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第二讲算法、复数、推理与证明考点一复数的概念与运算1复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可2复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”3复数运算中常见的结论(1)(1i)22i，i，i；(2)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i；(3)i4ni4n1i4n2i4n30.对点训练1(2018全国卷)设z2i，则|z|()A0 B C1 D解析z2i2ii，|z|1，故选C答案C2(2018安徽安庆二模)已知复数z满足：(2i)z1i，其中i是虚数单位，则z的共轭复数为()Ai BiCi Di解析由(2i)z1i，得zi，i.故选B答案B3(2018安徽马鞍山二模)已知复数z满足zi34i，则复数z在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析由zi34i，得z43i，复数z在复平面内对应的点的坐标为(4，3)，该点位于第四象限故选D答案D4(2018江西师大附中、临川一中联考)若复数z，为z的共轭复数，则()2017()Ai Bi C22017i D22017i解析由题意知zi，可得i，则()2017(i)4504(i)i.故选B答案B快速审题(1)看到题目的虚数单位i，想到i运算的周期性；看到z，想到公式z|z|2|2.(2)看到复数的除法，想到把分母实数化处理，即分子、分母同时乘以分母的共轭复数，再利用乘法法则化简复数问题的解题思路以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题考点二程序框图1当需要对研究的对象进行逻辑判断时，要使用条件结构，它是根据指定条件选择执行不同指令的控制结构2注意直到型循环和当型循环的本质区别：直到型循环是先执行再判断，直到满足条件才结束循环；当型循环是先判断再执行，若满足条件，则进入循环体，否则结束循环3循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等对点训练1执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是4，则常数a的值为()A4 B2 C D1解析S和n依次循环的结果如下：S，n2；S1，n4.所以12，a1.故选D答案D2若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的i的值为()A4 B5 C6 D7解析根据程序框图，程序执行中的数据变化如下：n12，i1；n6，i2；65；n3，i3；35；n10，i4；105；n5，i5；55成立，程序结束，输出i5.故选B答案B3(2018全国卷)为计算S1，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入()Aii1 Bii2Cii3 Dii4解析S1，当不满足判断框内的条件时，SNT，所以N1，T，所以空白框中应填入ii2.故选B答案B4执行如图所示的程序框图，输出的S的值是_解析由程序框图可知，n1，S0；Scos，n2；Scoscos，n3；Scoscoscoscos251coscoscos25100(1)01，n2015，输出S.答案1快速审题(1)看到循环结构，想到循环体的结构；看到判断框，想到程序什么时候开始和终止(2)看到根据程序框图判断程序执行的功能，想到依次执行n次循环体，根据结果判断(3)看到求输入的值，想到利用程序框图得出其算法功能，找出输出值与输入值之间的关系，逆推得输入值求解程序框图2类常考问题的解题技巧(1)程序框图的运行结果问题先要找出控制循环的变量及其初值、终值然后看循环体，若循环次数较少，可依次列出即可得到答案；若循环次数较多，可先循环几次，找出规律要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累和为限定条件的问题，需要逐次求出每次迭代的结果，并逐次判断是否满足终止条件(2)程序框图的填充问题最常见的是要求补充循环结构的判断条件，解决此类问题的方法是创造参数的判断条件为“in？”或“in？”，然后找出运算结果与条件的关系，反解出条件即可考点三推理与证明1归纳推理的思维过程2类比推理的思维过程对点训练1(2017全国卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则()A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩解析由题意可知，“甲看乙、丙的成绩，不知道自己的成绩”说明乙、丙两人是一个优秀一个良好，则乙看了丙的成绩，可以知道自己的成绩；丁看了甲的成绩，也可以知道自己的成绩故选D答案D2(2018山西孝义期末)我们知道：在平面内，点(x0，y0)到直线AxByC0的距离公式d，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x2y2z30的距离为()A3 B5 C D3解析类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(x0，y0，z0)到直线AxByCzD0的距离公式为d，则所求距离d5，故选B答案B3(2018安徽合肥模拟)聊斋志异中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2 ，3 ，4 ，5 ，则按照以上规律，若9 具有“穿墙术”，则n()A25 B48 C63 D80解析由2 ，3 ，4 ，5 ，可得若9 具有“穿墙术”，则n92180，故选D答案D快速审题看到由特殊到一般，想到归纳推理；看到由特殊到特殊，想到类比推理(1)破解归纳推理题的思维3步骤发现共性：通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)；检验，得结论：对所得的一般性命题进行检验，一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧(2)破解类比推理题的3个关键会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的猜想；会检验，即检验猜想的正确性要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力1(2018全国卷)()Ai BiCi Di解析i，故选D答案D2(2018浙江卷)复数(i为虚数单位)的共轭复数是()A1i B1iC1i D1i解析1i，的共轭复数为1i.答案B3(2018北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A B C D解析k1，s1；s1(1)11，k2,23；s(1)2，k3，此时跳出循环，输出.故选B答案B4(2018天津卷)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为()A1 B2 C3 D4解析第一次循环T1，i3；第二次循环T1，i4；第三次循环T2，i5，满足条件i5，结束循环故选B答案B5(2016全国卷)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2.”乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1.”丙说：“我的卡片上的数字之和不是5.”则甲的卡片上的数字是_解析由丙说的话可知丙的卡片上的数字一定不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则乙的卡片上的数字是2和3，甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则乙的卡片上的数字是2和3，此时，甲的卡片上的数字只能是1和2，不满足题意故甲的卡片上的数字是1和3.答案1和31.高考对复数的考查重点是其代数形式的四则运算(特别是乘、除法)，也涉及复数的概念及几何意义等知识，题目多出现在第13题的位置，难度较低，纯属送分题目2高考对算法的考查，每年平均有一道小题，一般出现在第69题的位置上，难度中等偏下，均考查程序框图，热点是循环结构和条件结构，有时综合性较强，其背景涉及数列、函数、数学文化等知识3在全国课标卷中很少直接考查“推理与证明”，特别是合情推理，而演绎推理，则主要体现在对问题的证明上热点课题2数学归纳法的应用 感悟体验已知数列an中，a11，an11，数列bn满足bn(nN*)(1)求数列bn的通项公式；(2)证明：7.解(1)由a11，得b1；由a11，得a20，b21；由a20，得a3，b3；由a3，得a4，b42，由此猜想bn.下面用数学归纳法加以证明：当n1时，b1符合通项公式bn；假设当nk(kN，k1)时猜想成立，即bk，ak1，那么当nk1时ak1，bk1，即nk1时猜想也能成立，综合可知，对任意的nN*都有bn.(2)证明：当n1时，左边47不等式成立；当n2时，左边4157不等式成立；当n3时，4，左边4145477，不等式成立专题跟踪训练(八)一、选择题1已知z12i，则复数的虚部是()A B Ci Di解析i，该复数的虚部为.故选B答案B2若复数z12i，则等于()A1 B1 Ci Di解析i.故选C答案C3已知z(i)i(i是虚数单位)，那么复数z对应的点位于复平面内的()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析z，z对应的点位于复平面内的第三象限故选C答案C4(2018大连模拟)下列推理是演绎推理的是()A由于f(x)ccosx满足f(x)f(x)对任意的xR都成立，推断f(x)ccosx为奇函数B由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜出数列an的前n项和的表达式C由圆x2y21的面积Sr2，推断：椭圆1的面积SabD由平面三角形的性质推测空间四面体的性质解析由特殊到一般的推理过程，符合归纳推理的定义；由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，符合类比推理的定义；由一般到特殊的推理符合演绎推理的定义A是演绎推理，B是归纳推理，C和D为类比推理，故选A答案A5(2018江西南昌三模)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x3，n2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s()A8 B17 C29 D83解析根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值模拟程序的运行过程：输入的x3，n2，当输入的a为2时，s2，k1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，s8，k2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，s29，k3，满足退出循环的条件故输出的s的值为29.故选C答案C6用反证法证明命题：“已知a，b是自然数，若ab3，则a，b中至少有一个不小于2”提出的假设应该是()Aa，b至少有两个不小于2Ba，b至少有一个不小于2Ca，b都小于2Da，b至少有一个小于2解析根据反证法可知提出的假设为“a，b都小于2”故选C答案C7(2018广东汕头一模)执行如图所示的程序框图，输出的结果是()A56 B54 C36 D64解析模拟程序的运行，可得：第1次循环，c2，S4，c20，a1，b2；第2次循环，c3，S7，c20，a2，b3；第3次循环，c5，S12，c20，a3，b5；第4次循环，c8，S20，c20，a5，b8；第5次循环，c13，S33，c20，退出循环，输出S的值为54.故选B答案B8(2018广东茂名一模)执行如图所示的程序框图，那么输出的S值是()A B1 C2008 D2解析模拟程序的运行，可知S2，k0；S1，k1；S，k2；S2，k3；，可见S的值每3个一循环，易知k2008对应的S值是第2009个，又200936692，输出的S值是1，故选B答案B9(2018湖南长沙模拟)如图，给出的是计算1的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是()Ai100，nn1 Bi34，nn3 Di34，nn3解析算法的功能是计算1的值，易知1,4,7，100成等差数列，公差为3，所以执行框中(2)处应为nn3，令1(i1)3100，解得i34，终止程序运行的i值为35，判断框内(1)处应为i34，故选C答案C10(2018武汉调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是()A甲 B乙 C丙 D丁解析由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯答案B11(2018昆明七校调研)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出S的值为1，则判断框内为()Ai6? Bi5?Ci3? Di4?解析依题意，执行程序框图，进行第一次循环时，S1(31)13，i112；进行第二次循环时，S3(32)14，i213；进行第三次循环时，S4(33)11，i4，因此当输出的S的值为1时，判断框内为“i4？”，选D答案D12(2018吉林一模)祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等现有以下四个几何体：图是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图、图、图分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为()A BC D解析设截面与底面的距离为h，则中截面内圆的半径为h，则截面圆环的面积为(R2h2)；中截面圆的半径为Rh，则截面圆的面积为(Rh)2；中截面圆的半径为R，则截面圆的面积为(R)2；中截面圆的半径为，则截面圆的面积为(R2h2)所以中截面的面积相等，故其体积相等，选D答案D二、填空题13i是虚数单位，若复数(12i)(ai)是纯虚数，则实数a的值为_解析(12i)(ai)2a(12a)i为纯虚数，解得a2.答案214如图是一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第16行从左到右的第2个数为_解析前15行共有120(个)数，故所求的数为a122.答案15(2018河南三市联考)执行如图所示的程序框图，如果输入m30，n18，则输出的m的值为_解析如果输入m30，n18，第一次执行循环体后，r12，m18，n12，不满足输出条件；第二次执行循环体后，r6，m12，n6，不满足输出条件；第三次执行循环体后，r0，m6，n0，满足输出条件，故输出的m值为6.答案616“求方程xx1的解”，有如下解题思路：设f(x)xx，则f(x)在R上单调递减，且f(2)1，所以原方程有唯一解x2，类比上述解题思路，可得不等式x6(x2)(x2)3x2的解集是_解析因为x6(x2)(x2)3x2，所以x6x2(x2)3(x2)，所以(x2)3x2(x2)3(x2)令f(x)x3x，所以不等式可转化为f(x2)f(x2)因为f(x)在R上单调递增，所以x2x2，解得x2.故原不等式的解集为(，1)(2，)答案(，1)(2，)
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