高中数学 1.3.1函数的最大值、最小值课件 新人教版必修1.ppt

第2课时函数的最大值 最小值 1 通过函数图象了解函数最大值 最小值在图象上的特征 2 会用函数的解析式和数学语言刻画函数最大值和最小值的概念 3 了解函数最值在实际中的应用 会求简单的函数的最值 观察下列函数的图象 找出函数图象上的最高点或者最低点的坐标 最低点的坐标是 0 0 最高点的坐标是 0 0 如何使用函数的解析式和数学语言刻画函数图象的最低点和最高点 即如何用 数 刻画 形 最小值的 形 的定义 当一个函数f x 的图象有最低点时 我们就说这个函数有最小值 当函数图象没有最低点时我们说这个函数没有最小值 函数图象最低点的数的刻画 函数图象在最低点处的函数值是函数在整个定义域上最小的值 对于函数而言 即对于函数定义域中任意的 都有 函数图象最高点的数的刻画 函数图象在最高点处的函数值是函数在整个定义域上最大的值 对应函数而言 即对于任意的 都有 函数最大值的 形 的定义 当函数图象有最高点 我们就说这个函数有最大值 当函数图象无最高点时 我们说这个函数没有最大值 探究点1函数最大 小 值的数的定义 函数最大值定义 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M满足 1 对任意的 都有 2 存在 使得 那么 我们称M是函数y f x 的最大值 请同学们仿此给出函数最小值的定义 函数最小值的定义 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数N满足 1 对任意是 都有 2 存在 使得 那么 我们就称N是函数y f x 的最小值 探究点2对函数最值的理解 1 函数最大值首先应该是某一个函数值 即存在使得 并不是满足所有满足的函数都有最大值 如函数 虽然对定义域上的任意自变量都有 但不存在自变量使得函数值等于1 2 函数的最值是函数在定义域上的整体性质 即这个函数值是函数在整个定义域上的最大的值或者是最小的值 探究点3例题解析 例3 菊花 烟花是最壮观的烟花之一 制造时一般是期望它在达到最高点爆裂 如果烟花离地面的高度hm与时间ts之间的关系为 那么烟花冲出后什么时刻爆裂是最佳时刻 这时离地面的高度是多少 精确到1m 分析 烟花的高度是时间的二次函数 根据题意就是求出这个二次函数在什么时刻达到最大值 以及这个最大值是多少 显然 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点 顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻 顶点的纵坐标就是距地面的高度 解 画出这个函数 根据二次函数的知识 对于函数我们有 于是 烟花冲出1 5s是它爆裂的最佳时刻 此时距底面的高度约为29m 例4 已知函数 求这个函数的最大值和最小值 分析 这个函数在区间 2 6 上 显然解析式的分母是正值且随着自变量的增大而增大 因此函数值随着自变量的增大而减少 也就是说这个函数在区间 2 6 上是减函数 因此这个函数在定义的两个端点上取得最值 解题过程分析 函数在定义域上是减函数必需进行证明 然后再根据这个单调性确定函数取得最值的点 因此解题过程分为两个部分 证明函数在 2 6 上是减函数 求这个函数的最大值和最小值 解 设x1 x2是区间 2 6 上的任意两个实数 且x1 x2 所以 函数是区间 2 6 上的减函数 因此 函数的最大值是f 2 2 最小值是f 6 0 4 1 求函数在区间 1 3 的最大值和最小值 提示 证明函数在区间 1 3 上是增函数 答案 最大值是9 最小值是 3 2 求函数在区间 1 3 上的最大值和最小值 提示 根据二次函数的性质 函数在区间 1 0 上是减函数 在区间 0 3 上是增函数 最小值一定在x 0时取得 最大值就是区间的两个端点的函数值中最大的 答案 最大值9 最小值0 对基本的函数如一次函数 二次函数 反比例函数等 今后可以不加证明地使用他们的单调性求函数最值 3 求函数在区间 0 2 上的最大值和最小值 提示 当k 0时 函数是常数函数 当k 0时函数是一次函数 再根据k 0 k 0时函数的单调性进行解答 答案 k 0时 函数的最大值和最小值都是2 k 0时 函数的最小值是2 最大值是2k 2 k 0时 函数的最小值是2k 2 最大值是2 4 求函数在区间 0 4 上的最小值 提示 二次函数的对称轴x a是函数单调区间的分界点 根据二次函数的对称轴和区间 0 4 的关系 分a4 结合函数的单调性解决 画出不同情况下函数的图象 有利于理清解题的思路 答案 5 周长为12的矩形的面积的最大值是多少 提示 以x表示矩形的一边长 根据周长也可以用x表示矩形的另外一边长 这样就建立起了矩形的面积关于x的函数 答案 设矩形的一边长为x 另外一边长为6 x 矩形的面积y x 6 x 当x 3时矩形的面积最大 最大值是9 1 函数的最值是函数的基本性质之一 函数的最值是函数在其定义域上的整体性质 2 具有单调性的函数在其取得最值的点的左右附近的单调性恰好相反 这是函数的单调性和最值的关系 3 根据函数的单调性确定函数最值时 如果是一般的函数要证明这个函数的单调性 若是基本的函数可以直接使用函数的单调性 4 含有字母系数的函数 在求其最值时要注意分情况解决 画出函数的图象有利于问题的解决 在科学上进步而道义上落后的人 不是前进 而是后退 亚里士多德