EF上,设BDF=(090),当由小到大变化时,图中阴影部分的面积()图19-44A.由小变大B.由大变小C.不变D.先由小变大,后由大变小28.xx包头一模 如图19-45,等边三角形ABC的边长为9 cm,点M,N同时从点A出发,均以1 cm/s的速度分别沿AB,AC向点B,C运动,设运动时间为t s,以MN为边,在等边三角形ABC内部作正方形MNPQ,当点P到BC边的距离等于(33-3)cm时,t=.图19-4529.xx包头样题三 如图19-46,O是等边三角形ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60得到线段BO,连接AO,下列结论:BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60得到;点O与O的距离为4;AOB=150;S四边形AOBO=6+33;SAOC+SAOB=6+94 3.其中正确的是.(填写所有正确结论的序号)图19-46参考答案1.B2.C3.C4.C5.D解析 过点B作BCOA于点C,则OC=1,BC=OB2-OC2=22-12=3,点B的坐标为(1,3).故选D.6.B解析 AB=AC,AD是ABC的中线,ADBC.CAD=20,ACD=70.CE是ACB的平分线,ACE=35.故选B.7.A8.A解析 BD平分ABC,ABD=DBC.EF是BC的垂直平分线,FB=FC,FCB=DBC.ABD=24,FCB=DBC=ABD=24.又A=60,ABC+ACB=120,即ABD+DBC+ACF+FCB=120,ACF=120242424=48.故选A.9.D10.D解析 由C+BAC=145得B=35.由AB=AC知B=C=35.由等腰直角三角形的性质可得AED=45.又AED=EDC+C,EDC=45-35=10.11.A12.C解析 过点E作EKBC于点K.因为BE平分ABC,CDAB,所以EK=ED=2,所以BCE的面积=12BCEK=1252=5.故选C.13.B解析 MNBC,ANM=ACB,NMC=MCB.CM平分ACB,MCB=MCN=12ACB,NMC=NCM,MN=NC.MN平分AMC,AMN=NMC=12AMC,AMN=12ACB=12ANM.A=90,AMN=30.AN=1,MN=2,NC=2,AC=3.B=AMN=30,BC=2AC=6,故选B.14.D15.D16.答案不唯一,如CA=CB,CE=CD等解析 已知两角对应相等,可考虑全等三角形的判定方法ASA或AAS.故答案不唯一,如CA=CB,CE=CD等.17.50或8018.3解析 由相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.由M,N分别为AC,BC的中点,得CMAC=CNBC=12,SCMNSABC=CMAC2=14.SCMN=1,SABC=4SCMN=4,S四边形ABNM=3.19.1320.821.322.(2+23)解析 根据“直角三角形中,30角所对的直角边等于斜边的一半”可求得BD=8,再由勾股定理求得DP=43.根据折叠的性质可以得到DPE=A=60,DP=DA=43,易得EPC=30,PEC=90,所以EC=12PC=12(8+43-4)=2+23.23.4解析 由折叠的性质可得AD=AD,AE=AE.DEBC,AED=C,故正确.DEBC,ADDB=AEEC,ADDB=AEEC,故正确.DEBC,ADE=B,ADE=BAD.由折叠的性质,得ADE=ADE,B=BAD,BD= AD=AD,即D是AB的中点.同理E是AC的中点,DE是ABC的中位线,BC=2DE,故正确.DEBC,ADEABC,SADESABC=DEBC2=14,SADE=SADE=14SABC,S四边形ADAE=SDBA+SEAC=12SABC,故正确.故答案为4.24.解析 (1)连接AP,将ABC分割成两个三角形,结合等边三角形的三条边相等,利用面积公式,即可求证结论;(2)设BP的长为x,利用面积的和差关系,将四边形AMPN的面积S用含x的代数式表示,将几何问题转换成代数式求最值问题,在此即是S关于x的二次函数,运用配方法求出最值.解:(1)证明:连接AP.ABC是等边三角形,AB=BC=AC.设BC边上的高为h.PMAB,PNAC,SABC=SABP+SACP=12ABPM+12ACPN=12BC(PM+PN).又SABC=12BCh,PM+PN=h,即不论点P在BC边的何处,都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高.(2)设BP=x.在RtBMP中,BMP=90,B=60,BP=x,BM=BPcos60=12x,MP=BPsin60=32x,SBMP=12BMMP=1212x32x=38x2.PC=2-x,同理可得:SPNC=38(2-x)2.又SABC=3422=3,S四边形AMPN=SABC-SBMP-SPNC=3-38x2-38(2-x)2=-34(x-1)2+334,当BP=1时,四边形AMPN的面积最大,是334.25.解析 (1)通过证明RtACERtBCD即可解决;(2)通过证明EBDADF即可得解.解:(1)AE=BD,AEBD.理由:由题意可知,CA=CB,CE=CD,ACE=BCD=90,RtACERtBCD,AE=BD.如图,延长DB交AE于点M.RtACERtBCD,AEC=BDC.又AEC+EAC=90,BDC+EAC=90,在AMD中,AMD=180-90=90,AEBD.(2)DE=AF,DEAF.理由:如图,设ED与AF相交于点N,由题意可知,BE=AD.EBD=C+BDC=90+BDC,ADF=BDF+BDC=90+BDC,EBD=ADF.又DB=FD,EBDADF,DE=AF,E=FAD.E=45,FAD=45.又EDC=45,AND=90,DEAF.26.A27.C解析 如图,设DE与AC交于点N,DF与BC交于点M,连接DC.CA=CB,D为AB的中点,DCAB.ACB=90,BD=DC=AD,B=DCN=45.BDM+MDC=90,MDC+CDN=90,BDM=CDN,BDMCDN.同理,ANDCMD,S四边形MDNC=SBDM+SADN=12SABC,图中阴影部分的面积S=S扇形DEF-S四边形MDNC=S扇形DEF-12SABC.旋转过程中扇形DEF和ABC的面积不会改变,阴影部分的面积大小不变.故选C.28.329.
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