资源描述
1.111.1集合的含义与表示第一课时集合的含义预习课本P23，思考并完成以下问题 (1)集合和元素的含义是什么？它们各自用什么字母表示？ (2)元素和集合之间有哪两种关系？常见的数集有哪些？分别用什么符号表示？ 1元素与集合的概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素元素常用小写的拉丁字母a，b，c，表示(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，表示(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的(4)元素的特性：确定性、无序性、互异性点睛集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物2元素与集合的关系关系语言描述记法读法属于a是集合A中的元素aAa属于集合A不属于a不是集合A中的元素aAa不属于集合A点睛对元素和集合之间关系的两点说明(1)符号“”“”刻画的是元素与集合之间的关系对于一个元素a与一个集合A而言，只有“aA”与“aA”这两种结果(2)和具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R0是错误的3常用的数集及其记法常用的数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或NZQR1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)你班所有的姓氏能组成集合()(2)新课标数学人教A版必修1课本上的所有难题()(3)一个集合中可以找到两个相同的元素 ()答案：(1)(2)(3)2下列元素与集合的关系判断正确的是()A0NBQC.Q D1Z答案：A3已知集合A中含有3个元素2,4，x2x，且6A，则x的值是()A2 B2C3 D3或2答案：D4方程x210与方程x10所有解组成的集合中共有_个元素答案：2集合的基本概念例1考察下列每组对象，能构成一个集合的是()某校高一年级成绩优秀的学生；直角坐标系中横、纵坐标相等的点；不小于3的自然数；2016年第31届奥运会金牌获得者ABC D解析中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能构成一个集合；中的对象都满足确定性，所以能构成集合答案B判断一组对象能否组成集合的标准判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合同时还要注意集合中元素的互异性、无序性 活学活用1给出下列说法：中国的所有直辖市可以构成一个集合；高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合；正偶数的全体可以构成一个集合；大于2 011且小于2 016的所有整数不能构成集合其中正确的有_(填序号)解析：中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以错误；中的所有整数能构成集合，所以错误元素与集合的关系答案：例2(1)下列关系中，正确的有()R； Q；|3|N；|Q.A1个 B2个C3个 D4个(2)集合A中的元素x满足N，xN，则集合A中的元素为_解析(1)是实数，是无理数，|3|3是非负整数，|是无理数因此，正确，错误(2)由题意可得：3x可以为1,2,3,6，且x为自然数，因此x的值为2,1,0.因此A中元素有2,1,0.答案(1)C(2)0,1,2判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征 活学活用2已知集合A中有四个元素0,1,2,3，集合B中有三个元素0,1,2，且元素aA，aB，则a的值为()A0 B1C2 D3解析：选DaA，aB，由元素与集合之间的关系知，a3.3用适当的符号填空：已知Ax|x3k2，kZ，Bx|x6m1，mZ，则有：17_A；5_A；17_B.解析：令3k217得，k5Z.所以17A.令3k25得，kZ.所以5A.令6m117得，m3Z，所以17B.答案：集合中元素的特性及应用例3已知集合A含有两个元素a和a2，若1A，则实数a的值为_解析若1A，则a1或a21，即a1.当a1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，a1；当a1时，集合A含有两个元素1，1，符合元素的互异性a1.答案1一题多变1变条件本例若将条件“1A”改为“2A”，其他条件不变，求实数a的值解：因2A，则a2或a22即a2，或a，或a.2变条件本例若去掉条件“1A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？解：因A中有两个元素a和a2，则由aa2解得a0且a1.3变条件已知集合A含有两个元素1和a2，若“aA”，求实数a的值解：由aA可知，当a1时，此时a21，与集合元素的互异性矛盾，所以a1.当aa2时，a0或1(舍去)综上可知，a0.根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤层级一学业水平达标1下列说法正确的是()A某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B由1,2,3和 ，1，组成的集合不相等C不超过20的非负数组成一个集合D方程(x1)(x1)20的所有解构成的集合中有3个元素解析：选CA项中元素不确定B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等D项中方程的解分别是x11，x2x31.由互异性知，构成的集合含2个元素2已知集合A由x1的数构成，则有()A3AB1AC0A D1A解析：选C很明显3,1不满足不等式，而0，1满足不等式3下面几个命题中正确命题的个数是()集合N*中最小的数是1；若aN*，则aN*；若aN*，bN*，则ab最小值是2；x244x的解集是2,2A0 B1C2D3解析：选CN*是正整数集，最小的正整数是1，故正确；当a0时，aN*，且aN*，故错；若aN*，则a的最小值是1，又bN*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，ab取最小值2，故正确；由集合元素的互异性知是错误的故正确4已知集合A含有三个元素2,4,6，且当aA，有6aA，则a为()A2 B2或4C4 D0解析：选B若a2A，则6a4A；或a4A，则6a2A；若a6A，则6a0A.故选B.5由实数a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是()A1 B2C3D4解析：选B当a0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a0时，|a|所以一定与a或a中的一个一致故组成的集合中有两个元素，故选B.6下列说法中：集合N与集合N是同一个集合；集合N中的元素都是集合Z中的元素；集合Q中的元素都是集合Z中的元素；集合Q中的元素都是集合R中的元素其中正确的有_(填序号)解析：因为集合N表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以中的说法不正确，中的说法正确答案：7已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若aA，bB，则ab_A，ab_A(填或)解析：a是偶数，b是奇数，ab是奇数，ab是偶数，故abA，abA.答案：8已知集合P中元素x满足：xN，且2xa，又集合P中恰有三个元素，则整数a_.解析：xN,2xa，且集合P中恰有三个元素，结合数轴知a6.答案：69设A是由满足不等式x6的自然数组成的集合，若aA且3aA，求a的值解：aA且3aA，解得a2.又aN，a0或1.10已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若AB，求实数x，y的值解：因为集合A，B相等，则x0或y0.(1)当x0时，x20，则B0,0，不满足集合中元素的互异性，故舍去(2)当y0时，xx2，解得x0或x1.由(1)知x0应舍去综上知：x1，y0.层级二应试能力达标1下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是()AP是由元素1，构成的集合，Q是由元素，1，|构成的集合BP是由构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合CP是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合DP是满足不等式1x1的自然数构成的集合，Q是方程x21的解集解析：选A由于A中P，Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合故选A.2若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是()A梯形B平行四边形C菱形 D矩形解析：选A由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等3若集合A中有三个元素1，ab，a；集合B中有三个元素0，b.若集合A与集合B相等，则ba()A1 B1C2 D2解析：选C由题意可知ab0且a0，ab，1.a1，b1，故ba2.4已知a，b是非零实数，代数式的值组成的集合是M，则下列判断正确的是()A0M B1MC3M D1M解析：选B当a，b全为正数时，代数式的值是3；当a，b全是负数时，代数式的值是1；当a，b是一正一负时，代数式的值是1.综上可知B正确5不等式xa0的解集为A，若3A，则实数a的取值范围是_解析：因为3A，所以3是不等式xa0的解，所以3a3.答案：a36若集合A中含有三个元素a3,2a1，a24，且3A，则实数a的值为_解析：(1)若a33，则a0，此时A3，1，4，满足题意(2)若2a13，则a1，此时A4，3，3，不满足元素的互异性(3)若a243，则a1.当a1时，A2,1，3，满足题意；当a1时，由(2)知不合题意综上可知：a0或a1.答案：0或17集合A中共有3个元素4,2a1，a2，集合B中也共有3个元素9，a5,1a，现知9A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由解：9A，2a19或a29，若2a19，则a5，此时A中的元素为4,9,25；B中的元素为9,0，4，显然4A且4B，与已知矛盾，故舍去若a29，则a3，当a3时，A中的元素为4,5,9；B中的元素为9，2，2，B中有两个2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去当a3时，A中的元素为4，7,9；B中的元素为9，8,4，符合题意综上所述，满足条件的a存在，且a3.8设A为实数集，且满足条件：若aA，则A(a1)求证：(1)若2A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集证明：(1)若aA，则A.又2A，1A.1A，A.A，2A.A中必还有另外两个元素，且为1，.(2)若A为单元素集，则a，即a2a10，方程无解a，集合A不可能是单元素集第二课时集合的表示预习课本P35，思考并完成以下问题(1)集合有哪两种表示方法？它们如何定义？ (2)它们的使用条件各是什么？又如何用符号表示？ 1列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫做列举法点睛列举法表示集合时的4个关注点(1)元素与元素之间必须用“，”隔开(2)集合中的元素必须是明确的(3)集合中的元素不能重复(4)集合中的元素可以是任何事物2描述法(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征点睛描述法表示集合时的3个关注点(1)写清楚集合中元素的符号如数或点等(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等(3)不能出现未被说明的字母1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为1,1,2,3()(2)集合(1,2)中的元素是1和2.()(3)集合Ax|x10与集合B1表示同一个集合()答案：(1)(2)(3)2方程组的解集是()A(1,2)B(1，2)C(1,2) D(1，2)答案：C3不等式x32且xN*的解集用列举法可表示为()A0,1,2,3,4B1,2,3,4C0,1,2,3,4,5 D1,2,3,4,5答案：B4不等式4x57的解集为_答案：x|4x50，y0(3)偶数可表示为2n，nZ，又因为大于4，故n3，从而用描述法表示此集合为x|x2n，nZ且n3描述法表示集合的2个步骤 活学活用3用符号“”或“”填空：(1)Ax|x2x0，则1_A，1_A；(2)(1,2)_(x，y)|yx1解析：(1)易知A0,1，故1A，1A；(2)将x1，y2代入yx1，等式成立答案：(1)(2)4用适当的方法表示下列集合：(1)已知集合Px|x2n,0n2且nN；(2)抛物线yx22x与x轴的公共点的集合；(3)直线yx上去掉原点的点的集合解：(1)列举法：P0,2,4(2)描述法：.或列举法：(0,0)，(2,0)集合表示法的综合应用(3)描述法：(x，y)|yx，x0例3(1)若集合AxR|ax22x10，aR中只有一个元素，则a()A1 B2C0 D0或1(2)设，则集合中所有元素之积为_解析(1)当a0时，原方程变为2x10，此时x，符合题意；当a0时，方程ax22x10为一元二次方程，44a0，即a1，原方程的解为x1，符合题意故当a0或a1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素(2)因为，所以2a0，解得：a，当a时，方程x2x0的判别式240，所以集合的所有元素的积为方程的两根之积等于.答案(1)D(2)解答此类问题的策略(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键(2)若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键活学活用5已知集合Ax|x2axb0，若A2,3，求a，b的值解：由A2,3知，方程x2axb0的两根为2,3，由根与系数的关系得，因此a5，b6.6设集合B.试判断元素1,2与集合B的关系；用列举法表示集合B.解：(1)当x1时，2N.当x2时，N.所以1B,2B.(2)N，xN，2x只能取2,3,6.x只能取0,1,4.B0,1,4.集合含义的再认识例4用描述法表示抛物线yx21上的点构成的集合解抛物线yx21上的点构成的集合可表示为：(x，y)|yx21一题多变1变条件，变设问本题中点的集合若改为“x|yx21”，则集合中的元素是什么？解：集合x|yx21的代表元素是x，且xR，所以x|yx21中的元素是全体实数2变条件，变设问本题中点的集合若改为“y|yx21”，则集合中的元素是什么？解：集合y|yx21的代表元素是y，满足条件yx21的y的取值范围是y1，所以y|yx21y|y1，所以集合中的元素是大于等于1的全体实数识别集合含义的2个步骤(1)一看代表元素：例如x|p(x)表示数集，(x，y)|yp(x)表示点集(2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性) 层级一学业水平达标1已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是()A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形 D等腰三角形解析：选D集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.2下列集合中，不同于另外三个集合的是()Ax|x1 Bx|x21C1 Dy|(y1)20解析：选Bx|x211,1，另外三个集合都是1，选B.3已知Mx|x1，那么()A2M，2M B2M，2MC2M，2M D2M，2M解析：选A若x2，则x11，所以2M；若x2，则x13，所以2M.故选A.4下列集合的表示方法正确的是()A第二、四象限内的点集可表示为(x，y)|xy0，xR，yRB不等式x14的解集为x5C全体整数D实数集可表示为R解析：选D选项A中应是xy0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“”与“全体”意思重复5方程组的解集是()A(5,4) B(5，4)C(5,4) D(5，4)解析：选D解方程组得故解集为(5，4)，选D.6设集合A1，2，a21，B1，a23a,0，若A，B相等，则实数a_.解析：由集合相等的概念得解得a1.答案：17设5x|x2ax50，则集合x|x2ax30_.解析：由题意知，5是方程x2ax50的一个根，所以(5)25a50，得a4，则方程x2ax30，即x24x30，解得x1或x3，所以x|x24x301,3答案：1,38若A2,2,3,4，Bx|xt2，tA，用列举法表示集合B为_解析：由题意可知集合B是由A中元素的平方构成的，故B4,9,16答案：4,9,169用适当的方法表示下列集合：(1)一年中有31天的月份的全体；(2)由直线yx4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合解：(1)1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月(2)用描述法表示该集合为M(x，y)|yx4，xN，yN，或用列举法表示该集合为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)10含有三个实数的集合A，若0A且1A，求a2 016b2 016的值解：由0A，“0不能做分母”可知a0，故a20，所以0，即b0.又1A，可知a21或a1.当a1时，得a21，由集合元素的互异性，知a1不合题意当a21时，得a1或a1(由集合元素的互异性，舍去)故a1，b0，所以a2 016b2 016的值为1.层级二应试能力达标1下列命题中正确的是()A集合x|x21，xR中有两个元素B集合0中没有元素C.x|x2D1,2与2,1是不同的集合解析：选Ax|x21，xR1，1；集合0是单元素集，有一个元素，这个元素是0；x|x2x|x，所以x|x8，且x4答案：B4设aR，若集合2,91a,9，则a_.答案：1集合间关系的判断例1指出下列各对集合之间的关系：(1)A1,1，B(1，1)，(1,1)，(1，1)，(1,1)(2)Ax|1x4，Bx|x50(3)Ax|x是等边三角形，Bx|x是等腰三角形(4)Mx|x2n1，nN*，Nx|x2n1，nN*解(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系(2)集合Bx|x5，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB.(3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于nN*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.判断集合间关系的2种方法(1)用定义判断首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则AB，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则BA，否则B不是A的子集；若既有AB，又有BA，则AB.(2)数形结合判断对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍 活学活用1能正确表示集合MxR|0x2和集合NxR|x2x0关系的Venn图是()解析：选B解x2x0得x1或x0，故N0,1，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示2已知集合Ax|x23x20，B1,2，Cx|x8，xN，用适当的符号填空：(1)A_B；(2)A_C；(3)2_C；(4)2_C.解析：集合A为方程x23x20的解集，即A1,2，而Cx|x2m1，即m5.当B时，即m.故实数m的取值范围是m|m52变条件本例若将集合A，B分别改为A3，m2，B1,3,2m1，其他条件不变，求实数m的值解：因为AB，所以m22m1，即(m1)20，所以m1，当m1时，B1,3,1，A3,1满足AB.由集合间的关系求参数的2种方法(1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用；(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点 层级一学业水平达标1已知集合A2，1，集合Bm2m，1，且AB，则实数m等于()A2B1C2或1 D4解析：选CAB，m2m2，m2或m1.2已知集合Ax|1x0，则下列各式正确的是()A0A B0ACA D0A解析：选D集合Ax|1x1，所以0A，0A，A，D正确3已知集合Ax|x是平行四边形，Bx|x是矩形，Cx|x是正方形，Dx|x是菱形，则()AAB BCBCDC DAD解析：选B由已知x是正方形，则x必是矩形，所以CB，故选B.4已知集合Px|x21，Qx|ax1，若QP，则a的值是()A1 B1C1或1 D0,1或1解析：选D由题意，当Q为空集时，a0；当Q不是空集时，由QP，a1或a1.5已知集合A0,1,2，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为()A6 B5C4 D3解析：选A集合0,1,2的子集为：，0，1，2，0,1，0,2，1,2，0,1,2，其中含有偶数的集合有6个故选A.6集合(1,2)，(3,4)的所有非空真子集是_解析：(1,2)，(3,4)的所有真子集有，(1,2)，(3,4)，其非空真子集是(1,2)，(3,4)答案：(1,2)，(3,4)7设x，yR，A(x，y)|yx，B，则A，B的关系是_解析：因为B(x，y)|yx，且x0，故BA.答案：BA8已知集合Ax|x3，集合Bx|x2.(2)若BA，由图可知，1a2.10设集合A1,3，a，B1，a2a1，且BA，求a的值解：BA，a2a13或a2a1a.(1)当a2a13时，解得a1或a2.经检验，满足题意(2)当a2a1a时，解得a1，此时集合A中的元素1重复，故a1不合题意综上所述，a1或a2为所求层级二应试能力达标1设集合Ax，y，B0，x2，若AB，则2xy等于()A0B1C2 D1解析：选C由AB，得x0或y0.当x0时，x20，此时B0,0，不满足集合中元素的互异性，舍去；当y0时，xx2，则x0或x1.由上知x0不合适，故y0，x1，则2xy2.2已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则满足条件ACB的集合C的个数为()A1 B2C3 D4解析：选D因为集合A1,2，B1,2,3,4，所以当满足ACB时，集合C可以为1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4，故集合C有4个3已知集合Ax|x3k，kZ，Bx|x6k，kZ，则A与B之间的关系是()AAB BABCAB DAB解析：选D对于x3k(kZ)，当k2m(mZ)时，x6m(mZ)；当k2m1(mZ)时，x6m3(mZ)由此可知AB.4已知集合Ax|ax22xa0，aR，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是()A1 B1C0,1 D1,0,1解析：选D因为集合A有且仅有两个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax22xa0(aR)仅有一个根当a0时，方程化为2x0，此时A0，符合题意当a0时，由224aa0，即a21，故a1.此时A1，或A1，符合题意综上所述，a0，或a1.5设集合A1,3，a，B1,12a，且BA，则a的值为_解析：由题意，得12a3或12aa，解得a1或a.当a1时，A1,3，1，B1,3，符合题意；当a时，A，B，符合题意所以a的值为1或.答案：1或 6已知My|yx22x1，xR，Nx|2x4，则集合M与N之间的关系是_解析：y(x1)222，My|y2，NM.答案：NM7已知AxR|x3，BxR|ax2a1，若BA，求实数a的取值范围解：BA，B的可能情况有B和B两种当B时，BA，或成立，解得a3；当B时，由a2a1，得a1.综上可知，实数a的取值范围是a|a38设集合Ax|1x16，Bx|m1x2时，Bx|m1x2m1，因此，要BA，则只要1m2.综上所述，知m的取值范围是m|1m2或m211.3集合的基本运算第一课时并集与交集预习课本P810，思考并完成以下问题(1)两个集合的并集与交集的含义是什么？它们具有哪些性质？ (2)怎样用Venn图表示集合的并集和交集？ 1并集和交集的概念及其表示类别概念自然语言符号语言图形语言并集由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作AB(读作“A并B”)ABx|xA，或xB交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AB(读作“A交B”)ABx|xA，且xB点睛(1)两个集合的并集、交集还是一个集合(2)对于AB，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素(3)AB是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成2并集与交集的运算性质并集的运算性质交集的运算性质ABBAABBAAAAAAAAAAABABBABABA1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)并集定义中的“或”就是“和”()(2)AB表示由集合A和集合B中元素共同组成()(3)AB是由属于A且属于B的所有元素组成的集合()答案：(1)(2)(3)2设集合M1,0,1，N0,1,2，则MN等于()A0,1B1,0,1C0,1,2 D1,0,1,2答案：D3若集合Ax|5x2，Bx|3x3，则AB()Ax|3x2 Bx|5x2Cx
展开阅读全文