高中数学 1.1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件 新人教A版选修2-3 .ppt

第一章计数原理1 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其简单应用 1 分类加法计数原理 m n 2 分步乘法计数原理 m n 3 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别 1 联系 都是涉及做一件事的 的种数问题 2 区别 分类加法计数原理针对的是 问题 其中各种方法 用其中任何一种方法都可以做完这件事 分步乘法计数原理针对的是 问题 各个步骤中的方法 只有各个步骤都完成才算做完这件事 不同方法 分类 相互独立 分步 互相依存 1 判一判 正确的打 错误的打 1 在分类加法计数原理中 两类不同方案中的方法可以相同 2 在分类加法计数原理中 每类方案中的方法都能完成这件事 3 在分步乘法计数原理中 每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的 4 在分步乘法计数原理中 事情若是分两步完成的 那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事 只有两个步骤都完成后 这件事情才算完成 解析 1 错误 在分类加法计数原理中 两类不同方案中的方法互不相同 即第1类方案中的m种方法和第2类方案中的n种方法没有相同的 2 正确 在分类加法计数原理中 每类方案中的每一种方法都能完成这件事 否则就是分步了 3 正确 在分步乘法计数原理中 每个步骤中完成这个步骤的方法如果相同 则可认为是相同的步骤 4 正确 在分步乘法计数原理中 如果事情是分两步完成的 则它的任何一个单独的步骤都不能完成这件事 否则就是分类了 答案 1 2 3 4 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 从10名任课教师 54名同学中 选1人参加元旦文艺演出 共有 种不同的选法 2 一个袋子里放有6个球 另一个袋子里放有8个球 每个球各不相同 从两个袋子里各取一个球 共有 种不同的取法 3 从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会 则不同的选法有 种 解析 1 分类完成此事 一类是选教师 有10种选法 另一类是选学生 有54种选法 由分类加法计数原理可知 共有10 54 64种选法 答案 64 2 由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6 8 48 答案 48 3 分类完成此事 如果选女生 有3种选法 如果选男生 有2种选法 由分类加法计数原理可知 共有3 2 5种选法 答案 5 要点探究 知识点1分类加法计数原理对分类加法计数原理的三点说明 1 核心 原理的核心是 分类 完成一件事要分为若干类 各类的方法相互独立 各类中的各种方法也相互独立 并且用任何一类中任何一种方法都可以单独完成这件事 因此在应用原理时一定要根据问题的特点确定一个分类的标准 然后在确定的标准下进行分类 其次还要注意分类不能重复 不能遗漏 2 目的 原理的目的是求解 完成一件事的不同方法数 因此在应用原理解题时要有问题意识 明确并努力思考两个问题 即问题要求我们完成一件什么事 如何完成这件事 3 推广 原理可以推广到n类不同的方案 微思考 1 分类加法计数原理的最主要的特点是什么 提示 最主要的特点是各类中的各种方法都可以单独完成一件事 2 使用分类加法计数原理需遵循的原则是什么 提示 有时分类的划分标准有多个 但不论是以哪一个为标准 都应遵循 标准明确 不重不漏 的原则 即时练 从甲地到乙地一天之中有三次航班 两趟火车 某人利用这两种交通工具在当天从甲地赶往乙地的方法有 A 2种B 3种C 5种D 6种 解析 选C 从甲地到乙地有2类办法 坐飞机和坐火车 坐飞机有3种方法 三次航班 坐火车有2种方法 两趟火车 所以结合分类加法计数原理 从甲地赶往乙地的方法有5种 知识点2分步乘法计数原理1 使用分步乘法计数原理的三个关注点 1 明确题目中的 完成这件事 是什么 确定完成这件事需要几个步骤 且每步都是独立的 2 将完成这件事划分成几个步骤来完成 各步骤之间有一定的连续性 只有当所有步骤都完成了 整个事件才算完成 这是分步的基础 也是关键 从计数上来看 各步的方法数的积就是完成事件的方法总数 3 推广 2 两个计数原理的区别 微思考 1 选用分步乘法计数原理的依据是什么 提示 当解决一个问题要分成若干步 每一步只能完成这件事的一部分 且只有当所有步都完成后 这件事才完成 这时就采用分步乘法计数原理 2 区分 完成一件事 是分类还是分步的关键是什么 提示 区分 完成一件事 是分类还是分步 关键是看一步能否完成这件事 若能完成 则是分类 否则 就是分步 即时练 2014 郑州高二检测 某乒乓球队里有男队员6人 女队员5人 从中选取男 女队员各一人组成混合双打队 不同的组队方法有 A 11种B 30种C 56种D 65种 解析 选B 先选1男有6种方法 再选1女有5种方法 故共有6 5 30种不同的组队方法 题型示范 类型一应用分类加法计数原理计数 典例1 1 若x y N 且x y 6 则有序自然数对 x y 共有 个 2 在所有的两位数中 个位数字大于十位数字的两位数的个数为 解题探究 1 题 1 中满足x y N 且x y 6的x y各可以取哪几个数 2 题 2 中要求个位数字大于十位数字 应用分类加法计数原理时应以哪个为主讨论 探究提示 1 满足x y N 且x y 6的x y各可以从1 2 3 4 5中取数 2 应用分类加法计数原理时可以以个位数为主讨论 也可以以十位数为主讨论 自主解答 1 将满足条件x y N 且x y 6的x的值进行分类 当x 1时 y可取的值为5 4 3 2 1 共5个 当x 2时 y可取的值为4 3 2 1 共4个 当x 3时 y可取的值为3 2 1 共3个 当x 4时 y可取的值为2 1 共2个 当x 5时 y可取的值为1 共1个 即当x 1 2 3 4 5时 y的值依次有5 4 3 2 1个 由分类加法计数原理得 不同的数对 x y 共有5 4 3 2 1 15 个 2 方法一 根据题意 将十位上的数字按1 2 3 4 5 6 7 8的情况分成8类 在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个 7个 6个 5个 4个 3个 2个 1个 由分类加法计数原理知 符合条件的两位数共有8 7 6 5 4 3 2 1 36 个 故共有36个 方法二 分析个位数字 可分以下几类 个位是9 则十位可以是1 2 3 8中的一个 故共有8个 个位是8 则十位可以是1 2 3 7中的一个 故共有7个 同理个位是7的有6个 个位是2的有1个 由分类加法计数原理知 符合条件的两位数共有8 7 6 5 4 3 2 1 36 个 故共有36个 答案 1 15 2 36 延伸探究 本例 2 中条件不变 求个位数字小于十位数字且为偶数的两位数的个数 解析 当个位数字是8时 十位数字取9 只有1个 当个位数字是6时 十位数字可取7 8 9 共3个 当个位数字是4时 十位数字可取5 6 7 8 9 共5个 同理可知 当个位数字是2时 共7个 当个位数字是0时 共9个 由分类加法计数原理知 符合条件的数共有1 3 5 7 9 25 个 方法技巧 1 使用分类加法计数原理计数的两个条件 1 根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准 然后在这个标准下进行分类 2 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类 并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法 只有满足这些条件 才可以用分类加法计数原理 2 利用分类加法计数原理计数时的解题流程 变式训练 2014 安徽高考 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对 其中所成的角为60 的共有 A 24对B 30对C 48对D 60对 解析 选C 与正方体的一个面上的一条对角线成60 角的对角线有8条 故共有8对 正方体的12条面对角线共有96对 且每对均重复计算一次 故共有 48对 补偿训练 有A B两种类型的车床各一台 现有甲 乙 丙三名工人 其中甲 乙都会操作两种车床 丙只会操作A种车床 现在要从三名工人中选2名分别去操作以上车床 不同的选派方法有 A 6种B 5种C 4种D 3种 解析 选C 若选甲 乙二人 包括甲操作A车床 乙操作B车床 或甲操作B车床 乙操作A车床 共有2种选派方法 若选甲 丙二人 则只有甲操作B车床 丙操作A车床这一种选派方法 若选乙 丙二人 则只有乙操作B车床 丙操作A车床这一种选派方法 故共有2 1 1 4 种 不同的选派方法 类型二应用分步乘法计数原理计数 典例2 1 2014 淄博高二检测 设集合A中有3个元素 集合B中有2个元素 可建立A B的映射的个数为 2 已知集合M 3 2 1 0 1 2 P a b 表示平面上的点 a b M 问 P可表示平面上多少个不同的点 P可表示平面上多少个第二象限的点 P可表示多少个不在直线y x上的点 解题探究 1 题 1 中能建立A B的映射的关键是什么 2 题 2 中平面上第二象限的点有什么特点 探究提示 1 关键是A中的每个元素在B中都有元素与之对应 2 平面上第二象限的点的横坐标小于0 纵坐标大于0 自主解答 1 建立映射 即对于A中的每一个元素 在B中都有一个元素与之对应 故由分步乘法计数原理得映射有2 2 2 8个 答案 8 2 确定平面上的点P a b 可分两步完成 第一步确定a的值 共有6种确定方法 第二步确定b的值 也有6种确定方法 根据分步乘法计数原理 得知P可表示平面上的点数是6 6 36 确定第二象限的点 可分两步完成 第一步确定a 由于a 0 所以有3种确定方法 第二步确定b 由于b 0 所以有2种确定方法 由分步乘法计数原理 得到第二象限的点的个数是3 2 6 点P a b 在直线y x上的充要条件是a b 因此a和b必须在集合M中取同一元素 共有6种取法 即在直线y x上的点有6个 结合 得 不在直线y x上的点共有36 6 30 个 方法技巧 1 使用分步乘法计数原理计数的两个注意点一是要按照事件发生的过程合理分步 即分步是有先后顺序的 二是各步中的方法互相依存 缺一不可 只有各个步骤都完成才算完成这件事 2 利用分步乘法计数原理计数时的解题流程 变式训练 设集合A 1 0 1 集合B 0 1 2 3 定义A B x y x A B y A B 则A B中元素个数是 A 7B 10C 25D 52 解题指南 先计算A B A B 再分两步 第一步从A B中选取元素x 第二步从A B中选取元素y 再由分步乘法计数原理计数 解析 选B A B 0 1 A B 1 0 1 2 3 x有2种取法 y有5种取法 由分步乘法计数原理得2 5 10 故选B 补偿训练 如图所示 在A B间有四个焊接点 若焊接点脱落 则可能导致电路不通 今发现A B之间线路不通 则焊接点脱落的不同情况有 种 解析 每个焊接点都有脱落与不脱落两种状态 电路不通可能是1个或多个焊接点脱落 问题比较复杂 但电路通的情况却只有3种 即2或3脱落 其他不脱落或全不脱落 因为每个焊接点有脱落与不脱落两种情况 故共有2 2 2 2 3 13种情况 答案 13 类型三两个计数原理的综合应用 典例3 1 高艳有4件不同颜色的衬衣 3件不同花样的裙子 另有2套不同样式的连衣裙 五一 劳动节需选择一套服装参加歌舞演出 则高艳不同的穿衣服的方式有 A 24种B 14种C 10种D 9种 2 2014 兰州高二检测 现有高一四个班的学生34人 其中一 二 三 四班分别有7人 8人 9人 10人 他们自愿组成数学课外小组 选其中一人为负责人 有多少种不同的选法 每班选一名组长 有多少种不同的选法 推选两人做中心发言 这两人需来自不同的班级 有多少种不同的选法 解题探究 1 题 1 中穿衣服的种类有哪些 2 题 2 的 中各需要利用什么计数原理 探究提示 1 两类 一类是穿连衣裙 另一类是穿衬衣与裙子 2 中利用分类加法计数原理 中利用分步乘法计数原理 中既利用分类加法计数原理 又利用分步乘法计数原理 自主解答 1 选B 其穿衣方式分两类 第一类 不选连衣裙有4 3 12种方法 第二类 选连衣裙有2种方法 由分类加法计数原理知 共有12 2 14种方法 2 分四类 第一类 从一班学生中选1人 有7种选法 第二类 从二班学生中选1人 有8种选法 第三类 从三班学生中选1人 有9种选法 第四类 从四班学生中选1人 有10种选法 所以 共有不同的选法N 7 8 9 10 34 种 分四步 第一 二 三 四步分别从一 二 三 四班学生中选一人任组长 所以 共有不同的选法N 7 8 9 10 5040 种 分六类 每类又分两步 从一 二班学生中各选1人 有7 8种不同的选法 从一 三班学生中各选1人 有7 9种不同的选法 从一 四班学生中各选1人 有7 10种不同的选法 从二 三班学生中各选1人 有8 9种不同的选法 从二 四班学生中各选1人 有8 10种不同的选法 从三 四班学生中各选1人 有9 10种不同的选法 所以 共有不同的选法N 7 8 7 9 7 10 8 9 8 10 9 10 431 种 方法技巧 利用两个计数原理解题时的三个注意点 1 当题目无从下手时 可考虑要完成的这件事是什么 即怎样做才算完成这件事 然后给出完成这件事的一种或几种方法 从这几种方法中归纳出解题方法 2 分类时标准要明确 做到不重不漏 有时要恰当画出示意图或树形图 使问题的分析更直观 清楚 便于探索规律 3 混合问题一般是先分类再分步 变式训练 1 2013 青岛高二检测 已知一个科技小组中有4名女同学 5名男同学 若从中任选一名同学参加学科竞赛 则共有不同的选派方法多少种 若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛 则共有不同的选派方法多少种 解析 由分类加法计数原理得 从4名女同学 5名男同学中任选一名同学参加学科竞赛共5 4 9 种 方法 由分步乘法计数原理得从4名女同学 5名男同学中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛共4 5 20 种 方法 2 某地政府召集5家企业的负责人开会 已知甲企业有2人到会 其余4家企业各有1人到会 会上有3人发言 则这3人来自3家不同企业的可能情况为多少种 解析 分两类 第一类是甲企业有1人发言 有2种情况 另2个发言人来自其余4家企业 有6种情况 根据分步乘法计数原理可得共有2 6 12 种 情况 另一类是3人全来自其余4家企业 共有4种情况 根据分类加法计数原理可得共有12 4 16 种 情况 补偿训练 某小组有10人 每人至少会英语和法语中的一门 其中8人会英语 5人会法语 1 从中任选一个会外语的人 有多少种选法 2 从中选出会英语与会法语的各1人 有多少种不同的选法 解析 由于8 5 13 10 所以10人中必有3人既会英语又会法语 5人只会英语 2人只会法语 1 可分类完成此事 一类是只会英语 一类是既会英语也会法语 一类是只会法语 共有5 3 2 10 种 2 分4类 共有N 5 2 5 3 2 3 3 2 37 种 方法 易错误区 分不清是分类还是分步而导致错误 典例 体育场南侧有4个大门 北侧有3个大门 某人到该体育场晨练 则他进 出门的方案有 A 12种B 7种C 14种D 49种 解析 选D 要完成进 出门这件事 需要分两步 第一步进体育场 第二步出体育场 第一步进门有4 3 7种方法 第二步出门也有4 3 7种方法 由分步乘法计数原理知进 出门的方案有7 7 49种 常见误区 防范措施 明确 分类 与 分步 分类 是其中任何一类中的任何一种方法均可独立完成所给事情 而 分步 必须是把各个步骤均完成才能完成所给事情 在解题过程中要能高效地得到正确结论必须将要计的数准确进行 分类 或是 分步 如本例是 分步 而非 分类 问题 类题试解 2014 台州高二检测 给一些书编号 准备用3个字符 其中首字符用A B 后两个字符用a b c 允许重复 则不同编号的书共有 A 8本B 9本C 12本D 18本 解析 选D 需分三步完成 第一步首字符有2种编法 第二步 第二个字符有3种编法 第三步 第三个字符有3种编法 故由分步乘法计数原理知不同编号共有2 3 3 18种