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标准仿真模拟练（四）(120分钟150分)第卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.设集合A=x|1x1,B=x|y=2x-16,则A(RB)等于()A.(-,1)B.(0,1)C.(0,4)D.(1,4)【解析】选B.由1x1得0x1,所以A=(0,1),由2x-160得x4,所以B=4,+),所以RB=(-,4),所以A(RB)=(0,1).2.下列说法错误的是()A.命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a0,则ab0”B.如果命题“p”与命题“p或q”都是真命题,那么命题q一定是真命题C.若命题p:x0R,x02-x0+10,所以y1=2-ax是减函数,因为y=loga(2-ax)在0,1上是减函数,所以a1,且2-a0,所以1a2.7.已知sin =m-3m+5,cos =4-2mm+52,则tan2等于()A.m-39-mB.m-39-mC.13D.5【解析】选D. 由于受条件sin2+cos2=1的制约,故m为定值,于是sin ,cos 的值应与m的值无关,进而推知tan2的值与m无关,又2,421.8.已知偶函数f(x)在区间0,+)上单调递减,则满足不等式f(2x-1)f53成立的x的取值范围是()A.-13,43B.-13,43C.13,43D.13,43【解析】选B.因为偶函数f(x)在区间0,+)上单调递减,所以f(x)在区间(-,0上调递增,若f(2x-1)f53,则-532x-153,解得-13x2 019的最小正整数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入()A.S2 019?和n=n+1B.S2 019?和n=n+2C.S2 019?和n=n+1D.S2 019?和n=n+2【解析】选C.因为要求S2 019时输出,且框图中在“否”时输出,所以“”中不能输入S2 019,排除A、B,又因为n初始值为1,所以“”中n依次加1可保证是n个连续正整数的倒数和.10.设F1,F2分别为椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)与双曲线C2:x2a12-y2b12=1(a10,b10)的公共左,右焦点,它们在第一象限内交于点M,F1MF2=90,若椭圆C1的离心率e34,32,则双曲线C2的离心率e1的取值范围是()A.62,322B.1,62C.322,+D.322,4【解析】选A.由已知得|MF1|+|MF2|=2a,|MF1|-|MF2|=2a1,所以|MF1|=a+a1, |MF2|=a-a1,又因为F1MF2=90,所以|MF1|2+|MF2|2=4c2,即(a+a1)2+(a-a1)2=4c2,即a2+a12=2c2,所以1e2+1e12=2,所以e12=12-1e2,因为e34,32,所以916e234,即431e2169,292-1e223,所以32e1292,所以e162,322.11.设a0,若关于x,y的不等式组ax-y+20,x+y-20,x-20表示的可行域与圆(x-2)2+y2=9存在公共点,则z=x+2y的最大值的取值范围为()A.8,10B.(6,+)C.(6,8D.8,+)【解析】选D.画出不等式组表示的区域如图,结合图形可知当点A(2,2a+2)在圆C外(上)时,可行域与圆C:(x-2)2+y2=9有公共点,即|2a+2|3,即a12时可行域与圆C:(x-2)2+y2=9有公共点,此时动直线y=-12x+12z经过点A(2,2a+2)时,在y上的截距z2最大,其最大值为zmax=2+4a+4=4a+68.12.已知函数f(x)=x2+m与函数g(x)=-ln1x-3xx12,2的图象上恰有两对关于x轴对称的点,则实数m的取值范围是()A.54+ln2,2B.2-ln2,54+ln2C.54-ln2,2-ln2D.(2-ln2,2【解析】选A.由题意可将问题转化为方程f(x)+g(x)=0在12,2上有两个不等的实数根,即方程m=3x-x2-lnx,x12,2有两个不等的实数根,令F(x)=3x-x2- lnx,x12,2,则F(x)=3-2x-1x=-(2x-1)(x-1)x,x12,2,当x12,1时,F(x)0,函数F(x)=3x-x2-lnx单调递增;当x1,2时,F(x)2-ln2,所以结合图象可知当m54+ln2,2时,函数F(x)=3x-x2-lnx,x12,2与直线y=m的图象有两个不同的交点.第卷本卷包含必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题第23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.如图是半径分别为1,2,3的三个同心圆,现随机向最大圆内抛一粒豆子,则豆子落入图中阴影部分的概率为_.【解析】由题意D=9,d=(22-12)=3,则由几何概型的计算公式可得概率P=dD=39=13.答案:1314.设集合M=xmxm+34,N=xn-13xn,且M,N都是集合0|0x1的子集,如果把b-a叫作集合x|axb的“长度”,那么集合MN的“长度”的最小值是_.【解析】由已知,可得m0,m+341,即0m14;n-130,n1,即13n1,取m的最小值0,n的最大值1,可得M=0,34,N=23,1.所以MN=0,3423,1=23,34.此时集合MN的“长度”的最小值为34-23=112.答案:11215.已知函数f(x)=1x+1,点O为坐标原点,点An(n,f(n)(nN*),向量i=(0,1),n是向量与向量i的夹角,则cos 1sin 1+cos 2sin 2+cos 2 017sin 2 017的值为_.【解析】因f(n)=1n+1,则Ann,1n+1,则i=1n+1,其夹角的余弦值为cos n=1n(n+1)2+1,则sin n=1-11+n2(n+1)2=n(n+1)1+n(n+1)2,所以cos nsin n=1n(n+1)=1n-1n+1,故cos 1sin 1+cos 2sin 2+cos 2 017sin 2 017=11-12+12-13+12 017-12 018=1-12 018=2 0172 018.答案:2 0172 01816.在四边形ABCD中,若AB=2,BC=22,AD=2CD,=0,则|的最大值为_.【解析】设DC=t,则AC=t,在ABC中,由余弦定理得cos ACB=8+t2-442t=t2+442t,则sin ACB=1-t2+442t2=32t2-t4-8t2-1632t2=-t4+24t2-1642t=128-(t2-12)242t.在DBC中,由余弦定理得DB2=t2+8-42tcos(ACB+90)=t2+8+42tsinACB=t2+8+128-(t2-12)2,即DB2=t2+8+128-(t2-12)2,不妨设t2-12=82cos 00),经化简后利用“五点法”画其在某一周期内的图象时,列表并填入的部分数据如表:x2353f(x)010-10(1)请直接写出处应填的值,并求函数f(x)在区间-2,3上的值域.(2)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知f(A+3)=1,b+c=4,a=7,求ABC的面积.【解析】(1)处应填入6.f(x)=32sin 2x-1+cos2x2+12=32sin 2x-12cos 2x=sin2x-6.因为T=253-23=2,所以22=2,所以=12,即f(x)=sinx-6.因为x-2,3,所以-23x-66,所以-1sinx-612,故f(x)在区间-2,3上的值域为-1,12.(2)f(A+3)=sinA+6=1,因为0A,所以6A+6k)0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.635【解析】(1)支持不支持合计年龄不大于50岁206080年龄大于50岁101020合计3070100(2)K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(200-600)2802030704.7623.841,所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关.(3)记5人为abcde,其中ab表示教师,从5人中任意抽3人的所有等可能事件是:abc,abd,abe,acd,ace,ade,bcd,bce,bde,cde共10个,其中至多有1位教师的有7个基本事件:acd,ace,ade,bcd,bce,bde,cde,所以所求概率是710.19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,PAD是等边三角形,平面PAD平面ABCD,已知AD=2,BD=23,AB=2CD=4.(1)设M是PC上一点,求证:平面MBD平面PAD.(2)求四棱锥P-ABCD的体积.【解析】(1)在三角形ABD中由勾股定理得ADBD,又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以BD平面PAD,又BD平面BDM,所以平面MBD平面PAD.(2)取AD中点为O,则PO是四棱锥的高,PO=3底面ABCD的面积是三角形ABD面积的32,即33,所以四棱锥P-ABCD的体积为13333=3.20.(本小题满分12分)设函数f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-ln x(a,bR),已知它们在x=1处的切线互相平行.(1)求b的值.(2)若函数F(x)=f(x),x0,g(x),x0,且方程F(x)=a2有且仅有四个解,求实数a的取值范围.【解析】函数g(x)=bx2-ln x的定义域为(0,+),(1)f(x)=3ax2-3af(1)=0,g(x)=2bx-1xg(1)=2b-1,依题意得2b-1=0,所以b=12.(2)x(0,1)时,g(x)=x-1x0,即g(x)在(1,+)上单调递增,所以当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=12;当a=0时,方程F(x)=a2不可能有四个解.当a0,x(-,-1)时,f(x)0,即f(x)在(-1,0)上单调递增,所以当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=2a,又f(0)=0,所以F(x)的图象如图甲所示,由图象可知F(x)=a2不可能有四个解.当a0,x(-,-1)时,f(x)0,即f(x)在(-,-1)上单调递增,x(-1,0)时,f(x)0,即f(x)在(-1,0)上单调递减,所以当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2a.又f(0)=0,所以F(x)的图象如图乙所示,由图乙可知,若方程F(x)=a2有四个解,则12a2b0)的一个焦点与抛物线y2=43x的焦点F重合,且椭圆短轴的两个端点与点F构成正三角形.(1)求椭圆的方程.(2)若过点(1,0)的直线l与椭圆交于不同的两点P,Q,试问在x轴上是否存在定点E(m,0),使PEQE恒为定值?若存在,求出E的坐标,并求出这个定值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题意,知抛物线的焦点为F(3,0),所以c=a2-b2=3.因为椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形,所以b=333=1.可求得a=2,故椭圆的方程为x24+y2=1.(2)假设存在满足条件的点E,当直线l的斜率存在时,设其斜率为k,则l的方程为y=k(x-1).由x24+y2=1,y=k(x-1),得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),所以x1+x2=8k24k2+1,x1x2=4k2-44k2+1.则PE=(m-x1,-y1),QE=(m-x2,-y2),所以PEQE=(m-x1)(m-x2)+y1y2=m2-m(x1+x2)+x1x2+y1y2=m2-m(x1+x2)+x1x2+ k2(x1-1)(x2-1)=m2-8k2m4k2+1+4k2-44k2+1+k24k2-44k2+1-8k24k2+1+1=(4m2-8m+1)k2+(m2-4)4k2+1=(4m2-8m+1)k2+14+(m2-4)-14(4m2-8m+1)4k2+1=14(4m2-8m+1)+2m-1744k2+1.要使PEQE为定值,令2m-174=0,即m=178,此时PEQE=3364.当直线l的斜率不存在时,不妨取P1,32,Q1,-32,由E178,0,可得PE=98,-32,QE=98,32,所以PEQE=8164-34=3364.综上,存在点E178,0,使PEQE为定值3364.请考生在第22、23二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知直线l过定点P(1,1),且倾斜角为34,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为-3=2cos .(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程.(2)若直线l与曲线C相交于不同的两点A,B,求|PA|PB|的值.【解析】(1)因为-3=2cos ,所以2-3=2cos ,所以x2+y2-3=2x,所以曲线C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=4,因为直线l过点P(1,1),且倾斜角为34,所以直线l的参数方程为:x=1+tcos34,y=1+tsin34,(t为参数)即x=1-22t,y=1+22t.(t为参数)(2)设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,将直线l与曲线C的方程联立,得:t2+2t-3=0,所以t1t2=3,所以|PA|PB|=|t1|t2|=|t1t2|=3.23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲若x0R,使关于x的不等式|x-1|-|x-2|t成立,设满足条件的实数t构成的集合为T.(1)求集合T.(2)若m1,n1且对于tT,不等式log3mlog3nt恒成立,求m+n的最小值.【解析】(1)|x-1|-|x-2|x-1-(x-2)|=1,所以|x-1|-|x-2|1,所以t的取值范围为(-,1,即T=t|t1.(2)由(1)知,对于tT,不等式log3mlog3nt恒成立,只需log3mlog3ntmax,所以log3mlog3n1,又因为m1,n1,所以log3m0,log3n0,又1log3mlog3nlog3m+log3n22 =(log3mn)24(log3m=log3n时取等号,此时m=n),所以(log3mn)24,所以log3mn2,mn9,所以m+n2mn6,即m+n的最小值为6(此时m=n=3).
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