高中数学 2.2.1圆的方程课件 苏教版必修2.ppt

第2章平面解析几何初步 2 2圆与方程2 2 1圆的方程 栏目链接 课标点击 1 理解圆的方程的意义 2 掌握圆的标准方程和一般方程的形式特征 3 会根据圆的方程求圆心坐标和半径 4 会用待定系数法求圆的方程 栏目链接 典例剖析 栏目链接 圆的方程 设圆满足 截y轴所得的弦长为2 被x轴分成两段圆弧 其弧长的比为3 1 在满足 的所有圆中 求圆心到直线l x 2y 0的距离最小的圆的方程 分析 设圆心 a b 半径r 然后利用平面几何知识解决问题 栏目链接 解析 设所求圆的圆心为P a b 半径为r 则P到x轴 y轴的距离分别为 b a 栏目链接 5d2 a 2b 2 a2 4b2 4ab a2 4b2 2 a2 b2 2b2 a2 1 当且仅当a b时 上式等号成立 此时5d2 1 从而d取得最小值 栏目链接 规律总结 1 求圆的方程的一般步骤 选用圆的方程两种形式中的一种 如果已知圆上的三个点的坐标 一般选用一般方程 如果给出圆心的特殊位置或圆心两坐标间的关系 一般选用标准方程 根据所给条件 列出关于D E F或a b r的方程组 解方程组 求出D E F或a b r的值 并把它们代入所设的方程中 得到所求的圆的方程 2 本题是解析几何和代数的一个综合题 实质是根据已知条件求最值问题 有机地将代数和几何联系在一起 利用圆的有关性质是解决本题的关键 栏目链接 栏目链接 动点的轨迹问题 如右下图所示 已知O为坐标原点 P在圆C x 2 2 y2 1上运动 求线段OP的中点M的轨迹方程 栏目链接 分析 点P运动引起点M运动 而点P在已知圆上运动 点P的坐标满足方程 x 2 2 y2 1 建立点M与点P坐标之间的关系 就可以得到点M的坐标满足的条件 求出点M的轨迹方程 或利用圆的定义求出点M的轨迹方程 栏目链接 栏目链接 栏目链接 规律总结 1 代入法和定义法 是求轨迹方程的常用方法 注意熟练掌握 2 直接法求点的轨迹方程的步骤 栏目链接 建系设点 建立适当的直角坐标系 设曲线上任一点坐标为M x y 几何点集 写出满足题设的点M的集合P M P M 翻译列式 将几何条件P M 用坐标x y表示 写出方程f x y 0 化简方程 通过同解变形化简方程 查漏除杂 验证方程表示的曲线是否为已知的曲线 重点检查方程表示的曲线是否有多余的点 曲线上是否有遗漏的点 该方法常用于解答与圆相关的应用性问题 栏目链接 变式训练2 设圆的方程为x2 y2 4 过点M 0 1 的直线l交圆于A B两点 O是坐标原点 点P为AB的中点 当l绕点M旋转时 求动点P的轨迹方程 解析 方法一设点P的坐标为 x y A x1 y1 B x2 y2 因为A B在圆上 所以x21 y21 4 x22 y22 4 两式相减得x21 x22 y21 y22 0 所以 x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 栏目链接 栏目链接 栏目链接 与圆有关的最值问题 栏目链接 栏目链接 规律总结 研究与圆有关的最值问题时 可借助图形的性质 利用数形结合求解 一般地 形如u 形式的最值问题 可转化为动直线的斜率的最值问题 形如l ax by形式的最值问题 可转化为动直线的截距的最值问题 形如 x a 2 y b 2形式的最值问题 可转化为动点到定点的距离的最值问题 栏目链接 已知圆C x 3 2 y 4 2 1 点A 1 0 B 1 0 点P为圆上的动点 求d PA 2 PB 2的最大 最小值及对应的点P的坐标 分析 设出点P的坐标 转化为求函数最值问题 栏目链接 解析 若设P x0 y0 则d PA 2 PB 2 x0 1 2 y20 x0 1 2 y20 2 x20 y20 2 欲求d的最值 只需求 x20 y20的最值 即求圆C上的点到原点的距离的平方的最值 故过原点O与圆心C的直线与圆的两个交点P1 P2即为所求 栏目链接 规律总结 研究圆上的点到定点 或到定直线 的距离的最值问题 一般在点与定点的连线 点与直线的垂线 过圆心时寻求 解决这类问题除可充分利用圆与圆的几何性质外 还可以考虑用圆的参数方程进行三角代换 化成关于sin 或cos 的函数 再利用正 余弦函数的有界性求解