2019-2020年高考数学一轮复习 第四章 平面向量的概念及其线性运算训练 理 新人教A版.doc

2019-2020年高考数学一轮复习 第四章 平面向量的概念及其线性运算训练 理 新人教A版 备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解向量的实际背景2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3.理解向量的几何表示4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.1.主要考查平面向量的有关概念及线性运算、共线向量定理的理解和应用，如xx年浙江T5，辽宁T3等2.考查题型为选择题或填空题.归纳知识整合1向量的有关概念名称定义向量既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)零向量长度为零的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0单位向量长度等于1个单位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量又叫共线向量规定：0与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量探究1.两向量共线与平行是两个不同的概念吗？两向量共线是指两向量的方向一致吗？提示：方向相同或相反的一组非零向量，叫做平行向量，又叫共线向量，是同一个概念显然两向量平行或共线，其方向可能相同，也可能相反2两向量平行与两直线(或线段)平行有何不同？提示：平行向量也叫共线向量，这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|(2)当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0( a)( ) a()aa a(ab)ab探究3.0与a0时，a的值是否相等？提示：相等，且均为0.4若|ab|ab|，你能给出以a，b为邻边的平行四边形的形状吗？提示：如图，说明平行四边形的两条对角线长度相等，故四边形是矩形3共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba.探究5.当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立吗？提示：成立自测牛刀小试1下列说法中正确的是()A只有方向相同或相反的向量是平行向量B零向量的长度为零C长度相等的两个向量是相等向量D共线向量是在一条直线上的向量解析：选B由于零向量与任意向量平行，故选项A错误；长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，故C错误；方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，故D错误2.(教材习题改编)D是ABC的边AB上的中点，则向量等于()ABC D解析：选A如图，由于D是AB的中点，所以.3如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量ab可表示为()A3e2e1B2e14e2Ce13e2D3e1e2解析：选C连接a，b的终点，并指向a的终点的向量是ab.4(教材习题改编)点C在线段AB上，且，则_，_.解析：如图，.答案：5(教材习题改编)化简的结果为_解析：()().答案：向量的概念例1给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab；若ab，bc，则ac.其中正确命题的序号是()ABC D自主解答不正确，长度相等，但方向不同的向量不是相等向量正确，|且，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且|，因此，.正确ab，a，b的长度相等且方向相同；又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确当ab时，也有|a|b|且ab，故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件不正确未考虑b0这种特殊情况综上所述，正确命题的序号是.答案A解决平面向量概念辨析题的方法解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心方向和长度，如，共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任意向量共线只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题1设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是()A0 B1C2 D3解析：选D向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.向量的线性运算例2在ABC中，(1)若D是AB边上一点，且2，则()A.B.CD(2)若O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且20，那么()A B2C3 D2自主解答(1)法一：由2得2()，即，所以.法二：因为()，所以.(2)因为D是BC边的中点，所以有2，所以2222()00.答案(1)A(2)A在本例条件下，若|2，则|为何值？解：|，ABC为正三角形|2.平面向量线性运算的一般规律(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加法、减法、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理(2)在求向量时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解2如图，在OAB中，延长BA到C，使ACBA，在OB上取点D，使DBOB.设a，b，用a，b表示向量，.解：22()22ab.(2ab)b2ab.共线向量定理的应用例3设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A、B、D三点共线(2)试确定实数k，使kab和akb共线自主解答(1)ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)，2a8b3a3b5(ab)5.、共线，又它们有公共点B，A、B、D三点共线(2)kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a、b是不共线的两个非零向量，kk10，k210，k1.1共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值(2)若a，b不共线，则ab0的充要条件是0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛2证明三点共线的方法若，则A、B、C三点共线3已知a，b不共线，a，b，c，d，e，设tR，如果3ac,2bd，et(ab)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由解：由题设知，dc2b3a，ec(t3)atb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.因为a，b不共线，所以有解之得t.故存在实数t使C，D，E三点在一条直线上1个规律向量加法规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量2个结论向量的中线公式及三角形的重心(1)向量的中线公式若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则()(2)三角形的重心已知平面内不共线的三点A、B、C，()G是ABC的重心，特别地，0P为ABC的重心3个等价转化与三点共线有关的等价转化A，P，B三点共线 (0) (1t)t (O为平面内异于A，P，B的任一点，tR) xy (O为平面内异于A，P，B的任一点，xR，yR，xy1)4个注意点向量线性运算应注意的问题(1)用平行四边形法则进行向量加法和减法运算时，需将向量平移至共起点；(2)作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；(3)在向量共线的重要条件中要注意“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个；(4)要注意向量共线与三点共线的区别与联系. 创新交汇以平面向量为背景的新定义问题1从近几年新课标省份的高考可以看出，高考以新定义的形式考查向量的概念及线性运算的频率较大，且常与平面几何、解析几何、充要条件等知识交汇，具有考查形式灵活，题材新颖，解法多样等特点2解决此类问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，通过转化思想解决，这是破解新定义信息题难点的关键所在典例(xx山东高考)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若(R)， (R)，且2，则称A3，A4调和分割A1，A2已知点C(c,0)，D(d,0)(c，dR)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的是()AC可能是线段AB的中点BD可能是线段AB的中点CC，D可能同时在线段AB上DC，D不可能同时在线段AB的延长线上解析根据已知得(c,0)(0,0)(1,0)(0,0)，即(c,0)(1,0)，从而得c；(d,0)(0,0)(1,0)(0,0)，即(d,0)(1,0)，得d.根据2，得2.线段AB的方程是y0，x0,1若C是线段AB的中点，则c，代入2得，0，此等式不可能成立，故选项A的说法不正确；同理选项B的说法也不正确；若C，D同时在线段AB上，则0c1,01，d1，则2，与2矛盾，若c0，d1，d0，则1，0，此时1，与2矛盾；故选项D的说法是正确的答案D1本题具有以下创新点(1)命题背景新颖：本题为新定义题目，用新定义考查考生阅读能力与知识迁移能力(2)考查知识新颖：本题把坐标系、向量、点与线段的位置关系通过新定义有机结合在一起，能较好地考查学生的阅读理解能力和解决问题的能力2解决本题的关键有以下两点解决本题的关键是抓住两条：一是A1，A2，A3，A4四点共线；二是2，同时应用排除法1定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的a(m，n)，b(p，q)，令abmqnp，下面说法错误的是()A若a与b共线，则ab0BabbaC对任意的R，有(a)b(ab)D(ab)2(ab)2|a|2|b|2解析：选B若a与b共线，则有mqnp0，故A正确；因为bapnqm，而abmqnp，所以有abba，故B错误；因为a(m，n)，所以(a)bmqnp.又(ab)(mqnp)(a)b，故C正确；因为(ab)2(ab)2(mqnp)2(mpnq)2(m2n2)(p2q2)|a|2|b|2，故D正确2已知点A、B、C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则关于x的方程x2x0的解集为()AB1C. D1,0解析：选A由条件可知，x2x不能和共线，即使x0时，也不满足条件，所以满足条件的x不存在一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1.如图，已知a，b，3，用a，b表示，则()AabB.abC.ab D.ab解析：选Bab，又3，(ab)，b(ab)ab.2设P是ABC所在平面内的一点，2，则()A0B0C0 D0解析：选B如图，根据向量加法的几何意义，2P是AC的中点，故0.3已知向量p，其中a、b均为非零向量，则|p|的取值范围是()A0， B0,1C(0,2 D0,2解析：选D与均为单位向量，当它们同向时，|p|取得最值2，当它们反向时，|p|取得最小值0.故|p|0,24已知四边形ABCD中，|，则这个四边形的形状是()A平行四边形 B矩形C等腰梯形 D菱形解析：选B由可知AB綊CD，所以四边形ABCD为平行四边形由|知对角线相等，所以平行四边形ABCD为矩形5(xx保定模拟)如图所示，已知点G是ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且x，y，则的值为()A3 B.C2 D.解析：选B(特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底面BC的直线，易得.6设D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且2，2，2，则与 ()A反向平行B同向平行C互相垂直 D既不平行也不垂直解析：选A由题意得，因此()，故与反向平行二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7在ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则_(用a，b表示)解析：由3得433(ab)，ab，所以(ab)ab.答案：ab8设a，b是两个不共线的非零向量，若8akb与ka2b共线，则实数k_.解析：因为8akb与ka2b共线，所以存在实数，使8akb(ka2b)，即(8k)a(k2)b0.又a，b是两个不共线的非零向量，故解得k4.答案：49(xx淮阴模拟)已知ABC和点M满足0.若存在实数m使得m成立，则m_.解析：由题目条件可知，M为ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，则，因为AD为中线，则23，所以m3.答案：3三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10已知P为 ABC内一点，且3450，延长AP交BC于点D，若a，b，用a、b表示向量，.解：a，b，又3450.34(a)5(b)0，ab.设t (tR)，则tatb.又设k (kR)，由ba，得k(ba)而a.ak(ba)(1k)akb由得解得t.代入得ab.ab，ab.11设两个非零向量e1和e2不共线(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求证：A、C、D三点共线；(2)如果e1e2，2e13e2，2e1ke2，且A、C、D三点共线，求k的值解：(1)证明：e1e2，3e12e2，8e12e2，4e1e2(8e12e2)，与共线又与有公共点C，A、C、D三点共线(2) (e1e2)(2e13e2)3e12e2，A、C、D三点共线，与共线，从而存在实数使得，即3e12e2(2e1ke2)，得解得，k.12设点O在ABC内部，且有40，求ABC的面积与OBC的面积之比解：取BC的中点D，连接OD，则2，又4()2，即，O、A、D三点共线，且|2|，O是中线AD上靠近A点的一个三等分点，SABCSOBC32.1已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足，则点P与ABC的关系为()AP在ABC内部BP在ABC外部CP在AB边所在直线上DP是AC边的一个三等分点解析：选D，22，P是AC边的一个三等分点2平面向量a，b共线的充要条件是()Aa，b方向相同Ba，b两向量中至少有一个为0C存在R，使baD存在不全为零的实数1，2，使1a2b0解析：选Da，b共线时，a，b方向相同或相反，故A错a，b共线时，a，b不一定是零向量，故B错当ba时，a，b一定共线，若b0，a0，则ba不成立，故C错排除A、B、C.3ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB.设a，b，|a|1，|b|2，则等于()A.ab B.abC.ab D.ab解析：选BCD平分ACB，.又a，b，|a|1，|b|2，.aa()a(ba)ab.4.如图所示，在五边形ABCDE中，点M、N、P、Q分别是AB、CD、BC、DE的中点，K和L分别是MN和PQ的中点，求证：.证明：任取一点O，.K、L为MN、PQ的中点()，()又M，N，P，Q分别为AB，CD，BC，DE中点，()，()，()，()()()()()(). 备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解平面向量基本定理及其意义2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.本节内容在高考中一般不单独命题，常常是结合向量的其他知识命制综合性的小题，这些小题多属于中低档题，问题常常涉及以下几个方面：(1)结合向量的坐标运算求向量的值，如xx年重庆T6等(2)结合平面向量基本定理考查向量的线性表示，如xx年广东T3等(3)结合向量的垂直与共线等知识，求解参数问题，如xx年北京T10等.归纳知识整合1两个向量的夹角(1)定义已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角(2)范围向量夹角的范围是0，a与b同向时，夹角0；a与b反向时，夹角.(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直，记作ab.2平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(2)平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使axiyj，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标设xiyj，则向量的坐标(x，y)就是A点的坐标，即若(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点)探究1.向量的坐标与点的坐标有何不同？提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点O为起点的向量的坐标与点A的坐标相同3平面向量的坐标运算(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)；(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)；(3)若a(x，y)，则a(x，y)；(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y1.探究2.相等向量的坐标一定相同吗？相等向量起点和终点坐标可以不同吗？提示：相等向量的坐标一定相同，但是起点和终点的坐标可以不同如A(3,5)，B(6,8)，则(3,3)；C(5,3)，D(2，6)，则(3,3)，显然，但A，B，C，D四点坐标均不相同3若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件能表示成吗？提示：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.同时，ab的充要条件也不能错记为x1x2y1y20，x1y1x2y20等自测牛刀小试1若向量a(1,1)，b(1,0)，c(6,4)，则c()A4a2bB4a2bC2a4b D2a4b解析：选A设cab，则有(6,4)(，)(，0)(，)，即6，4，从而2，故c4a2b.2下列各组向量中，能作为基底的组数为()a(1,2)，b(5,7)；a(2，3)，b(4，6)；a(2，3)，b(12，34)A0 B1C2 D3解析：选C对，由于17250，所以a与b不共线，故a，b可作为基底；对，由于b2a，a与b共线，不能作为基底；对，由于3423120，所以a与b不共线，故a，b可作为基底3设向量a(m,1)，b(1，m)，如果a与b共线且方向相反，则m的值为()A1 B1C2 D2解析：选A设ab，则即1，又a与b共线且方向相反，0，即1.4(教材习题改编)在ABCD中，AC为一条对角线，(2,4)，(1,3)，则向量的坐标为_解析：设(x，y)，(1,3)(2,4)(x，y)，即(1，1)(1，1)(2,4)(3，5)答案：(3，5)5已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则m_.解析：ab(1，m1)(ab)c，2(1)(m1)0，m1.答案：1平面向量基本定理的应用例1如图所示，在ABC中，点M是AB的中点，且，BN与CM相交于点E，设a，b，试用基底a，b表示向量.自主解答易得b，a，由N，E，B三点共线知，存在实数m，满足m(1m) mb(1m)a.由C，E，M三点共线知存在实数n，满足n(1n) na(1n)b.所以mb(1m)ana(1n)b.由于a，b为基底，所以解得所以ab.应用平面向量基本定理表示向量的方法应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止；(2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解1.如图，在梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，E，F分别为线段AD与BC的中点设a，b，试用a，b为基底表示向量，.解：babba，bba，bab.平面向量的坐标运算例2已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b.求：(1)3ab3c；(2)M、N的坐标及向量的坐标自主解答由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)(9，18)平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用2已知点A(1,2)，B(2,8)以及，求点C、D的坐标和的坐标解：设点C、D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，得(x11，y12)，(3,6)，(1x2,2y2)，(3，6)因为，所以有，和解得和所以点C、D的坐标分别是(0,4)、(2,0)，从而(2，4).平面向量共线的坐标表示例3平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足ambnc的实数m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k；(3)若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d.自主解答(1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，所以得(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，2(34k)(5)(2k)0.k.(3)设d(x，y)，dc(x4，y1)，ab(2,4)，由题意得得或故d(3，1)或(5,3)本例(2)成立的前提下，akc与2ba是同向还是反向解：由例题知，k.akc(3,2)(4,1)，2ba(2,4)(3,2)(5,2)，akc(2ba)，又0，akc与2ba同向 利用两向量共线解题的技巧(1)一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便3(1)在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边ABDC，ADBC.已知点A(2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为_(2)已知向量a(m，1)，b(1，2)，c(1,2)，若(ab)c，则m_.解析：(1)由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD是平行四边形设D(x，y)，则有，即(6,8)(2,0)(8,6)(x，y)，解得(x，y)(0，2)，即D点的坐标为(0，2)(2)由题意知ab(m1，3)，c(1,2)，由(ab)c得(3)(1)(m1)20，即2(m1)3，所以m.答案：(1)(0，2)(2)1个区别向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a(x，y)2种形式向量共线的充要条件的两种形式(1)abba(a0，R)；(2)abx1y2x2y10(其中a(x1，y1)，b(x2，y2)3个注意点解决平面向量共线问题应注意的问题(1)注意0的方向是任意的；(2)若a、b为非零向量，当ab时，a，b的夹角为0或180，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.易误警示忽视向量平行的主要条件致误典例(xx湖南高考)设向量a，b满足|a|2，b(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为_解析设a(x，y)，x0，y0，则x2y0且x2y220，解得x4，y2(舍去)，或者x4，y2，即a(4，2)答案(4，2)1解答本题易误认为“a与b的方向相反ab”，致使出现增解(4,2)，而造成解题错误2解决此类问题常有混淆向量共线与向量垂直的充要条件致误1已知向量a(1,0)，b(0,1)，ckab(kR)，dab，如果cd，那么()Ak1且c与d同向Bk1且c与d反向Ck1且c与d同向Dk1且c与d反向解析：选Da(1,0)，b(0,1)，若k1，则cab(1,1)，dab(1，1)显然，c与d不平行，排除A、B.若k1，则cab(1,1)，dab(1,1)，即cd且c与d反向，排除C.2若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共线，则的值等于_解析：(a2，2)，(2，b2)，依题意，有(a2)(b2)40，即ab2a2b0，所以.答案：一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1(xx广东高考)若向量(2,3)，(4,7)，则()A(2，4)B(2,4)C(6,10) D(6，10)解析：选A由于(2,3)，(4,7)，那么(2,3)(4，7)(2，4)2如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且a，b，则()Aba BbaCab Dab解析：选Aababa.3(xx郑州模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量a(1,2)，b(m,3m2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成cab(、为实数)，则m的取值范围是()A(，2) B(2，)C(，) D(，2)(2，)解析：选D由题意知向量a，b不共线，故m，解得m2.4已知A(7,1)、B(1,4)，直线yax与线段AB交于C，且2，则实数a等于()A2 B1C. D.解析：选A设C(x，y)，则(x7，y1)，(1x,4y)，2，解得C(3,3)又C在直线yax上，3a3，a2.5已知点A(2,1)，B(0,2)，C(2,1)，O(0,0)，给出下面的结论：直线OC与直线BA平行；2.其中正确结论的个数是()A1B2C3D4解析：选C由题意得kOC，kBA，OCBA，正确；，错误；(0,2)，正确；2(4,0)，(4,0)，正确6(xx成都模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m(bc，cos C)，n(a，cos A)，mn，则cos A的值等于()A. B. C. D.解析：选Cmn(bc)cos Aacos C0，再由正弦定理得sin BcosAsin Ccos Acos Csin Asin Bcos Asin(CA)sin B，即cos A.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4,3)，(1,5)，则_.解析：(3,2)，2(6,4)(2,7)，3(6,21)答案：(6,21)8在ABC中，a，b，M是CB的中点，N是AB的中点，且CN、AM交于点P，则_(用a，b表示)解析：如图所示，()ab.答案：ab9已知向量a(，1)，b(0，1)，c(k，)，若a2b与c共线，则k_.解析：a2b(，1)2(0，1)(，3)，又a2b与c共线，(a2b)c3k0，解得k1.答案：1三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC与OB的交点P的坐标解：法一：由O，P，B三点共线，可设(4，4)，则(44,4)又(2,6)，由与共线得(44)64(2)0，解得，所以(3,3)，所以P点的坐标为(3,3)法二：设P(x，y)，则(x，y)，因为(4,4)，且与共线，所以，即xy.又(x4，y)，(2,6)，且与共线，所以(x4)6y(2)0，解得xy3，所以P点的坐标为(3,3)11已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及t，试问：(1)t为何值时，P在x轴上？在y轴上？P在第三象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由解：(1)(1,2)，(3,3)，t(13t,23t)若点P在x轴上，则23t0，解得t；若点P在y轴上，则13t0，解得t；若点P在第三象限，则解得t.(2)不能，若四边形OABP成为平行四边形，则，即该方程组无解，四边形OABP不能成为平行四边形12若平面向量a、b满足|ab|1，ab平行于x轴，b(2，1)，求a的坐标解：设a(x，y)，b(2，1)，ab(x2，y1)又ab平行于x轴，y10，得y1，ab(x2,0)又|ab|1，|x2|1，x1或x3，a(1,1)或a(3,1)1已知a1a2an0，且an(3,4)，则a1a2an1的坐标为()A(4,3) B(4，3)C(3，4) D(3,4)解析：选Ca1a2an0，(a1a2an1)an(3，4)2若，是一组基底，向量xy(x，yR)，则称(x，y)为向量在基底，下的坐标，现已知向量a在基底p(1，1)，q(2,1)下的坐标为(2,2)，则a在另一组基底m(1,1)，n(1,2)下的坐标为()A(2,0) B(0，2) C(2,0) D(0,2)解析：选D由题意，a2p2q(2,2)(4,2)(2,4)设a在基底m，n下的坐标为(，)，则a(1,1)(1,2)(，2)(2,4)故解得即坐标为(0,2)3已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，则向量ab()A(2，1) B(2,1)C(1,0) D(1,2)解析：选Da，b，故ab(1,2)4.如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知c，d，试用c，d表示，.解：法一：在ADM中，c 在ABN中，d 由得(2dc)，(2cd)法二：设a，b，因为M，N分别为CD，BC的中点，所以b，a，于是有：解得即(2dc)，(2cd)第三节平面向量的数量积及平面向量的应用 备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义了解平面向量的数量积与向量投影的关系2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.近年来的新课标高考对平面向量的数量积的考查，主要以选择题、填空题的形式出现：(1)直接利用数量积进行平面向量的运算，如xx年北京T13，上海T12等(2)利用平面向量的数量积计算及两个向量的夹角问题，如xx年新课标全国T13，江西T7等.(3)利用平面向量的数量积解决垂直问题如xx年安徽T11等.归纳知识整合1平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，把数量|a|b|cos 叫做a和b的数量积(或内积)，记作ab.即ab|a|b|cos ，规定0a0.2向量数量积的运算律(1)abba(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc探究根据数量积的运算律，判断下列结论是否成立(1)abac，则bc吗？(2)(ab)ca(bc)吗？提示：(1)不一定，a0时不成立，另外a0时，abac.由数量积概念可知b与c不能确定；(2)(ab)ca(bc)不一定相等(ab)c是c方向上的向量，而a(bc)是a方向上的向量，当a与c不共线时它们必不相等3平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|自测牛刀小试1(教材习题改编)已知|a|5，|b|4，ab10，则a与b的夹角为()A.B.C. D.解析：选B设a与b的夹角为，则ab|a|b|cos 54cos 10，即cos .又0，.2(教材习题改编)等边三角形ABC的边长为1，a，b，c，那么abbcca等于()A3 B3C. D解析：选D由题意知|a|b|c|1，且a与b的夹角为120，b与c的夹角为120，c与a的夹角也为120.故abbcca.3设向量a，b满足|a|b|1，ab，则|a2b|()A. B.C. D.解析：选B|a2b|.4(教材习题改编)已知|a|3，|b|4，且a与b不共线，若向量akb与akb垂直，则k_.解析：(akb)(akb)，(akb)(akb)0，即|a|2k2|b|20.又|a|3，|b|4，k2，即k.答案：5若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)满足条件(8ab)c30，则x_.解析：由题意可得8ab(6,3)，又(8ab)c30，c(3，x)，则183x30，解得x4.答案：4平面向量数量积的运算例1(1)(xx天津高考)已知ABC为等边三角形，AB2.设点P，Q满足，(1) ，R，若，则()A.B.C. D.(2)(xx上海高考)在平行四边形ABCD中，A，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是_自主解答(1)以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，由，得P(2，0)，由(1) ，得Q(1，(1)，所以(1，(1)(21，)(1)(21)(1)，解得.(2)建立平面直角坐标系，如图则B(2,0)，C，D.令，则M，N.225(1)26.01，2,5答案(1)A(2)2,5平面向量数量积的类型及求法(1)向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式ab|a|b|cos ；二是坐标公式abx1x2y1y2.(2)求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简注意以下两个重要结论的应用：(ab)2a22abb2；(ab)(ab)a2b2.1.(xx江苏高考)如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_解析：以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)设F(x,2)(0x)，由xx1，所以F(1,2)，(，1)(1，2).答案：平面向量的夹角与模的问题例2已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|和|ab|.自主解答(1)(2a3b)(2ab)61，解得ab6.cos ，又0，.(2)|ab|2a22abb213，|ab|.|ab|2a22abb237.|ab|.本例条件不变，若a，b，试求ABC的面积解：与的夹角，ABC.又|a|4，|b|3，SABC|sin ABC433. 1利用数量积求解长度问题的处理方法(1)a2aa|a|2或|a|.(2)|ab|.(3)若a(x，y)，则|a|.2求向量夹角的方法(1)利用向量数量积的定义知，cos ，其中两向量夹角的范围为0180，求解时应求出三个量：ab，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系(2)利用坐标公式，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos .(3)三角函数法，可以把这两个向量的夹角放在三角形中；利用正余弦定理、三角形的面积公式等求解2(1)已知平面向量，|1，(2,0)，(2)，求|2|的值；(2)已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为120，|a|1，|b|2，|c|3，求向量abc与向量a的夹角解：(1)(2,0)，|2，又(2)，(2)22120.