2019-2020年高考数学一轮复习 相似三角形的判定及有关性质训练 理 新人教A版选修4-1.doc

2019-2020年高考数学一轮复习 相似三角形的判定及有关性质训练 理 新人教A版选修4-1备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解平行线截割定理2.会证明并应用直角三角形射影定理.以解答题形式考查，考查一般以基础知识为主，难度不大，如xx年新课标全国T22.归纳知识整合1平行线的截割定理(1)平行线等分线段定理定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边推论2经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰(2)平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例探究1.平行线分线段成比例定理的推论的逆命题正确吗？提示：正确如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三条边，该命题正确2相似三角形的判定定理定理内容判定定理1两角对应相等，两三角形相似判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理3三边对应成比例，两三角形相似探究2.三角形相似是否具有传递性？提示：三角形相似具有传递性3相似三角形的性质定理定理与推论内容性质定理相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方推论相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方4.直角三角形相似的判定定理定理内容判定定理1如果两个直角三角形一组锐角对应相等，那么它们相似判定定理2如果两个直角三角形的两直角边对应成比例，那么它们相似判定定理3斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似5直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上的射影的乘积自测牛刀小试1.如图所示，E是ABCD的边AB延长线上的一点，且DCBE32，求ADBF.解：ABCD，从而.又BCAD，即ADBF52.2.如图，已知在ABC中，CDAB于D点，BC2BDAB，求ACB.解：CDAB，CDB90.BC2BDAB，又B是公共角，BDCBCA，ACBCDB90.3如图，在ABC中，M、N分别是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，求MON与AOC的面积的比解：M、N分别是AB、BC的中点，且MNAC，MONAOC.SMONSAOC14.4如图所示，在ABC中，ACB90，CDAB于D，AC6，DB5，求AD的长解：在RtABC中，ACB90，CDAB，AC2ADAB，设ADx，则ABx5，又AC6，62x(x5)，即x25x360，解得x4.AD4.5如图所示，在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F.求证：AEABAFAC.证明：ADBC，ADB为直角三角形又DEAB，由射影定理知，AD2AEAB.同理可得AD2AFAC，AEABAFAC.平行线截割定理的应用例1如图，在梯形ABCD中，ADBC，BD与AC相交于点O，过点O的直线分别交AB，CD于E，F，且EFBC，若AD12，BC20，求EF.自主解答ADBC，.OEAD，.OEAD12，同理可求得OFBC20，EFOEOF15.本例条件不变，求证：OEOF.证明：EFBC，ADBC，EFADBC.EFBC，.EFADBC，.，OEOF.平行线截割定理的作用平行线截割定理一方面可以判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理将两条线段的比转化为另外两条线段的比1已知E是正方形ABCD的边AB延长线上一点，DE交CB于M，MNAE交CE于N，求证：MNMB.证明：MBAD，BEMAED.MNAECD，MNEDCE.又ADCD，MNMB.相似三角形的判定与性质例2如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABCD，DECA，且交BA的延长线于E，求证：EDCDEABD.自主解答在梯形ABCD中，ABDC，ABCDCB.又BCBC，ABCDCB.BACBDC.ACED，ADBC，EBACBDC，EADABCDCB，EADDCB.，即EDCDEABD.证明等积式的方法证明等积式的一般方法是化为等积的比例式(1)若题目中无平行线，需利用相似三角形的性质证明(2)若所证比例线段所在的两三角形不相似，需考虑能否利用线段替换或等比替换等2如图所示，已知ABCD中，G是DC延长线上一点，AG分别交BD和BC于E，F两点，证明：AFADAGBF.证明：因为四边形ABCD为平行四边形，所以ABDC，ADBC，所以ABFGCF，GCFGDA.所以ABFGDA，从而有，即AFADAGBF.射影定理及其应用例3如图所示，在ABC中，CAB90，ADBC于点D，BE是ABC的角平分线，交AD于点F，求证：.自主解答BE是ABC的角平分线，.在RtABC中，由射影定理知，AB2BDBC，即.由得，由得.巧用射影定理解题已知条件中含直角三角形，且涉及直角三角形斜边上的高时，应首先考虑射影定理，注意射影定理与斜边的对应法则，根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式，并分清比例中项3.如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于点D，CD6，E为AB的中点，ADDB23，求AC及CE.解：设AD2t，DB3t，由射影定理得CD2ADDB，622t3t，t(t舍去)，AD2，DB3，所以斜边ABADDB235.故CEAB.再由射影定理得AC2ADAB2560，AC2.2个注意运用平行线分线段成比例定理的注意点(1)平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例，在运用平行线分线段成比例定理时要注意平行线的不同位置，以及在三角形与四边形中的灵活应用(2)证明线段成比例，若已知条件中没有平行线，但有三角形相似的条件(如角相等，有相等的比例式等)，常考虑相似三角形的性质构造比例或利用中间比求解3种思路判定三角形相似的三种思路(1)条件中若有一对角相等，可找另一对角相等或找夹这对角的两边成比例(2)条件中若有两边的比相等，可找夹角相等或证明另外一组对应边的比等于已知两边的比(3)条件中若有等腰三角形，可找顶角相等或找一对底角相等或两个三角形的底和腰的比对应相等1个技巧等积式证明方法证明等积式，化成比例式，用分子、分母四个字母构造三角形，或等号同侧四个字母构造三角形，证此两三角形相似不能构成三角形或三角形不相似需转化. 答题模板相似三角形的判定典例 (xx新课标全国卷)(10分)如图所示，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两点若CFAB，证明：(1)CDBC；(2)BCDGBD.快速规范审题第(1)问：1审条件，挖解题信息观察条件：由D，E分别为AB，AC的中点DEBC；由D为AB的中点CFAD.2审结论，明确解题方向 观察所求结论：证明CDBC.3建联系，找解题突破口分析条件：D，E分别为AB，AC的中点DEBC四边形BCFD是平行四边形CFBDAD四边形ADCF是平行四边形CDAFCDBC.第(2)问：1审条件，挖解题信息观察条件：FGBC，由(1)可知BDCF.2审结论，明确解题方向观察所求结论：BCDGBD.3建联系，找解题突破口分析条件：FGBCGBCF，由(1)可知BDCFGBBDDGBEFCDBCBCDGBD.准确规范答题(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DEBC.(2分)又已知CFAB，故四边形BCFD是平行四边形，本题中的平行关系比较多，易分辨不清而致错.所以CFBDAD.而CFAD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CDAF.因为CFAB，所以BCAF，故CDBC.(5分)(2)因为FGBC，故GBCF.由(1)可知BDCF，所以GBBD.(8分)从而DGBEFCDBC，故BCDGBD.(10分)答题模板速成判断三角形相似的一般步骤：第一步审条件尽量多的找出角相等、边成比例的情况第二步审结论三角形相似需角相等或边成比例第三步建联系找出或证明三角形相似的条件是已具备的第四步写步骤将过程按要求写出答题过程1如图，在ABC中，DEBC，DFAC，AEAC35，DE6，求BF的长解：BC10，故BF1064.2如图，在ABC中，AD是BC边上的高，DEAC，EFBC， ，BD6，求FC的长解：由DEAC，BD6知DC4.又EFAD，故，解得FD，故FCFDDC.3(xx陕西高考)如图，BD，AEBC，ACD90，且AB6，AC4，AD12，求BE.解：由于BD，AEBACD，故ABEADC，从而得，解得AE2，故BE4.4在ABC中，BAC90，BC边的垂直平分线EM和AB以及CA的延长线分别交于D、E，连结AM，求证：AM2DMEM.证明：BAC90，M是BC边的中点，AMCM，MACC，又EMBC，EC90，又BAMMAC90，EBAM.又EMAAMD，AMDEMA.，AM2DMEM.5如图，RtABC中，BAC90，ADBC于D，BE平分ABC交AC于E，EFBC于F.求证：EFDFBCAC.证明：BAC90，且ADBC，由射影定理得AC2CDBC，.EFBC，ADBC，EFAD，.又BE平分ABC，且EAAB，EFBC，AEEF，.由得，即EFDFBCAC.1在ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，AE交BC于点F，求的值解：过点D作DMAF交BC于点M.点E是BD的中点，在BDM中，BFFM.又点D是AC的中点， 在CAF中，CMMF，.2.如图所示，平行四边形ABCD中，AEEB12，若AEF的面积等于1 cm2，求CDF的面积解：，.又DCAE，DCFEAF.29，即SDCF9(cm2)3如图所示，已知直线FD和ABC的BC边交于D，与AC边交于E，与BA的延长线交于F，且BDDC，求证：AEFBBCFA.证明：过A作AGBC，交DF于G点.又BDDC，.AGBC，即AEFBECFA.备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.会证明并应用圆周角定理，圆的切线的判定定理与性质定理2.会证明并应用相交弦定理，圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.与圆有关的切线、割线以及三角形问题是高考的热点内容以解答题形式考查，一般以基础知识为主，难度不大，如xx年新课标T22等.归纳知识整合1圆周角定理圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半O为圆心，A、B、C为圆上任意三点，则有ACBAOB弧度数的一半推论1同弧或等弧所对的圆周角相等O为圆心，A、B、C、D为圆上任意四点，则有ACBADBAOB同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等O为圆心，A、B、C、D为圆上任意四点，且CADACB，则有推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角O为圆心，A、B、C为圆上三点，且BC为圆的直径，则有BAC9090的圆周角所对的弦为直径O为圆心，A、B、C为圆上三点，且BAC90，则BC为圆的直径探究1.圆周角具有的两个特征是什么？提示：顶点在圆上，角的两边与圆相交是圆周角的两个基本特征2.圆的切线判定定理过圆的半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线O为圆心，A为圆上一点，直线l经过点A且垂直于OA，则直线l是圆的一条切线，切点为A性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径O为圆心，直线l与圆相切于点A，则l垂直于OA切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角O为圆心，C为圆外的一点，由C向圆作切线，分别切圆于点A、B，则有CACB，OCAOCB.3弦切角定理及其推论定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半AB是O的切线，BAC的度数等于的度数推论弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角AB是O的切线，C、D为圆上两点，则BACADC4圆中的比例线段相交弦定理圆内的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积相等PAPBPCPD割线定理从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等PAPBPCPD切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项PAPBPC25圆内接四边形的性质定理和判定定理性质定理圆内接四边形对角互补四边形ABCD内接于O，AC，BD判定定理如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆在四边形ABCD中，AC或BD，则四边形ABCD内接于圆探究2.任意一个四边形是否有外接圆，三角形呢？提示：任意一个四边形不一定有外接圆，但一个三角形一定有外接圆，并且外接圆惟一自测牛刀小试1从圆外一点P向圆O所引的一条切线为PA(切点为A)，连结PO并延长交圆O于点B，若PA，PB3，求圆O的周长解：由切割线定理，得PA2PCPB.所以PC1.从而BC2，圆O的半径R1，周长为2R2.2如图，已知O的弦AB交半径OC于点D，若AD3，BD2，且D为OC的中点，求CD的长解：延长CO交圆O于E，由相交弦定理，得ADDBDCDE，又DE3DC，所以323DC2，DC.3.如图，在直角三角形ABC中，B90，AB4，以BC为直径的圆交边AC于点D，AD2，求C的大小解：连结BD，则有ADB90.在RtABD中，AB4，AD2，所以A60；在RtABC中，A60，于是有C30.4.如图，从圆O外一点P引圆的切线PC和割线PBA，已知PC2PB，BC，求AC的长解：PCBPAC，CPBAPC，PBCPCA，AC2.5.如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上一点，AC是半圆O的切线，切点为D，BCAC于C，若BC6，AC8，求AE.解：设圆的半径为R，连结DO，AB10，R，AE102R10.圆周角及弦切角的性质例1如图，已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点求证：(1)ACEBCD；(2)BC2BECD.自主解答(1)因为，所以BCDABC.又因为EC与圆相切于点C，根据弦切角定理知ACEABC，所以ACEBCD.(2)因为ECA等于上的圆周角，ACB等于上的圆周角，所以ECB等于上的圆周角，故ECBCDB，又由(1)知EBCBCD，所以BDCECB，故，即BC2BECD.弦切角定理的应用弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明，然后利用三角形相似进一步确定相应边之间的关系，在圆中证明比例式或等积式，常常需要借助于三角形相似处理1.如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，CAB28.(1)求ACM的度数；(2)在MN上是否存在一点D，使ABCDACBC？为什么？解：(1)AB是直径，ACB90.又CAB28，CBA62.MN是切线，C为切点，ACM62.(2)在MN上存在符合条件的点D.证明如下：过点A作ADMN，垂足为D，如图，在RtABC和RtACD中，MN切半圆于点C，ABCACD.ABCACD.ABCDACBC.同理，过B点向MN作垂线，垂足D同样符合条件圆的切线的判定及性质例2如图，已知弦AB与O的半径相等，连结OB并延长使BCOB.(1)问AC与O的位置关系是怎样的；(2)试在O上找一点D，使ADAC.自主解答(1)AB与O的半径相等，OAB为正三角形，OAB60OBA.又BCOBAB，BACC30，故OAC90，AC与O相切(2)延长BO交O于D，连结AD，则必有ADAC.理由如下：BOA60，OAOD，D30.又C30，CD，ADAC.证明直线是圆的切线的方法证明直线是圆的切线的方法：若已知直线经过圆上某点(或已知直线与圆有公共点)，则连结圆心和这个公共点，设法证明直线垂直于这条半径；如果已知条件中直线与圆的公共点不明确(或没有公共点)，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，设法证明这条垂线段的长等于圆的半径2如图，O1和O2内切于点P，且O1过点O2，PB是O2的直径，A为O2上的点，连结AB，过O1作O1CAB于点C，连结CO2，若PA，PB4，求证：BA是O1的切线证明：O1CAB，O1CB90.又O1和O2内切于点P,PB是O2的直径，PB过O1且PAB90，O1CPA，.O1过点O2，PB4，O1B3，O1P1.又PA，O1C1.BA是O1的切线与圆有关的比例线段问题例3(xx天津高考改编)如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF3，FB1，EF，求线段CD的长自主解答因为AFFBCFFE，所以CF2，又BD，设CDx，则AD4x，又BD2x4xx.与圆有关的比例线段问题的解题方法涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理3.如图所示，PA切O于点A，割线PBC交O于点B，C，APC的角平分线分别与AB，AC相交于点D，E，求证：(1)ADAE；(2)AD2DBEC.证明：(1)AEDEPCC，ADEAPDPAB.因为PE是APC的角平分线，故EPCAPD.又PA是O的切线，故CPAB.所以AEDADE.故ADAE.(2)PE是APC角平分线，ADAE，；.又PA是切线，PBC是割线PA2PBPC.故，又ADAE，故AD2DBEC.3个结论直线与圆位置关系的三个相关结论(1)切点与圆心的连线与圆的切线垂直；过切点且与圆的切线垂直的直线过圆心；(2)相离两圆的内公切线夹在外公切线间的线段长等于两圆外公切线的长；(3)若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别地，对定线段张角为直角的点共圆5种方法与圆有关的辅助线的五种方法(1)有弦，作弦心距；(2)有直径，作直径所对的圆周角；(3)有切点，作过切点的半径；(4)两圆相交，作公共弦；(5)两圆相切，作公切线2种思路解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形比例式等积式”在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握. 易误警示与圆有关的计算问题中的误区典例(xx陕西高考改编)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EFDB，垂足为F，若AB6，AE1，求DFDB.解由相交弦定理可知，DE2AEEB5，又易知EBDFED，得DFDBDE25.(1)因不知道相交弦定理，得不出AEEBDE2；(2)因找不出相似三角形，得不出等积式；(3)解答此类问题还易对基本知识了解不够、定理记忆不准等而出现错误如图所示，已知在ABC中，ABC90，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连结DB，DE，OC.若AD2，AE1，求CD的长解：由切割线定理得AD2AEAB，所以AB4，EBABAE3.又OCDADE90CDB，AA，ADEACO，即，CD3.故CD的长等于3.1如图，在ABC中，ABC90，以BC为直径的圆O交AC于点D，连结OD，并延长交BA的延长线于点E，圆O的切线DF交EB于F.(1)证明：AFBF；(2)若ED8，sin E，求OC的长解：(1)证明：连结BD，则BDC90，由DF是切线，得FBFD，FDOEDF90，FDAADEFDABCD90，BADBCD90.FDABAD.FAFD，AFBF.(2)sin E，OC32.2如图，已知AP是圆O的切线，P为切点，AC是圆O的割线，与圆O交于B、C两点，圆O在PAC的内部，点M是BC的中点(1)证明A、P、O、M四点共圆；(2)求OAMAPM的大小解：(1)证明：连结OP、OM.因为AP与圆O相切，所以OPAP.因为M是圆的弦BC的中点，所以OMBC.于是OPAOMA180.由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A、P、O、M四点共圆(2)由(1)，得A、P、O、M四点共圆，所以OAMOPM.由(1)，得OPAP.由圆心O在PAC的内部，可知OPMAPM90，所以OAMAPM90.3.(xx宿迁模拟)如图，AB是O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF 垂直BA的延长线于点F.求证：(1)AEDAFD；(2)AB2BEBDAEAC.证明：(1)连结AD.因为AB为圆的直径，所以ADB90，又EFAB，EFA90，则A、D、E、F四点共圆DEADFA.(2)由(1)知，BDBEBABF.连结BC，显然ABCAEF，.即ABAFAEAC.BEBDAEACBABFABAFAB(BFAF)AB2.4(xx辽宁高考)如图，O和O相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交O于点E.证明：(1)ACBDADAB；(2)ACAE.证明：(1)由AC与O相切于A，得CABADB，同理ACBDAB，所以ACBDAB.从而，即ACBDADAB.(2)由AD与O相切于A，得AEDBAD，又ADEBDA，得EADABD.从而，即AEBDADAB.结合(1)的结论，ACAE.5如图，ABC内接于O，且ABAC，过点A的直线交O于点P，交BC的延长线于点D.(1)求证：AC2APAD；(2)如果ABC60，O的半径为1，且P为弧的中点，求AD的长解：(1)证明：连结BP.ABAC，ABCACB.又ACBAPB，ABCAPB.ABPADB.，即AB2APAD.ABAC，AC2APAD.(2)ABC60且ABAC，ABC是等边三角形BAC60.P为弧AC的中点ABPPAC30.BAP90.BP是O的直径BP2.APBP1.在RtPAB中，AB2BP2AP23，AD3.1.如图所示，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD，OAP30，求CP的长解：由题意知OPAB，且APa，根据相交弦定理AP2CPPD，CPa.2(xx韶关调研)如图所示，O和O相交于A、B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D，若BC4，BD9，求AB的长解：因为AC、AD分别是两圆的切线，所以C2，1D，所以ACBDAB.所以，所以AB2BCBD，又BC4，BD9，因此AB6.3如图，在ABC中，CD是ACB的角平分线，ACD的外接圆交BC于点E，AB2AC.(1)求证：BE2AD；(2)当AC1，BC2时，求AD的长解：(1)证明：连结DE，因为ACED是圆的内接四边形，所以BDEBCA.又DBECBA，所以BDEBCA，即有.而AB2AC，所以BE2DE.又CD是ACB的平分线，所以ADDE，从而BE2AD.(2)由条件得AB2AC2，设ADt，根据割线定理得BDBABEBC，即(ABAD)BA2ADBC，所以(2t)22t2，解得t，即AD.4(xx江苏高考)如图所示，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1r2)圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)求证：ABAC为定值证明：连结AO1，并延长分别交两圆于点E和点D.连结BD，CE.因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径从而ABDACE.所以BDCE，于是.所以ABAC为定值