高中数学 2.3第2课时空间向量运算的坐标表示课件 北师大版选修2-1.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 1 空间向量与立体几何 第二章 2 3向量的坐标表示和空间向量基本定理第2课时空间向量运算的坐标表示 第二章 1 空间向量坐标运算的法则若a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则a b a b a 空间向量平行的坐标表示为a b b 0 x1 x2 y1 y2 z1 z2 R x1 x2 y1 y2 z1 z2 x1 x2 y1 y2 z1 z2 x1 y1 z1 R x2 x1 y2 y1 z2 z1 x1x2 y1y2 z1z2 对应坐标的乘积之和 x1x2 y1y2 z1z2 0 1 设 i j k 为单位正交基底 即i 1 0 0 j 0 1 0 k 0 0 1 在此基底下 a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 即a a1i a2j a3k b b1i b2j b3k 根据向量线性运算与数量积运算的定义及运算律 可得出a b a a b a b a b a 及cos a b 的坐标表示 2 空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算 牢记运算公式是应用的关键 这些公式为我们用向量的知识解决立体几何问题提供了有力的工具 3 运用空间向量解决立体几何问题 先要考察原图形是否方便建立直角坐标系 将问题中涉及的点 线 向量 面 向量的线性组合 用坐标表示 如果容易表示则先建系 将点用坐标表示出来 然后 利用垂直 平行 共面的条件通过向量运算推证有关结论 利用向量的模 向量夹角的计算公式来求线段长度及角 最后将计算的结果转化为几何结论 当图形中的点不方便用坐标表示时 可直接设出向量的基底 将各条件 结论中涉及的向量表示为基底的线性组合 再运用向量线性运算及数量积运算的规则进行推理 计算最后转化为相应几何结论 4 若a b 0 则a b 若a b b 0 R 则a B 解两直线垂直或平行的问题 或利用向量证明立体几何的问题 应先将几何中的相关量用向量的形式表示 或建立空间直角坐标系 求出相关点的坐标 再利用向量运算求解 已知a 2 1 2 b 0 1 4 求 1 a b 2 a b 3 2a b 4 a b a b 分析 利用空间向量的运算法则坐标形式求解 向量运算的坐标表示 解析 1 a b 2 1 2 0 1 4 2 0 1 1 2 4 2 2 2 2 a b 2 1 2 0 1 4 2 0 1 1 2 4 2 0 6 3 2a b 4 2 4 0 1 4 4 0 2 1 4 4 14 4 a b a b a2 b2 4 1 4 0 1 16 8 总结反思 进行运算时可以适当地选择求解方法 如计算 a b a b 可以先求a b与a b 再点乘 也可以用公式写出a2 b2 a 2 b 2然后计算 已知a 2 1 2 b 0 1 4 求3a 2b a B 分析 空间向量的加 减 数乘运算与平面向量的加 减 数乘运算方法类似 向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和 解析 因为a 2 1 2 b 0 1 4 所以3a 2b 3 2 1 2 2 0 1 4 3 2 3 1 3 2 2 0 2 1 2 4 6 3 6 0 2 8 6 5 2 a b 2 1 2 0 1 4 2 0 1 1 2 4 0 1 8 7 总结反思 空间向量的加 减 数乘 数量积运算是今后利用向量知识解决立体几何知识的基础 必须熟练掌握 并且能够灵活地应用 空间向量的垂直与平行的判断 总结反思 已知两个空间向量的坐标 当这两个向量平行或垂直时 就可以根据a b a1b1 a2b2 a3b3 0 a b a1 xb1 a2 xb2 a3 xb3 x R 进行求解 其中 a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 设a 1 5 1 b 2 3 5 若 ka b a 3b 则k 分析 由向量线性运算的坐标表示可求出ka b a 3b 再由向量共线的坐标表示可求出k 分析 1 向量的模 大小 的公式是什么 2 计算两个向量的夹角或其余弦值 要先计算哪些量 数量积的应用 总结反思 1 空间两点间的距离 线段长度 的求法空间两点可以确定一个向量 通过求向量的模或根据两点间的距离公式求出两点间的距离 2 关于两直线夹角的求法 1 通过建立空间直角坐标系 求出两直线的方向向量的坐标 然后计算两直线的方向向量的夹角 2 空间两条直线夹角的范围与向量夹角的范围不同 当所求两向量夹角为钝角时 则两直线夹角是与此钝角互补的锐角 总结反思 此类问题考查了空间向量的运算 考查了转化与化归的思想 值得注意的是 要建立合适的坐标系 使运算简便 要在运算时别出错 综合应用 总结反思 解题时要根据题设中关于x的方程有实根 得到t的取值范围为3 t 4 而不是t R 如图 在矩形ABCD中 AB 1 AD a PA 平面ABCD 且PA 1 问 在BC边上是否存在点Q 使得PQ QD 说明理由 分析 可建立空间直角坐标系 转化为空间向量来求解 总结反思 两向量平行或两向量同向不是等价的 同向是平行的一种情况 两向量同向能推出两向量平行 但反过来不成立 也就是说 两向量同向 是 两向量平行 的充分不必要条件 错解就忽视了这一点