高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点课件 新人教A版必修1 .ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教A版 必修1 函数的应用 第三章 在教科书第三章的章头图中 我们看到一大群喝水 嬉戏的兔子 但正是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋 1859年 有人从欧洲带进澳洲几只兔子 由于澳洲有茂盛的牧草 而且没有兔子的天敌 兔子数量不断增加 不到100年 兔子们占领了整个澳大利亚 数量达到75亿只 可爱的兔子变得可恶起来 75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草 草原的载畜率大大降低 而牛羊是澳大利亚的主要牲口 这使澳大利亚人头痛不已 他们采用各种方法消灭这些兔子 直到20世纪50年代 科学家采用载液瘤毒杀死了90 的野兔 澳大利亚人才算松了一口气 一般而言 在理想条件 食物或养料充足 空间条件充裕 气候适宜 没有敌害等 下 种群在一定时期内的增长大致符合 J 型曲线 在有限的环境 空间有限 食物有限 有捕食者存在等 中 种群增长到一定程度 K 后不再增长 曲线呈 S 型 从数学上来看 就需要用不同的函数增长模型来刻画它们 这样 面对不同情况时 如何选择恰当的函数模型描述它们就很重要 下面我们就进行本章的学习 函数的应用 3 1函数与方程 第三章 3 1 1方程的根与函数的零点 1 方程ax2 bx c 0 a 0 解的情况 当 0时方程有 实根 x 当 0时方程有 实根 x 当 0时方程 实根 若x1 x2为方程的两根则x1 x2 x1x2 2 函数f x ax2 bx c a 0 对称轴为 顶点坐标为 知识衔接 两 一 无 3 方程2x 1 0的根为 函数y 2x 1与x轴的交点为 4 方程x2 2x 3 0的根为 函数y x2 2x 3与x轴的交点为 5 函数y 2x2 8x 1的对称轴为 顶点坐标为 x1 1 x2 3 1 0 3 0 x 2 2 7 1 函数y ax2 bx c a 0 的图象与x轴的交点和相应方程ax2 bx c 0 a 0 的根的关系 自主预习 2 1 0 2 1 2 函数的零点 1 定义 对于函数y f x 我们把使 成立的实数x叫做函数y f x 的零点 2 几何意义 函数y f x 的图象与 的交点的 就是函数y f x 的零点 3 结论 方程f x 0有 函数y f x 的图象与x轴有 函数y f x 有 名师点拨 并非所有的函数都有零点 例如 函数f x x2 1 由于方程x2 1 0无实数根 故该函数无零点 f x 0 x轴 横坐标 实数根 交点 零点 3 函数零点的判定定理 名师点拨 判断函数y f x 是否存在零点的方法 1 方程法 判断方程f x 0是否有实数解 2 图象法 判断函数y f x 的图象与x轴是否有交点 3 定理法 利用零点的判定定理来判断 连续不断 1 已知函数y f x 有零点 下列说法不正确的是 A f 0 0B 方程f x 0有实根C 函数f x 的图象与x轴有交点D 函数f x 的零点是方程f x 0的实数根 答案 A 预习自测 答案 B 解析 f x 2x m的零点为4 所以 2 4 m 0 m 8 4 若函数f x x2 2x a没有零点 则实数a的取值范围是 A a 1B a 1C a 1D a 1 答案 B 解析 函数f x x2 2x a没有零点 即方程x2 2x a 0没有实数根 所以 4 4a 0 得a 1 求下列函数的零点 1 f x 4x 3 2 f x x2 3x 2 3 f x 2x 4 f x log2 x 1 探究1 函数的零点是点吗 探究2 函数的零点与对应的方程的根有什么关系 求函数的零点 互动探究 规律总结 1 正确理解函数的零点 1 函数的零点是一个实数 当自变量取该值时 其函数值等于零 2 根据函数零点定义可知 函数f x 的零点就是f x 0的根 因此判断一个函数是否有零点 有几个零点 就是判断方程f x 0是否有实根 有几个实根 即函数y f x 的零点 方程f x 0的实根 函数y f x 的图象与x轴交点的横坐标 2 函数零点的求法 1 代数法 求方程f x 0的实数根 2 几何法 与函数y f x 的图象联系起来 图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点 1 指出下列函数的零点 f x x2 2x 3零点为 g x lgx 2零点为 2 已知 1和4是函数f x ax2 bx 4的零点 则f 1 探究1 函数零点的存在性定理中有哪些关键条件 探究2 根据函数零点的存在性定理如何确定函数零点所在的区间 判断函数零点所在的区间 规律总结 判断函数零点所在区间的方法 一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值 进行符号判断即可得出结论 此类问题的难点往往是函数值符号的判断 可运用函数的有关性质进行判断 2015 中原名校高一期中 函数f x lnx 2x 6的零点所在的一个区间是 A 1 2 B 2 3 C 3 4 D 4 5 答案 B 解析 因为f 1 ln1 2 1 6 4 0 f 2 ln2 2 2 6 lne2 2 0 f 3 ln3 2 3 6 ln3 0 f 4 ln4 2 4 6 2ln2 2 0 f 5 ln5 2 5 6 ln5 4 0 所以f 2 f 3 0 又函数f x 的图象是连续不断的一条曲线 故函数f x 的零点所在的一个区间是 2 3 求函数f x 2x lg x 1 2的零点个数 函数零点个数的判断 解析 解法一 因为f 0 1 0 2 10 所以由函数零点存在性判定定理知 f x 在 0 2 上必定存在零点 又f x 2x lg x 1 2在 1 上为增函数 故f x 0有且只有一个实根 即函数f x 仅有一个零点 规律总结 判断函数零点个数的主要方法 1 利用方程根 转化为解方程 有几个根就有几个零点 2 画出函数y f x 的图象 判定它与x轴的交点个数 从而判定零点的个数 3 结合单调性 利用f a f b 0 可判定y f x 在 a b 上零点的个数 4 转化成两个函数图象的交点问题 判断函数f x x 3 lnx的零点的个数 关于x的方程x2 2x a 0 求a为何值时 1 方程一根大于1 一根小于1 2 方程一个根在 1 1 内 另一个根在 2 3 内 3 方程的两个根都大于零 探究1 将方程问题转化为相应的函数问题 然后利用函数的图象特征求解 一元二次方程根的分布 探索延拓 规律总结 1 解决一元二次方程根的分布问题 要利用数形结合 结合判别式 对称轴 区间端点的函数值的正负等情况进行求解 2 二次函数零点的分布问题二次函数零点的分布即一元二次方程根的分布 一般为下面两个方面的问题 1 一个区间内只有一个根 2 一个区间内有两个根 由于我们在初中学过方程根的情况 有时可以根据判别式及根与系数的关系判断 但在多数情况下 还要结合图象 从对称轴 判别式 区间端点的函数值等方面去探究 具体解法如下表 设二次函数y ax2 bx c a 0 对应的方程的根为x1 x2 已知关于x的二次方程x2 2mx 2m 1 0有两根 其中一根在区间 1 0 内 另一根在区间 1 2 内 求m的取值范围 分析 借助于二次函数的图象 讨论区间端点对应的函数值的符号 列出不等式组 即可解得实数m的取值范围 函数f x x2 6x 5的零点是 错解 1 0 5 0 由题意 得x2 6x 5 0 x 1 x 5 函数的零点是 1 0 和 5 0 错因分析 该解法中混淆了零点与点的概念 思路分析 零点不是一个点 而是函数图象与x轴交点的横坐标 零点是一值 易错点一混淆了零点与点的概念 误区警示 正解 1 5由题意 得x2 6x 5 0 解得x 1或x 5 函数的零点是1 5 函数f x x2 3x 2的零点是 A 1 0 B 2 0 C 1 0 2 0 D 1 2 答案 D 解析 解方程x2 3x 2 0 得x 1或x 2 所以选D 总结 函数的零点是一个实数 是使f x 0成立的实数x 也是函数y f x 的图象与x轴交点的横坐标 求函数f x x2 5x 6在 1 4 上的零点个数 错解 错解一 由题意 得f 1 2 0 f 4 2 0 因此函数f x x2 5x 6在 1 4 上没有零点 即零点个数是0 错解二 f 1 2 0 f 2 5 0 250 f 2 5 0 25 0 函数在 2 5 4 内有一个零点 函数在 1 4 上有两个零点 易错点二判断零点个数时出现逻辑错误 错因分析 对于错解一 是错误地类比零点存在定理 f a f b 0时 a b 中的零点情况是不确定的 而错解二出现了逻辑错误 当f a f b 0时 a b 中存在零点 但个数不确定 思路分析 要想准确地判断函数零点的个数 要么把它们全部求出来 要么利用函数图象来判断 这才是正确的方法 正解 由题意 得x2 5x 6 0 x 2 x 3 函数的零点是2 3 函数在 1 4 上的零点的个数是2 1 下列函数的图象中没有零点的是 答案 D 解析 从图中观察知 只有D中函数图象与x轴没有交点 故选D 规律总结 根据函数零点的概念 函数有零点 即函数的图象与x轴有交点 函数图象与x轴有几个交点 函数就有几个零点 答案 A 解析 函数f x 的定义域为 x x 0 当x 0时 f x 0 当x 0时 f x 0 但此函数在定义域内的图象不连续 所以函数没有零点 故选A 规律总结 这是一类非常基础且常见的问题 考查的是函数零点的判定方法 一般而言只需将区间端点代入函数求出函数的值 进行符号判断即可得出结论 这类问题的难点往往是函数值符号的判断 可运用函数的有关性质进行判断 分析 分别令各个解析式等于0 根据方程是否有根来确定函数的零点