2019-2020年高考数学核心考点90天突破 专题5 平面向量.doc

2019-2020年高考数学核心考点90天突破 专题5 平面向量【考点定位】xx考纲解读和近几年考点分布xx考纲解读近几年考点分布平面向量在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用平面向量的考查要求：第一，主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，考查学生掌握平面向量的和、差、数乘和数量积的运算法则，理解其直观的几何意义，并能正确地进行运算；第二，考察向量的坐标表示，及坐标形势下的向量的线性运算；第三，经常和函数、曲线、数列等知识结合，考察综合运用知识能力在近几年的高考中，每年都有两道题目其中小题以填空题或选择题形式出现，考查了向量的性质和运算法则，数乘、数量积、共线问题与轨迹问题大题则以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题【考点pk】名师考点透析考点一、向量的概念、向量的基本定理例1、如图，平面内有三个向量、,其中与与的夹角为120，与的夹角为30,且|1，| ，若+（，R）,则+的值为 .解：过C作与的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角BOC=90角AOC=30，=得平行四边形的边长为2和4，2+4=6【名师点睛】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量有且只有一对实数1、2，使=1+2. 注意：若和是同一平面内的两个不共线向量本题考查平面向量的基本定理，向量OC用向量OA与向量OB作为基底表示出来后，求相应的系数，也考查了平行四边形法则。考点二、向量的运算例2、已知平面向量，且，则=（ ） A（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）解：由，得m4，所以，（2，4）（6，12）（4，8），故选（C）。【名师点睛】掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。例3、已知平面向量=（1，3），=（4，2），与垂直，则是（ ）A. 1 B. 1C. 2D. 2解：由于，即，选【名师点睛】本题考查简单的向量运算及向量垂直的坐标运算，注意不要出现运算出错，因为这是一道基础题，要争取满分。例4、已知向量和的夹角为，则解：=，7【名师点睛】向量的模、向量的数量积的运算是经常考查的内容，难度不大，只要细心，运算不要出现错误即可。考点三、向量与三角函数的综合问题例5、已知向量 ,函数(1)求的最小正周期; (2)当时, 若求的值解：(1) . 所以，T. (2) 由得 【名师点睛】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点.例6、在中，角的对边分别为（1）求；（2）若，且，求解：（1）又 解得，是锐角（2）由， ，又【名师点睛】本题向量与解三角形的内容相结合，考查向量的数量积，余弦定理等内容。考点四、平面向量与函数问题的交汇例7已知向量(cosx，sinx)，()，且x0，（1）求（2）设函数+，求函数的最值及相应的的值。解：（I）由已知条件： ， 得： （2） 因为：，所以：所以，只有当： 时， ，或时，【名师点睛】本题考查向量、三角函数、二次函数的知识，经过配方后，变成开口向下的二次函数图象，要注意sinx的取值范围，否则容易搞错。平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。考点OxACBayACBaQP五、平面向量在平面几何中的应用例8如图在RtABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以A为中点，问与的夹角取何值时， 的值最大？并求出这个最大值。 解：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系。设|AB|=c，|AC|=b，则A（0，0），B（c，0），C（0，b）.且|PQ|=2a，|BC|=a.设点P的坐标为（x，y），则Q（-x，-y），cx-by=a2cos.=- a2+ a2cos.故当cos=1，即=0（方向相同）时，的值最大，其最大值为0.【名师点睛】本题主要考查向量的概念，运算法则及函数的有关知识，平面向量与几何问题的融合。考查学生运用向量知识解决综合问题的能力。向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起因此，许多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决【金题热身】11年高考试题及解析1、（四川文7理4）.如图，正六边形ABCDEF中，=(A)0 (B) (C) (D)答案：D解析：.2、（福建文 13.） 若向量=（1,1）， （-1,2），则_.【解析】因为向量=（1,1），（-1,2），所以3（江苏10）、已知是夹角为的两个单位向量， 若，则k的值为 。答案：解析：考察向量的数量积及其相关的运算，中档题。由得：4（广东文3）已知向量，若为实数，则= （ ）A B C D【解析】， 所以选B.5（广东理3）若向量a，b，c满足ab且ac，则c(a+2b)=（ ） A4 B3 C2 D0【解析】当时，显然；当时， ，所以选D.6（全国文3）设向量满足|=|=1, ,则（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】故选B7（课标文13）.已知向量为不共线的单位向量，如果垂直，那么 解析：由于垂直，又不共线，所以，点评：此题考查平面向量的概念、运算、性质，要熟练掌握。8（湖北文2）若向量，则与的夹角等于A.B.C.D. 解析：因为,设其夹角为r，故，即，所以选C.9（辽宁文 3）已知向量a=（2,1），b=（-1，k），a（2a-b）=0，则k=（ ）（A）-12 （B）-6 （C）6 （D）12解析：由题意，得2a-b =（5，2-k），a（2a-b）=25+2-k=0，所以k=12. 答案： D10（湖南文130设向量满足且的方向相反，则的坐标为 解析：由题，所以11（安徽文14、理13）已知向量a，b满足且，则a与b的夹角为 .【命题意图】本题考查向量的数量积，考查向量夹角的求法.属中等难度的题.【解析】，则，即，所以，所以.12（江西文11）已知两个单位向量，的夹角为，若向量，则=_.【答案】-6【解析】要求*，只需将题目已知条件带入，得：*=（-2）*（3+4）=其中=1，=1*1*=，带入，原式=3*12*8*1=6.13（江西理11）.已知,=-2，则与的夹角为 【解析】设与的夹角为,则=,解得,即,所以,故与的夹角为.14（重庆文5）已知向量共线，那么的值为A1 B2 C3 D4【命题意图】本题考查向量共线的充要条件、向量数量积的计算，是简单题.【解析】=(3,) 与 解得=1=4故选D.15（北京文11、理10）已知向量。若与，共线，则= . 【解析】：由与共线得16（重庆理12）已知单位向量的夹角为，则 解析： 17（湖南理14）.在边长为1的正三角形ABC中，设则 .解析：设则且，所以=，故填18（福建理15）.设V是全体平面向量构成的集合，若映射满足：对任意向量以及任意R，均有则称映射具有性质P。现先给出如下映射： 其中，具有性质P的映射的序号为_。（写出所有具有性质P的映射的序号）【答案】 【解析】：，：，则 故正确：，则 故正确19（浙江文15、理140若平面向量、满足，且以向量、为邻边的平行四边形的面积为，则、的夹角取值范围是 。【解析】：，又20（辽宁理10）若、均为单位向量，且=0，（）（）0，则的最大值为（A） （B）1 （C） （D）2解析：由=0，（）（）0，得-2=-1，2+ 2+ 2+2-2-2=3+2（-）3-2=1，故的最小值为1.21（课标卷理10）. 已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题 其中的真命题是（A） （B） （C） （D）解析：由可得，故选D点评：该题考查平面向量的的概念、数量积运算以及三角函数值与角的取值范围，要熟练把握概念及运算。22（山东文、理12）设，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 (R)，(R)，且,则称，调和分割， ,已知点C(c，o),D(d，O)(c，dR)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是(A)C可能是线段AB的中点 (B)D可能是线段AB的中点(C)C，D可能同时在线段AB上 (D) C，D不可能同时在线段AB的延长线上【解析】由 (R)，(R)知:四点，在同一条直线上,因为C,D调和分割点A,B,所以A,B,C,D四点在同一直线上,且, 故选D.23（全国理12）设向量满足|=|=1, ,，=，则的最大值等于 (A)2 (B) (c) (D)1【答案】A【解析】如图，构造, , ,，所以四点共圆，可知当线段为直径时，最大，最大值为2.24（天津文、理14）.已知直角梯形ABCD中,ADBC,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则的最小值为 .【答案】5【解析】画出图形,容易得结果为5.【核心突破】 xx年模拟试题及答案1（xx北京朝阳区期末）在中，是的中点，点在上且满足，则等于 (A) （A） （B） （C） (D) 2（xx北京丰台区期末）如果向量与共线且方向相反，那么的值为（A）A-3 B2 C D3. （xx西城期末）已知点，点，向量，若，则实数的值为(C)（A）5 （B）6 （C）7 （D）84. （xx巢湖一检）在中，,则的面积是(A)A. B. C. D.15. (xx东莞期末)如图， 已知点在上，用和来表示向量，则等于.6（xx佛山一检）已知向量，则向量的夹角的余弦值为(C)A B C DABCDNM7（ xx广东广雅中学期末）如图，在正方形ABCD中，已知AB2，M为BC的中点，若N 为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值为6 8（xx哈尔滨期末）已知，则与夹角的取值范围是（ C ）A B C D9（xx杭州质检）已知a，b是平面内的两个单位向量，设向量c=b，且|c|1，a（b-c）=0，则实数的取值范围是 （ 1，1） 10(xx湖北八校一联)如图，在，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（ C ）ABCD11（xx湖北重点中学二联）已知A、B、C是= 。12、（xx淮南一模）已知点是的重心，( , )，若，则的最小值是（ C ）A B C D 13(xx黄冈期末)在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记、 分别为a、b，则=（ B ）Aab Ba+b Ca+b Dab 14. (xx惠州三调)已知ABC中，点A、B、C的坐标依次是A(2，1)，B(3,2)，C(3，1)，BC边上的高为AD，则的坐标是：_(-1,2)_ 【解析】设D(x，y)，则， ，得，所以.答案：(1,2)15（xx金华十二校一联）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（ D ）A向左平移1个单位长度 B向右平移1个单位长度C向上平移1个单位长度 D向下平移1个单位长度16（xx金华十二校一联）已知为的外心，则=（ B ）A18 B10 C-18 D-1017（xx金华十二校一联）已知向量，如果，则 8(xx南昌期末)已知为坐标原点，点，若满足不等式组，则 的最大值为_12_.19、 (xx日照一调)若是夹角为的单位向量，且=2，=,则ab等于( C )(A)1 (B)4 (C) (D)20、(xx日照一调)已知O是所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么( A )(A) (B) (C) (D)第11题图PADCMB21、 （xx三明三校二月联考）如图，平行四边形的两条对角线相交于点，点是的中点. 若， ，且，则 . 22、(xx汕头期末)已知方程，其中、是非零向量，且、不共线，则该方程( )A至多有一个解 B至少有一个解C至多有两个解 D可能有无数个解解：由于，不共线，所以，则；23. （xx上海普陀区高三期末）设平面向量，则 -4 .24. （xx泰安高三期末）在ABC中，AB=2，AC=1，=，则的值为 ( C )A.- B. C.- D. 25. （xx泰安高三期末）已知A(1,2)，B(3,4)，C(-2,2)，D(-3,5)，则向量在向量上的投影为 .26（xx中山期末）已知向量，向量，且，则x = （C）A1B5C6D927. （xx苏北四市二调）设是单位向量，且，则向量的夹角等于 28（ xx温州八校联考）已知为内一点，若对任意，恒有则一定是（A ）A直角三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D不能确定29（ xx温州八校联考）如图，在正方形ABCD中，已知AB2，M为BC的中点，若N为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值为630、（xx温州十校高三期末）在ABC中，其面积，则夹角的取值范围是 31. （xx烟台一调）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，( C )A.（2，4）B.（3，5）C.（3，5）D.（2，4）32. （xx烟台一调）在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为2，则的值为_4_33（xx镇江高三期末）若,若，则向量与的夹角为 .34（xx镇江高三期末）直角三角形中，斜边长为2，是平面内一点，点满足,则= 1 .35（xx镇江高三期末）已知向量，,，为正实数.(1) 若，求的值;(2) 若，求的值;(3) 当时，若,求的最小值.36（本题满分14分）已知向量a=，b=，设m=a+tb（t为实数）（1）若，求当|m|取最小值时实数t的值；（2）若ab，问：是否存在实数t，使得向量a-b和向量m的夹角为，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由解：（1）因为a=，b =（），则=所以当时，取到最小值，最小值为 7分（2）由条件得cos45=，又因为=,=,，则有=，且，整理得，所以存在=满足条件xx年模拟试题及答案一、选择题：1（福建宁德四县市一中xx年4月高三第一次联考理）的三个内角的对边分别为，已知，向量， 。若，则角的大小为（）ABCD【答案】 【解析】由，故2(福建省石狮石光华侨联合中学xx届高中毕业班5月份高考模拟理科)已知向量，若，则实数的值为( D )A-3 B2 C4 D-63(福建省石狮石光华侨联合中学xx届高中毕业班5月份高考模拟文科)已知向量(，0)，(，)，(cos，sin)(R)，则与夹角的取值范围是 （ B ）A B C D4（福建省宁德三县市一中xx年4月高三第二次联考文）若 的夹角为 ，则（ B ） A B C D 5（福建省福州市xx年3月高中毕业班质量检查理科）如图为互相垂直的单位向量，向量可表示为 （ C ）A B C D6（泉州市xx年3月高三质量检查文科试题）已知向量，若则 DABC1D37(福建省厦门市xx年3月高三质量检查理）已知向量，则函数的最小正周期是（ B ）ABCD8（福建省莆田市xx年高中毕业班教学质量检查理）已知a、b、c为非零的共面向量，,则是的（A ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分且必要条件 D既不充分又不必要条件9（福建省莆田市xx年高中毕业班教学质量检查文）若、是两个非零向量，则是的（C ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分且必要条件 D既不充分又不必要条件10（福建省龙岩市xx年高中毕业班第一次质量检查理）设向量，若是实数，则的最小值为BA. B. C. 1D. 11（福建省龙岩市xx年高中毕业班第一次质量检查文）已知向量a，b，向量c满足（cb）a，（ca）/b，则c A.A. B. C. D. 1.12（池州市七校元旦调研）设、是单位向量，且0，则的最小值为 ( )（A） （B） （C） (D)答案 D解: 是单位向量 故选D.13（肥城市第二次联考）（天津市武清区xxxx学年高三下学期第一次模拟文）已知非零向量、，若+2与-2互相垂直，则等于（ B ）A B2 C D414（马鞍山学业水平测试）已知向量与向量平行,则x,y的值分别是 A. 6和-10 B. 6和10 C. 6和-10 D. 6和10答案 A15（肥城市第二次联考）自圆x2+y22x4y+4=0外一点P（0，4）向圆引两条切线，切点分别为A、B，则等于( )(A) (B) (C) (D)答案 A解析：设、的夹角为，则切线长，结合圆的对称性，所以=。16（马鞍山学业水平测试）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若,， 则下列向量中与相等的向量是A B C D答案 D17（天津市六校xx届高三第三次联考理科）已知点，O为坐标原点，点P（x，y）的坐标x，y满足则向量方向上的投影的取值范围是（ B ）AB-3，3CD18（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）已知，则向量在向量方向上的投影是（ ）A B C D答案A 19 （三明市三校联考）若是夹角为的单位向量，且,，则 （ ）A.1 B. C. D. 答案C 20（昆明一中三次月考理）已知向量，实数m，n满足，则的最大值为A2 B3C4 D16答案：D二、填空题：1(福建省石狮石光华侨联合中学xx届高中毕业班5月份高考模拟文科)若平面向量，则满足的向量共有 个。22（安庆市四校元旦联考）已知圆和直线交于A,B两点,O是坐标原点, 若,则 . 答案 3（祥云一中三次月考理）若向量，满足且与的夹角为，则= 答案： 4(天津十二区县重点中学xx年高三联考一理)在中，为边上的点，且，若，则 25（天津市武清区xxxx学年高三下学期第一次模拟理）已知非零向量、，满足，且+2与-2的夹角为1200，则等于 6（天津市六校xx届高三第三次联考文科）设点P为的重心，若AB=2，AC=4，则= .47（天津市天津一中xx届高三第四次月考理科）在棱长为2的正方体中,正方形所在平面内的动点到直线的距离之和为,则有最大值 8（天津市天津一中xx届高三第四次月考文科）如图，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是_【核心预测】 一、选择题1向量i=（1，0），j=（0，1），下列向量中与向量垂直的是（ ）ABCD解：()()=0所以选B2已知向量a，若向量与垂直，则的值为（ ）A B7 C D 解： ()()=答案：A3设，则满足条件，的动点P的 变化范围（图中阴影部分含边界）是（ ） A B C D解：设P点坐标为，则.由，得，在平面直角坐标系中画出该不等式组表示的平面区域即可，选A4如图，非零向量（ ）ABCD解：即即可得答案A5在四边形ABCD中，=a+2b，=4ab，=5a3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为（ ）A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形解=8a2b=2，.四边形ABCD为梯形. 答案： C6已知a，b是不共线的向量，ab，ab (，R)那么A，B，C三点共线的充要条件为( )A2 B1 C1 D1解： A，B，C三点共线即存在实数使得=即ab=（ ab）所以有a=a ， b=b，即=， 1= 故选D7已知向量，其中.若，则当恒成立时实数的取值范围是（ ）A或 B或C D 解：由已知得，所以，因此，由于恒成立，所以，解得或.答案：B8点在平面上作匀速直线运动，速度向量（即点的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位）设开始时点的坐标为（，），则秒后点的坐标为（）A（-2，4）B（-30，25）C（10，-5）D（5，-10）解：设5秒后点P运动到点A,则,=(10,-5). 答案：C9已知，点在直线上的射影为点，则的最大值为 （ C ） 10.若=a，=b，则AOB平分线上的向量为（ B ）A. B.()，由确定 C. D.二、填空题11已知在平面直角坐标系中，（其中为原点，实数满足），若N（1，0），则的最小值是_.12已知直线交于不同的两点A、B，O是坐标原点，的取值范围是 。13设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则的值等于 14已知是的中线，那么 ；若，则的最小值是 答案 115 三、解答题（解答应有证明过程或演算步骤）ABNMDC16如图,ABCD是一个梯形, M、N分别是的中点,已知a,b,试用a、b表示和解：|=2|a,ba , =ab17设向量，向量垂直于向量，向量平行于，试求的坐标 解：设 ，又 即：联立、得 18已知M(1+cos2x，1)，N(1，sin2x+a)(x，aR，a是常数)，且y= (O是坐标原点)求y关于x的函数关系式y=f(x)；若x0，f(x)的最大值为4，求a的值，并说明此时f(x)的图象可由y=2sin(x+)的图象经过怎样的变换而得到解：y=1+cos2x+sin2x+a，得f(x) =1+cos2x+sin2x+a；f(x) =1+cos2x+sin2x+a化简得f(x) =2sin(2x+)+a+1，x0，。当x时，f(x)取最大值a34，解得a1，f(x) =2sin(2x+)+2。将y=2sin(x+)的图象的每一点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，再向上平移2个单位长度可得f(x) =2sin(2x+)+2的图象。19已知A（1，0），B（1，0）两点，C点在直线上，且，成等差数列，记为的夹角，求tan解：设又三者，成等差数列当 ，同理20已知： 、是同一平面内的三个向量，其中 （1，2）若|，且，求的坐标；若|=且与垂直，求与的夹角.解：设 由 或 （）代入（）中, 21已知向量;（理科做）若（文科做）求函数的最小值。解： （理科）当时，当县仅当时，取得最小值1，这与已知矛盾；当时取得最小值，由已知得；当时，取得最小值，由已知得 解得，这与相矛盾，综上所述，为所求. （2）（文科） 当且仅当取得最小值。