高中数学 2.2.2 事件的相互独立性课件 新人教A版选修2-3 .ppt

2 2 2事件的相互独立性 事件的相互独立性 1 定义 设A B为两个事件 如果P AB 则称事件A与事件B相互独立 2 性质 A与B是相互独立事件 则也相互独立 P A P B 1 判一判 正确的打 错误的打 1 不可能事件与任何一个事件相互独立 2 必然事件与任何一个事件相互独立 3 如果事件A与事件B相互独立 则P B A P B 4 P AB P A P B 是 事件A B相互独立 的充要条件 解析 1 正确 不可能事件的发生与任何一个事件的发生没有影响 2 正确 必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响 3 正确 如果事件A与事件B相互独立 则P B A P B 4 正确 如果事件A与事件B相互独立 则有P B A P B 又P B A 从而P AB P A P B A P A P B 即P AB P A P B 是事件A B相互独立的充要条件 答案 1 2 3 4 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 甲 乙两水文站同时作水文预报 如果甲站 乙站各自预报的准确率为0 8和0 7 那么 在一次预报中 甲 乙两站预报都准确的概率为 2 一件产品要经过两道独立的工序 第一道工序的次品率为a 第二道工序的次品率为b 则该产品的正品率为 3 已知A B是相互独立事件 且P A P B 则P A P 解析 1 甲 乙两站水文预报相互独立 则P 0 8 0 7 0 56 答案 0 56 2 由于经过两道工序才能生产出一件产品 当两道工序都合格时才能生产出正品 又由于两道工序相互独立 则该产品的正品率为 1 a 1 b 答案 1 a 1 b 3 因为P A P B 所以所以答案 要点探究 知识点相互独立事件1 对事件相互独立性的两点说明 1 前提 在应用公式P AB P A P B 时 一定要注意公式成立的条件 即各事件必须相互独立 2 推广 一般地 如果事件A1 A2 An相互独立 那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积 即P A1A2 An P A1 P A2 P An 2 相互独立事件与互斥事件的区别 3 两个事件是否相互独立的判断 1 直接法 由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响 2 定义法 如果事件A B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积 则事件A B为相互独立事件 3 条件概率法 当P A 0时 可用P B A P B 判断 微思考 1 若两个事件相互独立 是否就说明这两个事件间没有任何关系 提示 不是 若两事件A B相互独立是指事件A是否发生与事件B是否发生没有关系 并不是说事件A B间没有关系 相反 若事件A B相互独立 则事件AB 即事件A B不互斥 2 能否利用P B A P B 来定义相互独立的概念 提示 不能 原因是这个等式的适用范围是P A 0 否则P B A 没有意义 即时练 1 下列事件中A B是相互独立事件的是 A 一枚硬币掷两次 事件A为 第一次为正面 事件B为 第二次为反面 B 袋中有2白 2黑的小球 不放回地摸两球 事件A为 第一次摸到白球 事件B为 第二次摸到白球 C 掷一枚骰子 事件A为 出现点数为奇数 事件B为 出现点数为偶数 D 事件A为 人能活到20岁 事件B为 人能活到50岁 解析 选A 把一枚硬币掷两次 对于每次而言是相互独立的 其结果不受先后影响 故A是独立事件 B中是不放回地摸球 显然A事件与B事件不相互独立 对于C A B应为互斥事件 不相互独立 D是条件概率 事件B受事件A的影响 2 判断下列各对事件是否是相互独立事件 1 甲组3名男生 2名女生 乙组2名男生 3名女生 现从甲 乙两组中各选1名同学参加演讲比赛 从甲组中选出1名男生 与 从乙组中选出1名女生 2 容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球 从8个球中任意取出1个 取出的是白球 与 从剩下的7个球中任意取出1个 取出的还是白球 3 掷一枚骰子一次 出现偶数点 与 出现3点或6点 解析 1 从甲组中选出1名男生 这一事件是否发生 对 从乙组中选出1名女生 这一事件是否发生没有影响 所以它们是相互独立事件 2 从8个球中任意取出1个 取出的是白球 的概率为 若这一事件发生了 则 从剩下的7个球中任意取出1个 取出的仍是白球 的概率为 若前一事件没有发生 则后一事件发生的概率为 可见 前一事件是否发生 对后一事件发生的概率有影响 所以二者不是相互独立事件 3 记A 出现偶数点 B 出现3点或6点 则A 2 4 6 B 3 6 AB 6 所以所以P AB P A P B 所以事件A与B相互独立 题型示范 类型一相互独立事件发生的概率 典例1 1 同时转动如图所示的两个转盘 记转盘甲得到的数为x 转盘乙得到的数为y 构成数对 x y 则所有数对 x y 中满足xy 4的概率为 2 根据资料统计 某地车主购买甲种保险的概率为0 5 购买乙种保险的概率为0 6 购买甲 乙保险相互独立 各车主间相互独立 求一位车主同时购买甲 乙两种保险的概率 求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率 解题探究 1 题 1 满足xy 4的数对 x y 有几个 2 题 2 中车主不购买甲种保险的概率是多少 探究提示 1 有3个 分别为 1 4 2 2 4 1 2 车主不购买甲种保险的概率P 1 0 5 0 5 自主解答 1 选C 满足xy 4的所有可能如下 x 1 y 4 x 2 y 2 x 4 y 1 所以 所求事件的概率P P x 1 y 4 P x 2 y 2 P x 4 y 1 2 记A表示事件 购买甲种保险 B表示事件 购买乙种保险 则由题意得A与B A与与B 与都是相互独立事件 且P A 0 5 P B 0 6 记C表示事件 同时购买甲 乙两种保险 则C AB 所以P C P AB P A P B 0 5 0 6 0 3 记D表示事件 购买乙种保险但不购买甲种保险 则D B 所以P D P B P P B 1 0 5 0 6 0 3 延伸探究 题 2 中车主至少购买甲 乙两种保险中的一种的概率是多少 解析 方法一 记E表示事件 至少购买甲 乙两种保险中的一种 则事件E包括B A AB 且它们彼此为互斥事件 所以P E 0 5 0 6 0 5 0 4 0 5 0 6 0 8 方法二 事件 至少购买甲 乙两种保险中的一种 与事件 甲 乙两种保险都不购买 为对立事件 所以P E 1 P 1 1 0 5 1 0 6 0 8 方法技巧 与相互独立事件有关的概率问题求解策略明确事件中的 至少有一个发生 至多有一个发生 恰好有一个发生 都发生 都不发生 不都发生 等词语的意义 一般地 已知两个事件A B 它们的概率分别为P A P B 那么 1 A B中至少有一个发生为事件A B 2 A B都发生为事件AB 3 A B都不发生为事件 4 A B恰有一个发生为事件 5 A B中至多有一个发生为事件 它们之间的概率关系如表所示 变式训练 红队队员甲 乙 丙与蓝队队员A B C进行围棋比赛 甲对A 乙对B 丙对C各一盘 已知甲胜A 乙胜B 丙胜C的概率分别为0 6 0 5 0 5 假设各盘比赛结果相互独立 求 1 红队中有且只有一名队员获胜的概率 2 红队至少两名队员获胜的概率 解题指南 弄清事件 红队有且只有一名队员获胜 与事件 红队至少两名队员获胜 是由哪些基本事件组成的 及这些事件间的关系 然后选择相应概率公式求值 解析 设甲胜A的事件为D 乙胜B的事件为E 丙胜C的事件为F 则分别表示甲不胜A 乙不胜B 丙不胜C的事件 因为P D 0 6 P E 0 5 P F 0 5 由对立事件的概率公式知P 0 4 P 0 5 P 0 5 1 红队有且只有一名队员获胜的事件有以上3个事件彼此互斥且独立 所以红队有且只有一名队员获胜的概率 2 方法一 红队至少两人获胜的事件有 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立 因此红队至少两人获胜的概率为 0 6 0 5 0 5 0 6 0 5 0 5 0 4 0 5 0 5 0 6 0 5 0 5 0 55 方法二 红队至少两人获胜 与 红队最多一人获胜 为对立事件 而红队都不获胜为事件 且P 0 4 0 5 0 5 0 1 所以红队至少两人获胜的概率为P2 1 P1 P 1 0 35 0 1 0 55 补偿训练 甲 乙两人独立地破译密码的概率分别为求 1 两个人都译出密码的概率 2 两个人都译不出密码的概率 3 恰有一人译出密码的概率 4 至多一人译出密码的概率 5 至少一人译出密码的概率 解析 记A为 甲独立地译出密码 B为 乙独立地译出密码 1 两个人都译出密码的概率为 2 两个人都译不出密码的概率为 3 恰有一人译出密码分为两类 甲译出乙译不出 乙译出甲译不出 即所以 4 至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码 所以1 P AB 5 至少一人译出密码的对立事件为两人都没有译出密码 所以 类型二相互独立事件概率的实际应用 典例2 1 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关 只要其中有1个开关能够闭合 线路就能正常工作 假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0 7 则在这段时间内线路正常工作的概率是 2 在一袋中装有2只红球和8只白球 每次从袋中任取一球 取后放回 直到取得红球为止 求取球次数X的分布列 解题探究 1 题 1 中 线路能正常工作存在几种情况 不能正常工作又有几种情况 2 题 2 中 取球的次数X的取值有哪些 探究提示 1 能正常工作的情况可分为三类 一类是只有1个开关闭合 此时又有3种情况 二类是有2个开关闭合 此时有 3种情况 三类是3个开关均闭合 有1种情况 故共有7种情况 而不能正常工作仅有一种情况 2 X的所有可能取值为1 2 i 自主解答 1 由题意 分别记这段时间内开关JA JB JC能够闭合为事件A B C 这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响 根据相互独立事件的概率乘法公式 这段时间内3个开关都不能闭合的概率是 1 P A 1 P B 1 P C 1 0 7 1 0 7 1 0 7 0 027 所以这段时间内至少有1个开关能够闭合 即使线路能正常工作的概率是1 P 1 0 027 0 973 答案 0 973 2 X的所有可能取值为1 2 i 令Ai表示 第i次取得红球 则由于各次取球相互独立 且取到红球的概率为p 0 2 于是得P X 1 P A1 0 2 所以其分布列为 方法技巧 系统可靠性问题的求解策略由于该类问题常常与物理知识相联系 在考查知识纵向联系的同时 重点考查事件独立性的综合应用 求解时可先从系统的构造出发 分析所给的系统是单纯的串 并 联还是串并联混合体结构 1 直接法 把所求的事件分成若干个互斥事件之和 根据互斥事件的概率公式求解 2 间接法 当所涉及的事件较多 而其对立事件所涉及的事件较少时 可根据对立事件的概率公式求解 变式训练 2014 武汉高二检测 已知某音响设备由五个部件组成 A电视机 B影碟机 C线路 D左声道和E右声道 其中每个部件工作的概率如图所示 能听到声音 当且仅当A与B中有一个工作 C工作 D与E中有一个工作 且若D和E同时工作则有立体声效果 1 求能听到立体声效果的概率 2 求听不到声音的概率 结果精确到0 01 解题指南 1 根据事件A B C D E的能否正常工作之间没有影响 所以事件A B C D E是相互独立事件 又事件A发生的概率为0 9 由对立事件的概率得出事件A不发生的概率为1 0 9 同理事件B不发生的概率为1 0 8 根据独立事件的概率公式可得出能听到立体声效果的概率 2 事件 听不到声音 即为 当A B都不工作 或C不工作 或D E都不工作时 又由独立事件的概率公式得出结论 解析 1 因为A与B中都不工作的概率为 1 0 9 1 0 8 所以能听到立体声效果的概率为 1 1 0 9 1 0 8 0 95 0 8 0 7 0 52 2 当A B都不工作 或C不工作 或D E都不工作时 就听不到音响设备的声音 其否定是 A B至少有1个工作 且C工作 且D E中至少有一个工作 所以 听不到声音的概率为1 1 1 0 9 1 0 8 0 95 1 1 0 8 1 0 7 1 0 87514 0 12 答 1 能听到立体声效果的概率约为0 52 2 听不到声音的概率约为0 12 补偿训练 2014 宝鸡高二检测 某果园要用三辆汽车将一批水果从所在城市E运至销售城市F 已知从城市E到城市F有两条公路 统计表明 汽车走公路 堵车的概率为 不堵车的概率为 走公路 堵车的概率为 不堵车的概率为 若甲 乙两辆汽车走公路 第三辆汽车丙由于其他原因走公路 运送水果 且三辆汽车是否堵车相互之间没有影响 1 求甲 乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率 2 求三辆汽车中至少有两辆堵车的概率 解析 记 汽车甲走公路 堵车 为事件A 汽车乙走公路 堵车 为事件B 汽车丙走公路 堵车 为事件C 1 甲 乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率为 2 甲 乙 丙三辆汽车中至少有两辆堵车的概率为 易错误区 对事件类型判断不准导致错误 典例 甲 乙两人参加环保知识竞赛 在10道备选试题中 甲能答对其中的6道题 乙能答对其中的8道题 现规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试 至少答对2题为合格 则甲 乙两人至少有一人考试合格的概率为 解析 设甲 乙两人考试合格的事件分别为A B 事件A B相互独立 所以甲 乙两人考试均不合格的概率为故甲 乙两人至少有一人考试合格的概率答案 常见误区 防范措施 1 注意事件类型的甄别在解决与概率相关问题时 要理清事件间的关系 强化事件概型及关系的判断 明确事件是互斥事件 还是相互独立事件 然后合理选择公式 如本例中的事件A B是相互独立的 所以选择相互独立事件的概率公式 2 明确求解问题的思路一是直接法 即求解时先把待求事件分解成彼此互斥的事件的和事件 在此基础上求相应事件的概率 二是间接法 利用对立事件的知识求解 采用的是 正难则反 的解题原则 如本例中求 至少一人 的问题 采用其对立事件求解更加方便 类题试解 某同学甲上大学前把手机号码抄给同学乙 后来同学乙给他打电话时 发现号码的最后一个数字被撕掉了 于是乙在拨号时随意地添上最后一个数字 且用过了的数字不再重复 则拨号不超过3次而拨对甲的手机号码的概率是 解析 选A 拨号不超过三次拨对这个事件包含了三个事件 第一次拨对的概率是 第二次拨对是在第一次没有拨对的情况下发生的 故其概率是第三次拨对是在前两次没有拨对的前提下发生的 故其概率是故拨号不超过3次而拨对甲的手机号码的概率是故选A