高中数学 1.3.3 函数的最大（小）值与导数课件 新人教A版选修2-2.ppt

1 3 3函数的最大 小 值与导数 函数的最大 小 值与导数 内容 利用导数研究函数的最大 小 值 应用 1 求函数的最大值和最小值 2 已知函数的最值求函数的解析式 3 利用导数和不等式恒成立问题求参数的取值范围 本课主要学习利用导数研究函数的最大 小 值 以视频世界上最长的荡秋千线最高 最低点引入新课 通过合作交流 使学生发现并掌握极值与最值的区别与联系 感受领会从数到形的探究过程 接着讲述某函数在一个确定的闭区间上存在最值的条件 针对定理所解决的三类问题给出4个例题和变式 通过解决问题巩固新知 强调利用导数研究函数最值问题的重要性 在讲述利用导数研究函数最值时 采用例题与变式结合的方法 通过例1 例2和变式巩固掌握求已知函数在闭区间的最值的方法 例3及变式 既注重了与原问题的联系 又在不知不觉中提高了难度 提高了学生的解题能力 而例4是与函数最值有关的恒成立问题 说明思路的由来过程 开阔了学生的思路 通过观看视频 大家一起讨论一下荡秋千线最高 最低点问题 世界上最长的荡秋千线最高 最低点 f x 0 f x 0 问题1 函数单调性与导数关系 如果在某个区间内恒有 则为常数 设函数y f x 在某个区间内可导 f x 为增函数 f x 为减函数 问题2 函数的极大 小 值的概念 设函数f x 在点x0附近有定义 如果对X0附近的所有点 都有f x f x0 则f x0 是函数f x 的一个极大值 记作y极大值 f x0 如果对X0附近的所有点 都有f x f x0 则f x0 是函数f x 的一个极小值 记作y极小值 f x0 函数的极大值与极小值统称为极值 使函数取得极值的点x0称为极值点 1 确定函数的定义域 2 求函数的导数f x 3 求方程f x 0的根 找到临界点 4 解不等式并列成表格 5 求出极值 问题3 求函数的极值的方法与步骤 左正右负极大值 左负右正极小值 问题4 观察下列图形 你能找出函数的极值吗 观察图象 我们发现 是函数y f x 的极小值 是函数y f x 的极大值 在社会生活实践中 为了发挥最大的经济效益 常常遇到如何能使用料最省 产量最高 效益最大等问题 这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题 函数在什么条件下一定有最大 最小值 他们与函数极值关系如何 极值是一个局部概念 极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 问题1 这个函数f x 在区间 a b 上有极值吗 问题2 指出它的极值点有哪些 并分别说明是极大值点还是极小值点 问题3 f x 在 a b 上存在最值吗 你觉得它的最小值和最大值分别在哪里取得 问题4 你是如何得出最大 小 值的 观察下面一个定义在区间 a b 上的函数f x 的图象 观察右边一个定义在区间 a b 上的函数y f x 的图象 如果在没有给出函数图象的情况下 怎样才能判断出f x3 是最小值 而f b 是最大值呢 例如 已知函数 求f x 在区间 0 3 上的最大值和最小值 例如 已知函数 求f x 在区间 0 3 上的最大值和最小值 问题1 你能否自己画出这个函数的图象 再通过画出的图象确定函数的最值呢 问题2 你的作图是否准确无误呢 如果作图出现较大的误差 会不会影响到你的判断 问题3 假设你的作图准确度很高 你觉得每次都这么去作图是否很方便 问题4 有没有更好的办法 使我们不用作图就能准确的求出任意一个函数的最值呢 问题1 你是如何理解 连续不断的曲线 的 问题2 给定函数的区间 a b 能否改为 a b 通过以上的思考 你能否给出某函数在一个确定的闭区间上存在最值的条件呢 观察下列图形 你能找出函数的最值吗 在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值 在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值 问题3 你能说出函数的极值与最值有什么区别与联系吗 1 最值 是整体概念 而 极值 是个局部概念 2 从个数上看 一个函数在给定定义域上的最值是唯一的 而极值不唯一 也可能没有 3 若有唯一的极值 则此极值必是函数的最值 4 极值只能在定义域内部取得 而最值可以在区间的端点处取得 有极值的未必有最值 有最值的未必有极值 极值有可能成为最值 最值只要不在端点必定是极值 一般的如果在区间 a b 上函数y f x 的图象是一条连续不断的曲线 那么它必有最大值和最小值 由上面函数f x 的图象可以看出 只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较 就可以得出函数的最值了 例1 已知函数 求f x 在区间 0 3 上的最大值和最小值 2 将y f x 的各极值与f a f b 端点处 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个最小值 求f x 在闭区间 a b 上的最值的步骤 1 求f x 在区间 a b 内极值 极大值或极小值 1 求出所有导数为0的点 2 计算 3 比较确定最值 求函数的最大值和最小值 求函数y x4 2x2 5在区间 2 2 上的最大值与最小值 解 令 解得x 1 0 1 当x变化时 的变化情况如下表 从上表可知 最大值是13 最小值是4 求函数的最值时 应注意以下几点 1 函数的极值是在局部范围内讨论问题 是一个局部概念 而函数的最值是对整个定义域而言 是在整体范围内讨论问题 是一个整体性的概念 2 闭区间 a b 上的连续函数一定有最值 开区间 a b 内的可导函数不一定有最值 但若有唯一的极值 则此极值必是函数的最值 3 函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个 而函数的极值则可能不止一个 也可能没有极值 并且极大值 极小值 不一定就是最大值 最小值 例3 已知函数f x 2x3 6x2 a在 2 2 上有最小值 37 1 求a的值 2 求f x 在 2 2 上的最大值 已知函数f x ax3 6ax2 b 问是否存在实数a b 使f x 在 1 2 上取得最大值3 最小值 29 若存在 求出a b的值 若不存在 请说明理由 例4 设函数f x tx2 2t2x t 1 t 0 1 求f x 的最小值h t 2 若h t 2t m对 0 t 2 恒成立 求实数m的取值范围 有关恒成立问题 一般是转化为求函数的最值问题 求解时首先要确定函数 看哪一个变量的范围已知 以已知范围的变量为自变量确定函数 教师提问 本节课我们学习了哪些知识 涉及到哪些数学思想方法 学生作答 1 知识 1 极值与最值的区别与联系 2 利用导数求函数的最值的步骤 2 思想 归纳概括思想 数形结合思想 教师总结 在学习新知时也用到了前面所学过的知识 提醒学生 在学习新知时 也要经常复习前面学过的内容 温故而知新 在应用中增强对知识的理解 及时查缺补漏 从而更好地运用知识 解题要有目的性 加强对数学知识 思想方法的认识与自觉运用 D A A 必做题 4 函数y x3 3x2 在 2 4 上的最大值为 A 4 B 0 C 16 D 20 C 1 函数y x 3x 9x在 4 4 上的最大值为 最小值为 分析 1 由f x 3x 6x 9 0 2 区间 4 4 端点处的函数值为f 4 20 f 4 76 得x1 3 x2 1 函数值为f 3 27 f 1 5 76 5 当x变化时 y y的变化情况如下表 比较以上各函数值 可知函数在 4 4 上的最大值为f 4 76 最小值为f 1 5 选做题 反思 本题属于逆向探究题型其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上 从而解决问题 往往伴随有分类讨论 3 求函数f x x2 4x 6在区间 1 5 内的极值与最值 故函数f x 在区间 1 5 内的极小值为3 最大值为11 最小值为2 解法二 f x 2x 4 令f x 0 即2x 4 0 得x 2 3 11 2 解法一 将二次函数f x x2 4x 6配方 利用二次函数单调性处理