高中数学 2.2.2反证法课件 新人教A版选修1-2.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教A版 选修1 11 2 推理与证明 第二章 2 2直接证明与间接证明 第二章 2 2 2反证法 1 了解反证法是间接证明的一种基本方法 了解反证法的思考过程 特点 2 感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用 重点 反证法概念的理解以及反证法的解题步骤 难点 应用反证法解决问题 思维导航我们在立体几何证题中曾经使用过反证法 那么反证法的定义 反证法的原理 用反证法证题的注意事项是怎样的呢 反证法 新知导学1 反证法的定义一般地 假设原命题不成立 经过正确的推理 最后得出 因此说明假设 从而证明了原命题 这样的证明方法叫做反证法 反证法是间接证明的一种基本方法 矛盾 错误 成立 2 反证法证题的原理 1 反证法的原理是 否定之否定等于肯定 2 用反证法解题的实质就是否定结论 导出矛盾 从而说明原结论正确 3 反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾可以是与 矛盾 或与 矛盾 或与 事实矛盾等 已知条件 假设 定义 公理 定理 4 反证法的适用对象作为一种间接证明方法 反证法尤其适合证明以下几类数学问题 1 直接证明需分多种情况的 2 结论本身是以否定形式出现的一类命题 否定性命题 3 关于唯一性 存在性的命题 4 以 至多 至少 等形式出现的命题 5 条件与结论联系不够明显 直接由条件推结论的线索不够清晰 的反面是比原结论更具体 更容易研究的命题 结论 结论 牛刀小试1 用反证法证明命题 设a b为实数 则方程x3 ax b 0至少有一个实根 时 要做的假设是 A 方程x3 ax b 0没有实根B 方程x3 ax b 0至多有一个实根C 方程x3 ax b 0至多有两个实根D 方程x3 ax b 0恰好有两个实根 答案 A 解析 至少有一个实根的否定为 没有实根 答案 C 3 应用反证法推理过程中要把下列哪些作为条件使用 结论的否定 即假设 原命题的条件 公理 定理 定义等 原结论 A B C D 答案 C 4 如图所示 在 ABC中 AB AC AD为BC边上的高 AM是BC边上的中线 求证 点M不在线段CD上 解析 假设点M在线段CD上 则BDAC矛盾 故假设错误 所以点M不在线段CD上 求证 若两条平行直线a b中的一条与平面 相交 则另一条也与平面 相交 分析 直接证明直线与平面相交比较困难 故可考虑用反证法 注意该命题的反面情形不止一种 需一一驳倒 才能推出命题结论正确 用反证法证明直接证明不易入手的问题 解析 不妨设直线a与平面 相交 b与a平行 从而要证b也与平面 相交 假设b不与平面 相交 则必有下面两种情况 1 b在平面 内 由a b a 平面 得a 平面 与题设矛盾 2 b 平面 则平面 内有直线b 使b b 而a b 故a b 因为a 平面 所以a 平面 这也与题设矛盾 综上所述 b与平面 只能相交 方法规律总结 用反证法证明数学命题的步骤第一步 审题 分清命题的条件和结论 第二步 反设 做出与命题结论相矛盾的假设 第三步 归谬 由假设出发 应用演绎推理方法 推出矛盾的结果 第四步 下结论 断定产生矛盾结果的原因 在于开始所做的假设不真 于是原结论成立 从而间接地证明了命题为真 已知p3 q3 2 求证p q 2 解析 假设p q 2 那么p 2 q 所以p3 2 q 3 8 12q 6q2 q3 将p3 q3 2代入消去p 得6q2 12q 6 0 即6 q 1 2 0 这与6 q 1 2 0矛盾 故假设错误 所以p q 2 点评 本题已知条件为p q的三次幂 而结论中只有p q的一次幂 若直接证明 应考虑到用立方根 同时用放缩法 但很难证 故考虑采用反证法 已知x y 0 且x y 2 分析 明确 至少 的含义 对结论作出假设 得出矛盾 用反证法证明 至多 至少 类命题 方法规律总结 1 当命题中出现 至少 至多 不都 都不 没有 唯一 等指示性词语时 宜用反证法 2 用反证法证题 必须准确写出命题的否定 把命题所包含的所有可能情形找全 范围既不缩小 也不扩大 常用反设词如下 求证 方程2x 3有且只有一个根 分析 本题中 有且只有 含有两层含义 一层为 有 即存在 另一层为 只有 即唯一性 证明唯一性常用反证法 解析 显然x log23是方程的一根 假设方程2x 3有两个根b1 b2 b1 b2 则2b1 3 2b2 3 两式相除 得2b1 b2 1 用反证法证明存在性 唯一性命题 b1 b2 b1 b2 0 如果b1 b2 0 则2b1 b2 1 这与2b1 b2 1相矛盾 如果b1 b2 0 则2b1 b2 1 这与2b1 b2 1相矛盾 所以假设不成立 从而2x 3的根是唯一的 故2x 3有且只有一个根 方法规律总结 1 证明 有且只有一个 的问题 需要证明两个命题 即存在性和唯一性 当证明结论以 有且只有 只有一个 唯一存在 等形式出现的命题时 由于反设结论易于导出矛盾 所以宜用反证法证明 2 若结论的反面情况有多种 则必须将所有的反面情况一一驳倒 才能推断结论成立 已知直线m与直线a和b分别交于A B且a b 求证 过a b m有且只有一个平面 解析 a b 过a b有一个平面 又m a A m b B A a B b A B 又A m B m m 即过a b m有一个平面 假设过a b m还有一个平面 异于平面 则a b a b 这与a b 过a b有且只有一个平面相矛盾 因此 过a b m有且只有一个平面 分析 本题为否定形式的命题 直接证明很困难 可选用反证法 证题的关键是应注意分类讨论后 再找矛盾 用反证法证明否 肯 定式命题 方法规律总结 应用反证法的注意事项1 用反证法证题时 首先要搞清反证法证题的思路步骤 其次注意反证法是在条件较少 不易入手时常用的方法 2 注意否定命题时 要准确无误 3 用反证法证题时 必须把结论的否定作为条件使用 否则就不是反证法 有时在证明命题 若p 则q 的过程中 虽然否定了结论q 但是在证明过程中没有把 q 当作条件使用 也推出了矛盾或证得了结论 那么这种证明过程不是反证法 4 用反证法证题 最后要产生一个矛盾命题 常见的主要矛盾有 1 与数学公理 定理 公式 定义或已被证明了的结论相矛盾 2 与假设矛盾 3 与已知条件矛盾 4 与公认的简单事实矛盾 矛盾是在推理过程中发现的 不是推理之前设计的 准确写出反设已知a b c 0 ab bc ca 0 abc 0 求证 a 0 b 0 c 0 错解 假设a 0 b 0 c 0 则a b c 0 abc 0与题设条件a b c 0 abc 0矛盾 假设不成立 原命题成立 辨析 错解没有弄清原题待证的结论是什么 导致反设错误 求证 a 0 b 0 c 0 的含义是 求证a b c三数都是正数 故反设应为 假设a b c中至少有一个不大于0 正解 假设a b c中至少有一个不大于0 不妨设a 0 若a0 得bc0得 b c a 0 ab bc ac a b c bc0矛盾 又若a 0 则abc 0与abc 0矛盾 故 a 0 不成立 a 0 同理可证b 0 c 0