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二次函数的综合问题 15二次函数的综合问题限时:30分钟夯实基础1.xx苏州 若二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,0),则关于x的方程a(x-2)2+1=0的实数根为()A.x1=0,x2=4B.x1=-2,x2=6C.x1=32,x2=52D.x1=-4,x2=02.若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=1,x2=2,那么抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线()A.x=1B.x=2C.x=32D.x=-323.xx连云港 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=-t2+24t+1.下列说法中正确的是()A.点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同B.点火后24 s火箭落于地面C.点火后10 s的升空高度为139 mD.火箭升空的最大高度为145 m4.xx河池二模 如图K15-1,四边形OABC是边长为1的正方形,OC与x轴正半轴的夹角为15,点B在抛物线y=ax2(a0)的图象上,则a的值为()图K15-1A.-23B.-23C.-2D.-125.xx莱芜 若函数y=ax2+2ax+m(a0)的图象过点(2,0),则使函数值y0成立的x的取值范围是()A.x2B.-4x2C.x2D.0x0)的图象与x轴相交于不同的两点A(x1,0),B(x2,0),且x10,解得m-112.(2)由根与系数的关系,得x1+x2=2m+3,x1x2=m2+2,因为x12+x22=31+|x1x2|,所以(x1+x2)2-2x1x2=31+|x1x2|.(2m+3)2-2(m2+2)=31+m2+2,整理,得m2+12m-28=0.解得m1=2,m2=-14(舍去).当m=2时,满足x12+x22=31+|x1x2|.9.B10.25解析 将二次函数化简,得y=-(x-4)2+254.令y=0,得x=132或32,所以在红色区域内部及其边界上的整点有(2,0),(3,0),(4,0),(5,0),(6,0),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(6,1),(6,2)共25个,故答案为25.11.(2,-4)解析 抛物线y=ax2+x的对称轴为直线x=2,-12a=2.a=-14.抛物线的表达式为y=-14x2+x=-14(x-2)2+1.顶点A的坐标为(2,1).设对称轴与x轴的交点为E.如图,在RtAOE和RtPOE中,tanOAE=OEAE,tanEOP=PEOE.OAOP,OAE=EOP.OEAE=PEOE.AE=1,OE=2,21=PE2.解得PE=4.P(2,-4).故答案为(2,-4).12.解:(1)答案不唯一,如:y=x2和y=-x2.(2)函数y=x2-43mx-2n+1与y=-x2-2nx+3互为“旋转函数”,-43m=-2n且-2n+1+3=0.解得m=3,n=2.(m-2n)2019=(3-22)2019=-1.(3)经过点A1,B1,C1的二次函数与函数y=x2-x-2互为“旋转函数”.理由是:函数y=x2-x-2的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,A(-1,0),B(2,0),C(0,-2).点A,B,C关于原点的对称点分别为A1,B1,C1,A1(1,0),B1(-2,0),C1(0,2).设过A1,B1,C1三点的二次函数的表达式为y1=a(x-1)(x+2),把点C1的坐标代入,得2=a(0-1)(0+2).解得a=-1.y1=-(x-1)(x+2)=-x2-x+2.y=x2-x-2,1+(-1)=0,-1=-1,2+(-2)=0,经过点A1,B1,C1的二次函数与函数y=x2-x-2互为“旋转函数”.13.解:(1)令y=0,得x2+x-6=0.解得x1=-3,x2=2.点A在点B的左侧,A(-3,0),B(2,0).AB=|2-(-3)|=5.当x=0时,y=-6,C(0,-6).SABC=1256=15.(2)y=x2+x-6=x+122-254.设平移后的抛物线解析式为y=(x+h)2-254.根据题意可知,AB=AB,要使ABC和ABC的面积相等,只需高相等即可,故平移后的抛物线应过点(0,-6)或点(0,6).若过点(0,-6),则h2-254=-6.解得h1=12(舍去),h2=-12.故此时满足条件的抛物线解析式为y=x-122-254=x2-x-6.若过点(0,6),则h2-254=6.解得h1=72,h2=-72.故此时满足条件的抛物线解析式为y=x+722-254=x2+7x+6或y=x-722-254=x2-7x+6.综上所述,满足条件的抛物线的函数表达式为y=x2-x-6,y=x2+7x+6或y=x2-7x+6.14.解:(1)对称轴为x=-b2a=-532a=3,a=52.(2)a=15,15x2-53x+c=0有两个不相等的实数根.(-53)2-415c0.c54.(3)如图,过点A作AMBD于M.点D是y=ax2-53x+c的图象与y轴的交点,OD=c.在RtBOD中,OBD=60,OD=c,OB=33c,BD=233c.点B的坐标为33c,0.代入二次函数的解析式,得a33c2-5333c+c=0.ac=12.c=12a.BD=233c=83a,OB=33c=43a.直线EF是y=ax2-53x+c的图象的对称轴,xE=532a.BE=xB-xE=43a-532a=332a.AE=BE=332a,AB=33a.在RtAMB中,OBD=60,AB=33a,AM=92a,BM=332a.DM=BD-BM=83a-332a=1332a.ADB=AFE,tanADB=tanAFE.AMDM=AEEF.92a1332a=332a3+12a.a=2.ac=12,c=6.y=2x2-53x+6.
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