高中数学 2.1.1椭圆及其标准方程课件 新人教A版选修1-1.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教A版 选修1 11 2 圆锥曲线与方程 第二章 我们知道 用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥 截口曲线是一个圆 如果改变平面与圆锥轴线的夹角 又会得到什么图形呢 如图 当截面与圆锥轴的夹角不同时 可以得到不同的截口曲线 它们分别是椭圆 抛物线 双曲线 我们通常把圆 椭圆 抛物线 双曲线统称为圆锥曲线 实际上 我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨道上运行 太阳系其他行星也是如此 太阳则位于椭圆的一个焦点上 如果这些行星的运行速度增大到某种程度 它们就会沿抛物线或双曲线轨迹运行 人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理 相对于一个物体 按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动 不可能有任何其他的轨道了 因而 圆锥曲线在这种意义上讲 构成了我们宇宙的基本形式 圆锥曲线具有怎样的几何特征 如何研究圆锥曲线的性质呢 2 1椭圆 第二章 2 1 1椭圆及其标准方程 1 了解椭圆的实际背景 经历从具体情境中抽象出椭圆的过程和椭圆标准方程的推导与化简过程 2 掌握椭圆的定义 标准方程及几何图形 会用待定系数法求椭圆的标准方程 重点 椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式 难点 椭圆标准方程的建立和推导 思维导航在生活中 我们对椭圆并不陌生 油罐汽车的贮油罐横截面的外轮廓线 天体中一些行星和卫星运行的轨道都是椭圆 灯光斜照在圆形桌面上 地面上形成的影子也是椭圆形的 那么椭圆是怎样定义的 怎样才能画出椭圆呢 给你两个图钉 一根无弹性的细绳 一张纸板 能画出椭圆吗 椭圆的定义思维导航 新知导学1 我们已知平面内到两定点距离相等的点的轨迹为 也曾讨论过到两定点距离之比为某个常数的点的轨迹的情形 那么平面内到两定点距离的和 或差 等于常数的点的轨迹是什么呢 2 平面内与两个定点F1 F2的距离的 等于常数 大于 F1F2 的点的轨迹 或集合 叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的 间的距离叫做椭圆的焦距 当常数等于 F1F2 时轨迹为 当常数小于 F1F2 时 轨迹 连结这两点的线段的垂直平分线 和 焦点 两焦点 线段 F1F2 不存在 牛刀小试1 已知F1 F2是两点 F1F2 8 1 动点M满足 MF1 MF2 10 则点M的轨迹是 2 动点M满足 MF1 MF2 8 则点M的轨迹是 答案 1 以F1 F2为焦点 焦距为8的椭圆 2 线段F1F2 解析 1 因为 F1F2 8且动点M满足 MF1 MF2 10 8 F1F2 由椭圆定义知 动点M的轨迹是以F1 F2为焦点 焦距为8的椭圆 2 因为 MF1 MF2 8 F1F2 所以动点M的轨迹是线段F1F2 思维导航1 如何建立坐标系才能使椭圆的方程比较简单 求椭圆的方程 首先要建立直角坐标系 由于曲线上同一个点在不同的坐标系中的坐标不同 曲线的方程也不同 为了使方程简单 必须注意坐标系的选择 一般情况下 应使已知点的坐标和直线 或曲线 的方程尽可能简单 在求椭圆的标准方程时 选择x轴经过两个定点F1 F2 并且使坐标原点为线段F1F2的中点 这样两个定点的坐标比较简单 便于推导方程 椭圆的标准方程思维导航 2 在推导椭圆方程时 为何要设 F1F2 2c 常数为2a 为何令a2 c2 b2 在求方程时 设椭圆的焦距为2c c 0 椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为2a a 0 这是为了使推导出的椭圆的方程形式简单 令a2 c2 b2是为了使方程的形式整齐而便于记忆 3 推导椭圆方程时 需化简无理式 应注意什么 1 方程中只有一个根式时 需将它单独留在方程的一侧 把其他项移到另一侧 2 方程中有两个根式时 需将它们放在方程的两侧 并使其中一侧只有一个根式 然后两边平方 答案 C 答案 B 解析 由题设条件知 ABF2的周长为 AF1 AF2 BF1 BF2 4a 16 椭圆的定义 分析 1 中 根据椭圆方程求出a 利用椭圆定义求点M到另一个焦点的距离 2 中 由方程表示椭圆知分母都为正值 由焦点位置确定分母的大小 答案 C 方法规律总结 1 由椭圆的标准方程可求a b c的值 进而可求焦点坐标等 2 椭圆标准方程中 哪个项的分母大 焦点就在哪个轴上 3 当问题中涉及椭圆上的点到焦点距离时 注意考虑可否利用定义求解 答案 1 B 2 20 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 两个焦点的坐标分别为F1 4 0 F2 4 0 并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10 求椭圆的标准方程 分析 1 由已知可得a c的值 由b2 a2 c2可求出b 再根据焦点位置写出椭圆的方程 2 利用两点间的距离公式求出2a 再写方程 也可用待定系数法 3 利用待定系数法 但需讨论焦点的位置 也可利用椭圆的一般方程Ax2 By2 1 A 0 B 0 A B 直接求A B得方程 方法规律总结 求椭圆的标准方程常用的方法有 定义法和待定系数法 无论何种方法都应做到 先定位 即确定焦点的位置 以便正确选择方程的形式 如果不能确定焦点的位置 就需分类讨论 或者利用椭圆方程的一般形式 通常设为Ax2 By2 1 A 0 B 0 A B 避免讨论 后定量 根据已知条件 列出方程组求解未知数 分析 椭圆上一点P与两焦点F1 F2构成的三角形PF1F2我们通常称其为焦点三角形 在这个三角形中 既可运用椭圆定义 又可运用正 余弦定理 有时还运用整体思想求 PF1 PF2 等 焦点三角形问题 方法规律总结 在解焦点三角形问题时 一般有两种方法 1 几何法 利用两个关系式 PF1 PF2 2a 2a F1F2 利用正余弦定理可得 PF1 PF2 F1F2 的关系式 然后求出 PF1 PF2 但是 一般我们不直接求出 而是根据需要 把 PF1 PF2 PF1 PF2 PF1 PF2 看成一个整体来处理 2 代数法 将P点坐标设出来 利用条件 得出点P的坐标间的关系式 再由点P在椭圆上 代入椭圆方程 联立方程组 解出点P的纵坐标 然后求出面积 答案 A 解析 解法一 几何法如图 由已知得a 5 b 3 c 4 则 已知B C是两个定点 BC 8 且 ABC的周长等于18 求这个三角形的顶点A的轨迹方程 分析 由 ABC的周长等于18 BC 8 可知点A到B C两个定点的距离之和是10 所以点A的轨迹是以B C为焦点的椭圆 但点A与点B C不能在同一直线上 适当建立平面直角坐标系 可以求出这个椭圆的标准方程 定义法解决轨迹问题 方法规律总结 如果在条件中有两定点 涉及动点到两定点的距离 可考虑能否运用椭圆定义求解 利用椭圆的定义求动点的轨迹方程 应先根据动点具有的条件 验证是否符合椭圆的定义 即动点到两定点距离之和是否是一常数 且该常数 定值 大于两点的距离 若符合 则动点的轨迹为椭圆 然后确定椭圆的方程 已知两圆C1 x 4 2 y2 169 C2 x 4 2 y2 9 动圆和圆C1内切 和圆C2外切 求动圆圆心的轨迹方程 解析 如图所示 设动圆圆心为M x y 半径为r