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2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.4函数yAsin(x)的图象及应用学案文 知识梳理1“五点法”作函数yAsin(x)(A0，0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示 (2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到yAsin(x)在一个周期内的图象(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得yAsin(x)在R上的图象2函数ysinx的图象经变换得到yAsin(x)(A0，0)的图象的步骤如下：诊断自测1概念思辨(1)将函数y3sin2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y3sin.()(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致()(3)函数yAcos(x)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的()答案(1)(2)(3)(4) 2教材衍化(1)(必修A4P57T1)为了得到函数ysin的图象，只需把函数ysin2x的图象上所有的点()A向左平行移动个单位长度B向右平行移动个单位长度C向左平行移动个单位长度D向右平行移动个单位长度答案D解析ysin可变形为ysin，所以将ysin2x的图象向右平行移动个单位长度即可故选D.(2)(必修A4P70T18)函数f(x)sinxcosxcos2x的最小正周期和振幅分别是()A，1 B，2 C2，1 D2，2答案A解析由f(x)sinxcosxcos2xsin2xcos2xsin，得最小正周期为，振幅为1.故选A.3小题热身(1)(xx柳州模拟)若函数ysin(x)(0)的部分图象如图，则()A5 B4C3 D2答案B解析由图象可知，x0x0，即T，故4.故选B.(2)(xx成都检测)为了得到函数ysin(x1)的图象，只需把函数ysinx的图象上所有的点向_平移_个单位长度为了得到函数ysin(2x1)的图象，只需把函数ysin2x的图象上所有的点向_平移_个单位长度答案左1左题型1函数yAsin(x)的图象(xx湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将yf(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到yg(x)的图象若yg(x)图象的一个对称中心为，求的最小值用五点法解(1)根据表中已知数据，解得A5，2，.数据补全如下表：且函数表达式为f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5sin，得g(x)5sin.因为ysinx的对称中心为(k，0)，kZ.令2x2k，kZ，解得x，kZ.由于函数yg(x)的图象关于点成中心对称，令，kZ，解得，kZ.由0可知，当k1时，取得最小值.条件探究将本典例中的条件变为(1)求x1，x2，x3的值及函数f(x)的表达式；(2)将函数f(x)的图象向右平移(0)个单位，可得到函数g(x)的图象若yg(x)的图象的一条对称轴方程为x，求的最小值解(1)由0，可得，.由x1，x2，x32，可得x1，x2，x3.由Asin2，得A2，所以f(x)2sin.(2)f(x)2sin的一条对称轴为x，.方法技巧函数yAsin(x)(A0，0)图象的作法1五点法：用“五点法”作yAsin(x)的简图如典例2图象变换法：由函数ysinx的图象通过变换得到yAsin(x)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”如条件探究冲关针对训练(xx济南模拟)设函数f(x)sinxcosx(0)的周期为.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f(x)的图象可由ysinx的图象经过怎样的变换而得到的解(1)f(x)sinxcosx22sin，又T，即2.f(x)2sin.函数f(x)sinxcosx的振幅为2，初相为.(2)令X2x，则y2sin2sinX.列表，并描点画出图象：(3)把ysinx的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到ysin的图象；再把ysin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin的图象；最后把ysin2x上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y2sin的图象.题型2函数yAsin(x)的图象与性质的综合应用角度1由函数图象及性质求解析式函数f(x)2sin(x)的部分图象如图所示，求函数f(x)的解析式可确定T求，代值求.解由题中图象可知TTT，则2.又图象过点，则f22sin2sin1.，.函数f(x)2sin.角度2函数图象与性质的综合 (xx全国卷)函数f(x)cos(x)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ根据局部单调性，结合周期确定单调区间答案D解析由题图可知1，所以T2.结合题图可知，在(f(x)的一个周期)内，函数f(x)的单调递减区间为.由f(x)是以2为周期的周期函数可知，f(x)的单调递减区间为，kZ.故选D.角度3图象变换与性质的综合 (xx滨州模拟)已知向量a(m，cos2x)，b(sin2x，n)，函数f(x)ab，且yf(x)的图象过点和点.(1)求m，n的值；(2)将yf(x)的图象向左平移(0)个单位后得到函数yg(x)的图象，若yg(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求yg(x)的单调递增区间本题用方程组法解(1)由题意知f(x)abmsin2xncos2x.因为yf(x)的图象过点和，所以即解得m，n1.(2)由(1)知f(x)sin2xcos2x2sin.由题意知g(x)f(x)2sin.设yg(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2)，由题意知x11，所以x00，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)将其代入yg(x)，得sin1，因为00，0)的方法1求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则A，B.2求，已知函数的周期T，则.3求，常用方法有：(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，B已知)，或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是下降区间)(2)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口冲关针对训练1(xx河南洛阳统考)函数f(x)2sin(x)的部分图象如图所示，已知图象经过点A(0,1)，B，则f(x)_.答案2sin解析由已知得，T，又T，3.f(0)1，sin，又00，2.(2)Q(x0，y0)是PA的中点，点A，y0，点P的坐标为(2x0，.又点P在y2cos的图象上，且x0，2cos，4x0，从而得4x0或4x0，解得x0或.1.(xx全国卷)已知曲线C1：ycosx，C2：ysin，则下面结论正确的是()A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2答案D解析C2：ysinsincoscos，根据三角函数图象变换的规律，可得D正确故选D.2(xx全国卷)若将函数y2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为()Ax(kZ) Bx(kZ)Cx(kZ) Dx(kZ)答案B解析将函数y2sin2x的图象向左平移个单位长度得到函数y2sin2sin的图象，由2xk(kZ)，可得x(kZ)则平移后图象的对称轴为x(kZ)故选B.3(xx山东日照一模)函数f(x)Acos(x)(A0，0，0)的部分图象如图所示，为了得到g(x)Asinx的图象，只需将函数yf(x)的图象()A向左平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向右平移个单位长度答案B解析由题图知A2，T，2，f(x)2cos(2x)，将代入得cos1，0，0，f(x)2cos2sin，故将函数yf(x)的图象向左平移个单位长度可得到g(x)的图象故选B.4(xx湖北七市联考)函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，若x1，x2，x1x2且f(x1)f(x2)，则f(x1x2)()A1 B. C. D.答案D解析由题图知A1，函数f(x)的最小正周期T2，所以，即2，所以f(x)sin(2x)，又因为点在图象的上升段上，所以2k(kZ)，所以2k(kZ)，又|0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则的值可以是()A. B. C. D.答案B解析因为函数f(x)的图象过点P，所以，所以f(x)sin.又函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数g(x)sin的图象，所以sin，所以可以为.故选B.5(xx湖北调研)如图所示，某地一天614时的温度变化曲线近似满足函数yAsin(x)b的图象，则这段曲线的函数解析式可以为()Ay10sin20，x6,14By10sin20，x6,14Cy10sin20，x6,14Dy10sin20，x6,14答案A解析由三角函数的图象可知，b20，A10，1468T16，则y10sin20，将(6,10)代入得10sin2010sin12k(kZ)取k0，得.故选A.6(xx安徽高考)已知函数f(x)Asin(x)(A，均为正的常数)的最小正周期为，当x时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是()Af(2)f(2)f(0) Bf(0)f(2)f(2)Cf(2)f(0)f(2) Df(2)f(0)，且2，2，0，f(2)f(2)f(0)，即f(2)f(2)0)在一个周期内的图象如图所示，要得到函数ysin的图象，则需将函数ysinx的图象向_平移_个单位长度答案左解析由图象知函数ysinx的周期为T4，故ysinx.又ysinsin，将函数ysinx的图象向左平移个单位长度，即可得到函数ysin的图象12(xx河南一模)将函数f(x)2cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是_答案解析将函数f(x)2cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，得g(x)2cos2cos，由2k2x2k，得kxk，kZ.当k0时，函数的增区间为，当k1时，函数的增区间为.要使函数g(x)在区间和上均单调递增，则解得a.13(xx三明一模) 已知函数f(x)Mcos(x)(M0，0,0)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，ACBC，C90，则f的值为_答案解析依题意，知ABC是直角边长为的等腰直角三角形，因此其边AB上的高是，函数f(x)的最小正周期是2，故M，2，f(x)cos(x)又函数f(x)是奇函数，于是有k，kZ.由00)个单位得到一个偶函数的图象，则实数m的最小值为_答案解析函数f(x)的图象关于点对称，2k(kZ)，解得k，kZ.f(x)cos，kZ.f(x)的图象向右平移m个单位得到函数ycos(kZ)为偶函数，x0为其对称轴，即2mkk1(kZ，k1Z)，m(kZ，k1Z)，m0，m的最小正值为，此时kk11，kZ，k1Z.三、解答题15(xx九原期末)已知函数f(x)3sin3.(1)指出f(x)的最小正周期，并用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；(2)求f(x)在0,4上的单调区间；并求出f(x)在0,4上最大值及其对应x的取值集合；(3)说明此函数图象是由ysinx在0,2上的图象经怎样的变换得到的解(1)f(x)的最小正周期为周期T4，列表如下(2)增区间为和；减区间为；f(x)在0,4上的最大值为6，此时x的取值集合为；(3)由ysinx的图象上各点向左平移个长度单位，得ysin的图象；由ysin的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得ysin的图象；由ysin的图象上各点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，得y3sin的图象；由y3sin的图象上各点向上平移3个长度单位，得y3sin3的图象16(xx绵阳模拟)已知函数f(x)sin(x)b相邻两对称轴间的距离为，若将f(x)的图象先向左平移个单位，再向下平移1个单位，所得的函数g(x)的为奇函数(1)求f(x)的解析式，并求f(x)的对称中心；(2)若关于x的方程3g(x)2mg(x)20在区间上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围解(1)由题意可得，2，f(x)sin(2x)b，g(x)sinb1sinb1.再结合函数g(x)的为奇函数，可得k，kZ，且b10，再根据0，则满足h(1)3m20，或求得m5或m2.
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