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山东省泰安市2019届高三一轮复习质量检测数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合，0，1，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用交集概念求解即可。【详解】集合A表示到0的所有实数，集合B表示5个整数的集合，AB=1,0，故选：C【点睛】本题主要考查了交集运算，属于基础题2.若复数(2-i)(a+i)的实部与虚部互为相反数，则实数a=(A. 3B. 13C. -13D. -3【答案】D【解析】【分析】利用复数乘法的运算法则化简复数(2-i)(a+i)，然后利用复数的实部与虚部的和为零，列方程求解即可.【详解】因为(2-i)(a+i)=2a+2i-ai+1=2a+1+(2-a)i,且复数(2-i)(a+i)的实部与虚部互为相反数，所以，2a+1+2-a=0，解得a=-3，故选D.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘法/除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲，乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，已知甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x-y的值为A. 2B. -2C. 3D. -3【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x、y的值【详解】解：根据茎叶图中的数据，得；甲班5名同学成绩的平均数为15(72+77+80+x+86+90)=81，解得x=0；又乙班5名同学的中位数为73，则y=3；x-y=0-3=-3故选：D【点睛】本题考查了平均数与中位数的概念与应用问题，是基础题4.从抛物线y2=4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，从且|PM|=4，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为A. 33B. 32C. 3D. 23【答案】C【解析】【分析】先设出P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用斜率公式求得答案【详解】解：设P(x0,y0)，依题意可知抛物线准线x=-1，x0=4-1=3，y0=23，P(3,23)，F(1,0)直线PF的斜率为k=233-1=3，故选：C【点睛】本题主要考查了抛物线的应用、直线斜率解题的关键是灵活利用了抛物线的定义5.如图是一个算法流程图，若输入n的值是13，输出S的值是46，则a的取值范围是A. 9a10B. 9a10C. 10a11D. 8a9【答案】B【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出S=46，即可得到输出条件.详解：输入n=13,S=0，第一次循环S=13,n=12；第二次循环S=25,n=11；第三次循环S=36,n=10；第四次循环S=46,n=9，输出S=46，此时应满足退出循环的条件，故a的取值范围是90,0,|2)的部分图象如图所示，为了得到y=sin2x的图象，只需将f(x)的图象A. 向右平移3个单位B. 向右平移6个单位C. 向左平移3个单位D. 向左平移6个单位【答案】B【解析】试题分析：由图象知A=1，T4=7123T=，2=2，f(712)=1 2712+=32+2k，|5log2(8-x),x5,则f(2019)等于A. 2B. log26C. log27D. 3【答案】A【解析】【分析】利用已知推导出f(2019)=f(4)，由此能求出结果【详解】解：函数f(x)=f(x-5),x5log2(8-x),x5，f(2019)=f(4)=log24=2故选：A【点睛】本题考查函数值值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题10.在ABC中，三边长分别为a,a+2，a+4，最小角的余弦值为1314，则这个三角形的面积为A. 1543B. 154C. 2143D. 3543【答案】A【解析】【分析】设最小角为，故对应的边长为a，然后利用余弦定理化简求解即可得a的值，再由三角形面积公式求解即可【详解】设最小角为，故对应的边长为a，则cos=(a+4)2+(a+2)2-a22(a+4)(a+2)=a2+12a+202a2+12a+16=1314，解得a3最小角的余弦值为1314，sin=1-cos2=1-(1314)2=3314SABC=12(a+4)(a+2)sin=12353314=1534故选：A【点睛】本题考查余弦定理，考查三角形面积公式的应用，是基础题11.在直三棱柱ABC-A1B1C1，BCA=90，M,N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=AC=CC1=1，则AN与BM所成角的余弦值为A. 110B. 22C. 25D. 3010【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系后写出点的坐标和向量的坐标，再利用空间向量的夹角公式即可求解【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：则A(1,0，0)，B(0,1，0)，N(12,0，1)，M12,12,1，AN=(-12,0，1)，BM=12,-12,1，cos=ANBMANBM=-1212+114+0+114+14+1=345262=3010故选：D【点睛】本题考查了异面直线及其所成的角，考查了利用空间向量求异面直线的夹角，属于中档题12.已知函数f(x)=|x2-2x-1|-t有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，则2(x4-x1)+(x3-x2)的取值范围是A. (8,45B. (8,62)C. (62,45D. (62,45)【答案】A【解析】【分析】作出y=x22x1的图象，利用x22x1=t有4个不同的根，结合根与系数之间的关系，用t表示x1+x4，x1x4，x2+x3，x2x3，求出2x4x1+x3x2的表达式，构造函数，研究函数的单调性和取值范围即可【详解】由fx=x22x1t=0得x22x1=t，作出y=x22x1的图象如图，要使fx有四个不同的零点，则0t0得22+t12t0，得22+t12t，平方得42+t12t得84t2+t，得5t6，即0t65，此时ht为增函数，由ht0得65t2，此时ht为减函数，故当t=65时，ht取得极大值h65=42+65+2265=4165+245=1655+455=45，h0=62，h2=8，则80,b0)的左焦点为F,A,B，分别是C的左、右顶点，P为C上一点，且PFx 轴，过点A的直线与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线BM与y轴交于点N，若OE=2NO(O为坐标原点，则双曲线C的离心率为_【答案】3【解析】【分析】根据条件分别求出直线AE和BN的方程，求出N，E的坐标，利用|OE|=2|ON|的关系建立方程进行求解即可【详解】解：因为PFx轴，所以设M(-c,t)，则A(-a,0)，B(a,0)，AE的斜率k=ta-c，则AE的方程为y=ta-c(x+a)，令x=0，则y=taa-c，即E(0,taa-c)，BN的斜率为-ta+c，则BN的方程为y=-ta+c(x-a)，令x=0，则y=taa+c，即N(0,taa+c)，因为|OE|=2|ON|，所以2|taa+c|=|taa-c|，即2(c-a)=c+a，即c=3a，则离心率e=ca=3故答案为：3【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出直线方程和点N，E的坐标是解决本题的关键三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列an满足(a1+a2)+(a2+a3)+(an+an+1)=2n(n+1)(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)数列bn中，b1=1，b2=2，从数列an中取出第bn项记为cn，若cn是等比数列，求bn的前n项和Tn【答案】（1）an=2n-1；（2）3n-1+2n4【解析】【分析】1对n赋值为1,2，可得：a1+a2=4，a1+a2+a2+a3=12，设等差数列的公差为d，由通项公式解方程组可得首项和公差，即可得到所求通项公式；2分别求得c1，c2，可得公比，由等差数列和等比数列的通项公式可求得bn=121+3n1，再利用分组求和方法即可计算所求和【详解】1差数列an满足a1+a2+a2+a3+an+an+1=2nn+1nN*，可得a1+a2=4，a1+a2+a2+a3=12，设等差数列的公差为d，可得2a1+d=4，4a1+4d=12，解得a1=1，d=2，则an=1+2n1=2n1；2由题意可得c1=ab1=a1=1，c2=ab2=a2=3，可得数列cn的公比为3，cn=3n1，由cn=abn=2bn1，可得bn=121+3n1，bn的前n项和Tn=121+3+3n1+12n=1213n13+12n=3n1+2n4【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义和通项公式、分组求和公式的运用，考查了赋值法及方程思想，还考查化简运算能力，属于中档题18.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD平面ABCD，PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD是菱形，且BAD=60(1)证明：ADPB；(2)求平面PAD与平面PBC所成二面角的大小【答案】（1）证明见解析；（2）45.【解析】【分析】1取AD的中点E，连结PE，BE，BD，推导出ADBE，ADPE，从而AD平面PBE，由此能证明ADPB2EA，EB，EP两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系E-xyz，求出各点的坐标，再求出平面PBC的一个法向量n=(0,1，1)，利用向量法即可求出平面PAD与平面PBC所成二面角的大小【详解】证明：1取AD的中点E，连结PE， BE，BD，四边形ABCD是菱形，BAD=60，ABD是等边三角形，ADBE，同理，得ADPE，又PEBE=E，PE平面PBE，BE平面PBE，AD平面PBE，又PB平面PBE，ADPB2平面PAD平面ABCD，由1可知EA，EB，EP两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系E-xyz，如图，由题意得PD=PA=AD=2，则E(0,0，0)，B0,3,0，C-2,3,0，P(0,0，3)，EB=0,3,0，PB=0,3,-3，PC=-2,3,-3，设平面PBC的一个法向量n=(x,y，z)，由nPB=3y-3z=0nPC=-2x+3y-3z=0，取y=1，得n=(0,1，1)，由1得EB是平面PAD的一个法向量，cos=EBnEBn=22，EB,n=45，平面PAD与平面PBC所成二面角的大小为45【点睛】本题考查了线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=22，且经过点(-22,32)(1)求椭圆C的方程；(2)过点P(-2,0)且不与x轴重合的直线与椭圆C交于不同的两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，过右焦点F的直线AF,BF分别交椭圆C于点M,N，设AF=FM，BF=FN,R ,求+的取值范围【答案】（1）x22+y2=1（2）(6,10)【解析】【分析】(1)由题意可得ca=2212a2+34b2=1a2=b2+c2，解得a2=2，b2=1，即可求出椭圆方程，(2)设直线l的斜率为k，A(x1,y2)，B(x2,y2)，M(x3,y3)，则AF=(1-x1,-y1)，FM=(x3-1,y3)，分两种情况，求出直线AG的方程，联立直线与椭圆的方程，由根与系数的关系的分析可得+范围，即可得答案【详解】解：(1)由题意可得ca=2212a2+34b2=1a2=b2+c2，解得a2=2，b2=1，则椭圆方程为x22+y2=1，(2)设直线l的斜率为k，A(x1,y2)，B(x2,y2)，M(x3,y3)，则AF=(1-x1,-y1)，FM=(x3-1,y3)，由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，由AF=FM，可得-y1=ay3，则=-y1y3，当AM与x轴不垂直时，直线AM的方程为y=y1x1-1(x-1)，即x=(x1-1)y+y1y1，代入曲线C的方程又x22+y2=1，整理可得(3-2x1)y2+2y(x1-1)-y12=0，y1y3=-y123-2x1，=-y1y3=3-2x1，当AM与x轴垂直时，A点横坐标为x1=1，=1，显然a=3-2x1也成立，=3-2x1，同理可得=3-2x2，设直线l的方程为y=k(x+2)，(k0)，联立y=k(x+2)x22+y2=1，消去y整理得(2k2+1)x2+8k2x+8k2-2=0，由=(8k2)2-4(2k2+1)(8k2-2)0，解得0k20.5，所以学生甲与学生乙适合结为“对子”【点睛】本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题21.已知m0，函数f(x)=ex-mx，直线l:y=m(1)讨论f(x)的图象与直线的交点个数；(2)若函数f(x)的图象与直线l:y=m相交于M(x1,y1)，N(x2,y2)两点(x11【答案】（1）当0me2时，f(x)有两个交点；（2）证明见解析.【解析】【分析】1根据函数与方程的关系，设gx=exmx+m，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，结合极值与0的关系进行判断即可2构造函数x，求函数的导数，结合fx与l的交点坐标，进行证明即可【详解】1由題意，令gx=exmx+m，(m0)则gx=exm，令gx0，解得xlnm所以gx在lnm,+上单调递增，令gx0，解得x0，即0me2时，fx的图象与直线l无交点，当m2lnm=0，即m=e2时fx的图象与直线l只有一个交点当m2lnme2时fx的图象与直线l有两个交点综上所述，当0me2时fx的图象与直线l有两个交点2证明：令x=glnm+xglnmx=mexmex2mx，(x0)x=mex+ex2，ex+ex2exex=2，x0，即x在0,+上单调递增，x0=0，x0时，glnm+xglnmx恒成立，又0x1lnm0，glnm+lnmx1glnmlnm+x1，即g2lnmx1gx1，又gx1=gx2gx2lnm，x2lnm，y=gx在lnm,+上单调递增，x22lnmx1即x1+x22lnm,ex1+x2m2ex2mx2+m=0ex1mx1+m=0，ex1ex2=mx1mmx2m=m2x11x21，ex1+x2m2m2x11x21m2，即x11x211，则x1x2x1+x2+11，x1x2x1+x20，即x1x21成立【点睛】本题考查了函数与方程的关系，构造函数，求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性和极值是解决本题的关键综合性较强，考查转化能力及计算能力，难度较大22.在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为x=2+32ty=23+12t(为参数).曲线C的方程为x2-2x+y2=0.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线的普通方程与曲线C的极坐标方程；(2)直线m：x-y+23-2=0与直线交于点A，点B是曲线C上一点，求AOB面积的最大值【答案】（1）直线l的普通方程为x-3y+4=0，曲线C的极坐标方程为=2cos（2）Smax=2+3【解析】【分析】(1)用代入法消去t可得直线l的普通方程；利用x=cos，y=sin代入可得曲线C的极坐标方程；(2)先求得A(2,22)，再利用B的极径求出三角形的面积，再求最值【详解】解：(1)由x=2+32t得t=23(x-2)代入y=23+12t整理得x-3y+4=0，直线l的普通方程为x-3y+4=0，又y=sinx=cos，2cos2-2cos+2sin2=0，=2cos，曲线C的极坐标方程为=2cos，(2)由x-y+23-2=0x-3y+4=0得x=2y=23，A(2,23)，设B(,)，则=2cos，AOB的面积S=12|OA|OB|sinAOB=12|4sin(3-)|=|4cossin(3-)|=|2cos(2+6)+3|，Smax=2+3【点睛】此题主要考查曲线的参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与普通方程的互化，以及极坐标方程在求最值中的应用等方面的知识与运算能力，属于中档题型.23.已知函数f(x)=|x+1|-m|x-2|(mR)(1)当m=3时，求不等式f(x)1的解集；(2)当x-1,2时，不等式f(x)13【解析】【分析】1代入m的值，得到关于x的不等式组，解出即可；2问题转化为x+1m2xx2x=122x，令gx=122x，求出gx的最大值，求出m的范围即可【详解】解：1当m=3时，fx=x+13x2，由fx1，得2x71x11x2或2x+71x2，解得：32x2或2x3，故不等式的解集是32,3；2当x1,2时，fx=x+1m2x，fx2x+1恒成立，即x+1m2xx，当x=2时，02成立，当x1,2时，mx2x=122x，令gx=122x，1x2，013【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规题
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