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小专题(三)二次函数的图象与性质本专题包括二次函数的图象及性质的简单应用、二次函数图象上点的坐标特点、二次函数图象的平移变换等内容,属于中考热点问题,熟练掌握二次函数的图象及性质、对称轴、顶点坐标、二次函数的最值等知识点是解题的关键.类型1二次函数的图象及应用1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,下列结论:a0;该函数的图象关于直线x=1对称;当x=-1或x=3时,函数y的值都等于0.其中正确结论的个数是(B)A.3B.2C.1D.02.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是(C)3.如图,二次函数的图象经过(-2,-1),(1,1)两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是(D)A.y的最大值小于0B.当x=0时,y的值大于1C.当x=-1时,y的值大于1D.当x=-3时,y的值小于0类型2二次函数性质的应用4.(泸州中考)已知抛物线y=14x2+1具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x轴的距离始终相等.如图,点M的坐标为(3,3),P是抛物线y=14x2+1上一个动点,则PMF周长的最小值是(C)A.3B.4C.5D.6提示:过点M作MEx轴于点E,交抛物线y=14x2+1于点P,此时PMF周长最小.5.如图,已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0).(1)求m的值及抛物线的顶点坐标;(2)P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.解:(1)把点(3,0)代入y=-x2+mx+3,得0=-32+3m+3,解得m=2,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,顶点坐标为(1,4).(2)连接BC交抛物线对称轴l于点P,则此时PA+PC的值最小,设直线BC的表达式为y=kx+b,直线BC经过点C(0,3),点B(3,0),3k+b=0,b=3,解得k=-1,b=3,直线BC的表达式为y=-x+3,当x=1时,y=-1+3=2,当PA+PC的值最小时,点P的坐标为(1,2).6.如图,已知二次函数y=x2-2x-1的图象的顶点为A.二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C,它的顶点B在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上.(1)求点A与点C的坐标;(2)当四边形AOBC为菱形时,求函数y=ax2+bx的关系式.解:(1)y=x2-2x-1=(x-1)2-2,点A的坐标为(1,-2).抛物线y=ax2+bx的顶点B在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上.B点的横坐标为1,则对称轴-b2a=1,b=-2a.对于y=ax2+bx,令y=0,得ax2+bx=0,解得x1=0,x2=-ba,则x2=-ba=2aa=2,即点C的坐标为(2,0).(2)当四边形AOBC为菱形时,由菱形的对角线互相垂直平分,得B点坐标为(1,2),则b=-2a,a+b=2,解得a=-2,b=4.函数y=ax2+bx的关系式为y=-2x2+4x.类型3二次函数图象上点的坐标特点7.如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M(1,1),则称此抛物线为定点抛物线.(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目:请你写出一条定点抛物线的一个表达式.小敏写出了一个答案:y=2x2+3x-4,请你写出一个不同于小敏的答案;(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题:已知定点抛物线y=-x2+2bx+c+1,求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的表达式,请你解答.解:(1)y=x2-2x+2.(答案不唯一)(2)定点抛物线的顶点坐标为(b,c+b2+1),且-1+2b+c+1=1,c=1-2b,顶点纵坐标c+b2+1=2-2b+b2=(b-1)2+1,当b=1时,c+b2+1最小,即抛物线顶点纵坐标的值最小,此时c=-1,抛物线的表达式为y=-x2+2x.类型4二次函数图象的平移变换8.(淄博中考)将二次函数y=x2+2x-1的图象沿x轴向右平移2个单位长度,得到的函数表达式是(D)A.y=(x+3)2-2B.y=(x+3)2+2C.y=(x-1)2+2D.y=(x-1)2-29.已知抛物线C1:y=59(x+2)2-5的顶点为P,与x轴正半轴交于点B,抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛物线记为C3,C3的顶点为M,当点P,M关于点B成中心对称时,求C3的表达式.解:点P的坐标为(-2,-5),令y=0,得59(x+2)2-5=0,解得x1=1,x2=-5,点B的坐标为(1,0),点P,M关于点B对称,点M的坐标为(4,5),抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,抛物线C2向右平移得到C3,抛物线C3的表达式为y=-59(x-4)2+5.10.如图所示的抛物线是由抛物线y=-x2经过平移而得到.这时抛物线过原点O和x轴正半轴上一点A,顶点为P,OPA=90.(1)求抛物线的顶点P的坐标及抛物线的表达式;(2)求如图所示的抛物线对应的二次函数在-12x12时的最大值和最小值.解:(1)由题意可设y=-(x-a)2+b(a0),抛物线过点(0,0),代入得0=-a2+b,b=a2,y=-(x-a)2+a2.过点P作PMx轴于点M,则OM=a,PM=a2.P是抛物线的顶点,OPA=90,PO=PA,OM=AM=PM,a2=a,解得a=1或a=0(舍去),点P的坐标为(1,1),抛物线的表达式为y=-(x-1)2+1=-x2+2x.(2)抛物线的表达式为y=-(x-1)2+1,抛物线的对称轴是直线x=1,又抛物线开口向下,当-12x12时,y随x的增大而增大.当x=12时,y最大=-14+212=34;当x=-12时,y最小=-14-212=-54.
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