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24.3 正多边形和圆教学目标【知识与技能】 了解正多边形的有关概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法.能根据定义判定一个多边形是否是正多边形，理解正多边形和圆的关系.【过程与方法】 领会“特殊一般特殊”是认识事物的重要方法.使学生会等分圆周，利用等分圆周的方法构造正多边形，并会设计图案，发展学生的实践能力和创新精神.【情感态度】通过观察、发现、探究等活动，感受数学来源于生活，服务于生活，体现事物之间是相互联系，相互作用的.【教学重点】 正多边形和圆的相关概念及其之间的运算. 【教学难点】探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、弦心距，边长之间的关系.教学过程一、情境导入请同学们观察课件中出示的图片，提问：（1） 你能从图案中找出多边形吗？什么样的图形叫正多边形？（2） 正多边形与圆有怎样的关系？2、 探索新知问题1 把一个圆分成5等份，求证：依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接正五边形.证明：如图，把O分成相等的5段弧，依次连接各分点所得到五边形ABCDE.，AB=BC=CD=DE=EA, .A=B.同理B=C=D=E， 五边形ABCDE是正五边形.问题2 如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？答案：一定.问题3 各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？如果是，说明理由；如果不是，举出反例.答案：各边相等的圆内接多边形是正多边形.理由如下：因为各边相等的圆内接多边形的各角也相等.各角相等的圆内接多边形不是正多边形，如矩形.归纳总结 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.例 有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）.解：如图，连接OB，OC.因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于=60，OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.因此,亭子地基的周长l=46=24（m）.作OPBC，垂足为P.在RtOPC中,OC=4m，PC=2m，利用勾股定理,可得边心距r=（m）.亭子地基的面积S=lr=2441.6（m2）.想一想 你知道如何利用正多边形和圆的关系来画正多边形吗？画正多边形，通常是通过等分圆周的方法来画的.等分圆周有两种方式：（1） 用量角器等分圆周 方法1：由于在同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆. 方法2：先用量角器画一个等于的圆心角，这个圆心角所对的弧就是圆的，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的几等分点.（2） 用尺规等分圆正六边形的作法方法1：画一个圆，用量角器画一个等于=60的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，依次连接各等分点，即可得到正六边形.（如图） 方法2：在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得到半径为R的正六边形.（如图）正四边形的作法用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出正方形.（如图） 3、 巩固练习1.如图，圆内接正五边形ABCDE中，ADB= .2. 分别求出半径为R的圆内接正方形的边长、边心距和面积. 3.用一批共长120m的篱笆围出一块草地来分别计算所围草地是正三角形、正方形、正六边形、圆的面积（精确到0.1m2），并比较它们的大小.答案：1.36 2.解：连接OB，OC，作OEBC，垂足为E.OEB=90,OBE=BOE=45,RtOBE为等腰直角三角形.BE2+OE2=OB2，2OE2=OB2，OE2=.边心距OE=OB=R.边长BC=2BE=2R=R.S正方形ABCD=ABBC=(R)2=2R2. 3.解：由题意，得正三角形的边长为40m，S正三角形=4020=400692.8（m2），正方形的边长为30m，S正方形=3030=900（m2），正六边形的边长为20m，S正六边形=62010=6001039.2（m2），圆的半径为r=（m），S圆=r2=1146.5（m2），因此，在周长都是120m时，S正三角形S正方形S正六边形S圆.五、归纳小结 通过这节课的学习，你知道正多边形和圆有怎样的关系吗？你知道正多边形的半径、边心距、内角、中心角等概念吗？你能画出正多边形吗？布置作业 从教材习题21.3中选取教学反思1.本节课首先从复习正多边形的定义入手，通过创设问题情境，将正多边形与圆紧密联系，让学生发现它们之间的密切关系，并将结论由特殊推广到一般，符合学生的认识规律，通过学习正多边形中的一些基本概念，引导学生将实际问题转化为数学问题，体现了化归的思想.其次，在这一基础上，又教给学生用等分圆周的方法作正多边形，这可以发展学生的作图能力. 2.等分圆周法是一种作正多边形的常见方法，通过作简单的正三角形、正方形、正六边形，一直推广到作正八边形的情况，可以向学生灌输极限的思想，极限是微积分中最主要、最基本的概念，它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势，在高中数学中，极限思想渗透到函数、数列等章节，又衔接高等数学，起着承上启下的作用.
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