高中数学 1.2充分条件与必要条件课件 北师大版选修2-1.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 1 常用逻辑用语 第一章 1 2充分条件与必要条件 第一章 1 当命题 如果p 则q 经过推理证明断定是真命题时 我们就说由p成立可推出q成立 记作 读作 2 如果p q 则p叫作q的 条件 3 如果q p 则p叫作q的 条件 4 如果既有p q成立 又有q p成立 记作 则p叫作q的 条件 p q p推出q 充分 必要 p q 充要 1 对充分条件的理解 1 p是q的充分条件 的等价说法有 若p 则q 为真 p q q是p的必要条件 2 充分条件是某一个结论成立应具备的条件 当命题具备此条件时 就可以得出此结论 或要使此结论成立 只要具备此条件就足够了 当命题不具备此条件时 结论也有可能成立 例如x 6 x2 36 但是当x 6时 x2 36也可以成立 x 6 也是 x2 36成立 的充分条件 2 对必要条件的理解 1 必要条件是在充分条件的基上得出的 真命题 若p 则q 的条件p是结论q的充分条件 同时 结论q是条件p的必要条件 所以 p是q的必要条件 的等价说法 若q 则p 为真 q p q是p的充分条件 2 借助于电路图理解必要条件 如图 当开关A闭合时 灯泡B不一定亮 但是当开关A不闭合时 灯泡B一定不亮 当灯泡B亮时 可以知道开关A一定是闭合的 所以要使灯泡B亮 开关A必须是闭合的 我们称开关A闭合是灯泡B亮的必要条件 3 从集合的观点上 关于充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件的判定 首先建立与p q相应的集合 即p A x p x q B x q x 4 判断充分条件与必要条件的基本思路 1 首先分清楚条件是什么 结论是什么 2 然后尝试用条件推结论 或用结论推条件 举反例说明其不成立是常用的推理方法 3 最后再指出条件是结论的什么条件 事实上 p是q的充分条件 就是条件p足以能保证结论q成立 这种情况下 也可以理解为 条件p成立 必有q成立 说明对p来说 q是必要的 所以q是p的必要条件 由此可见 判断充分条件或者必要条件实质上就是要判断命题 若p 则q 或者其逆命题 的真假 即判断条件A能否推出B 或者条件B能否推出A 5 一般地 关于充要条件的判断主要有以下几种方法 1 定义法 直接利用定义进行判断 2 等价法 p q 表示p等价于q 等价命题可以进行转换 当我们要证明p成立时 就可以去证明q成立 这里要注意 原命题 逆否命题 否命题 逆命题 只是等价形式之一 对于条件或结论是不等式关系 否定式 的命题一般应用等价法 3 利用集合间的包含关系进行判断 如果条件p和结论q都是集合 那么若p q 则p是q的充分条件 若p q 则p是q的必要条件 若p q 则p是q的充要条件 1 x2 2013 是 x2 2012 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 x2 2013的条件下可以推出x2 2012 但x2 2012不能推出x2 2013 所以x2 2013是x2 2012的充分不必要条件 2 设 an 是等比数列 则 a1 a2 a3 是 数列 an 是递增数列 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 答案 C 解析 等比数列中 a1 a2 a3 可以推出公比q 1 故 an 为递增数列 反之 an 为递增的等比数列 一定会有a1 a2 a3 所以是充分必要条件 3 函数f x x2 mx 1的图象关于直线x 1对称的充要条件是 A m 2B m 2C m 1D m 1 答案 A 答案 D 解析 a b 则需2 x 1 2 0 解得x 0 反之 x 0时 1 2 2 0 a b 判断下列各命题中 p是q的什么条件 1 p x 2 0 q x 2 x 3 0 2 p t 2 q t2 4 3 p 0 x 3 q x 1 2 4 p ABC为直角三角形 q ABC为等腰三角形 5 p A B S q SB SA 分析 先判定 若p则q 若q则p 的真假 再得两者之间关系即可 也可从集合的角度入手 充分条件 必要条件 充要条件的判定 总结反思 1 判断p是q的什么条件其实质是判断 若p则q 及其逆命题 若q则p 是真是假 原命题为真而逆命题为假 则p是q的充分不必要条件 原命题为假而逆命题为真 则p是q的必要不充分条件 原命题 逆命题均为假 则p是q的既不充分也不必要条件 2 判断p是q的什么条件 应掌握几种常用的判断方法 1 定义法 2 集合法 3 等价转化法 4 传递法 有时借助数轴 韦恩图 集合等知识形象 直观的特点或举反例 赋特殊值对判断各条件之间的推断关系常常起到事半功倍的效果 1 x0 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 2 2014 浙江文 设四边形ABCD的两条对角线为AC BD 则 四边形ABCD为菱形 是 AC BD 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 3 设集合A x R x 2 0 B x R x0 则 x A B 是 x C 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 答案 1 A 2 A 3 C 解析 1 本题主要考查充要条件的判定 由 x0 但 x2 1 0 时 x 1或x0 的充分而不必要条件 选A 2 该题考查充要条件的判断与菱形的几何性质 菱形的对角线互相垂直 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形 3 本题考查了集合的运算与逻辑语言的充分必要条件的运用 A x R x 2 0 B x R x2 C x x x 2 0 x x2 A B C x A B是x C的充要条件 求证 关于x的方程ax2 bx c 0有一个根为1的充要条件是a b c 0 分析 第一步 审题 分清条件与结论 p是q的充要条件 中p是条件 q是结论 p的充要条件是q 中 p是结论 q是条件 本题中条件是 a b c 0 结论是 关于x的方程ax2 bx c 0有一个根为1 第二步 建联系确定解题步骤 分别证明 充分性 与 必要性 先证充分性 条件 结论 再证必要性 结论 条件 第三步 规范解答 充要条件的证明 证明 必要性 关于x的方程ax2 bx c 0有一个根为1 x 1满足方程ax2 bx c 0 a 12 b 1 c 0 即a b c 0 充分性 a b c 0 c a b 代入方程ax2 bx c 0中可得ax2 bx a b 0 即 x 1 ax a b 0 因此 方程有一个根为x 1 故关于x的方程ax2 bx c 0有一个根为1的充要条件是a b c 0 总结反思 一般地 证明 p成立的充要条件为q 时 在证充分性时应以q为 已知条件 p是该步中要证明的 结论 即q p 证明必要性时则是以p为 已知条件 q为该步中要证明的 结论 即p q 证明一元二次方程ax2 bx c 0有一正根和一负根的充要条件是ac 0 所以方程ax2 bx c 0有两个相异实根 且两根异号 即方程ax2 bx c 0有一正根和一负根 综上可知 一元二次方程ax2 bx c 0有一正根和一负根的充要条件是ac 0 用集合法判断充分条件与必要条件 分析 对p q所对应的集合A B 若A B 则p是q的充分条件 若A B 则p是q的充分不必要条件 若B A 则p是q的必要条件 若B A 则p是q的必要不充分条件 若A B 则p q互为充要条件 已知p x2 x 6 0和q mx 1 0 且p是q的必要不充分条件 求实数m的值 解析 p x x x2 x 6 0 即p x 2 3 q x x mx 1 0 p是q的必要不充分条件 x mx 1 0 2 3 当 x mx 1 0 时成立 即m 0 利用充要条件求解参数 已知条件p A x x2 a 1 x a 0 条件q B x x2 3x 2 0 当a为何值时 1 p是q的充分不必要条件 2 p是q的必要不充分条件 3 p是q的充要条件 分析 用条件的充分性 必要性确定范围 一般转化为集合之间的包含关系 解析 由p A x x 1 x a 0 由q B 1 2 1 p是q的充分不必要条件 A B且A B 当A 1 时 a 1 当A 1 a 时 12 a 2 3 p是q的充要条件 A B a 2 总结反思 当命题的形式是集合时 其充分条件和必要条件的判定 就是集合包含关系的判定 使不等式x 3 0成立的一个充分不必要条件是 A x 3B x 4C x 2D x 1 2 3 如果a b c R 那么 b2 4ac 是 方程ax2 bx c 0有两个不等实根 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 误解 判别式 b2 4ac 0 即方程ax2 bx c 0有两个不等实根 若方程ax2 bx c 0有两个不等实根 则判别式 b2 4ac 0 即b2 4aC 综上可知 b2 4ac 是 方程ax2 bx c 0有两个不等实根 的充要条件 选C 正解 B 迷津点拨 判别式 b2 4ac只适用于一元二次方程的实数根存在情况的判断 对于方程ax2 bx c 0 当a 0时 原方程为一次方程bx c 0 b 0 一次方程不存在判别式 所以当b2 4ac时不能推出方程ax2 bx c 0有两个不等实根 若方程ax2 bx c 0有两个不等实根 则它的判别式 b2 4ac 0 即b2 4aC 由上可知 b2 4ac 是 方程ax2 bx c 0有两个不等实根 的必要不充分条件