高三数学一轮复习 6.1不等关系与不等式课件 .ppt

第六章不等式第一节不等关系与不等式 知识梳理 1 两个实数比较大小的法则设a b R 则a b a b a b a b 0 a b 0 a b 0 2 不等式的基本性质 b a a c a c b c ac bc ac bc a c b d ac bd 3 不等式的一些常用性质 1 倒数性质 a b ab 0 a 0 b 2 有关分数的性质 若a b 0 m 0 则 真分数的性质 假分数的性质 考点自测 1 思考 给出下列命题 一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数 不等号方向不变 一个非零实数越大 则其倒数就越小 同向不等式具有可加和可乘性 两个数的比值大于1 则分子不一定大于分母 其中错误的是 A B C D 解析 选C 错 同乘以一个负数或0时不等号改变 错 如 2 4 对 当这个比值中的分母小于零时 分子小于分母 当这个比值中的分母大于零时 分子大于分母 2 设bb dD a d b c 解析 选C 由同向不等式具有可加性可知C正确 3 若a 1 b 下列不等式中不一定成立的是 A a b 1 bB a 1 b 1C a 1 1 bD 1 a b a 解析 选C 由a 1知a b 1 b 故A正确 由a b知a 1 b 1 故B正确 由1 b知1 a b a 故D正确 C项错误 如当a 3 b 3时 不成立 4 已知a b是实数 则 a 0且b 0 是 a b 0且ab 0 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 解析 选C 由a 0且b 0可知a b 0 ab 0 反之 由ab 0 则a b同号 又a b 0知a 0 b 0 故为充分必要条件 5 2014 杭州模拟 设a 0且a 1 P loga a3 1 Q loga a2 1 则P与Q的大小关系为 解析 由a3 1 0 a2 1 0且a 0可知a 1 又 a3 1 a2 1 a2 a 1 0 故a3 1 a2 1 所以loga a3 1 loga a2 1 即P Q 答案 P Q 6 已知 2 a 1 3 b 2 则a b的取值范围是 a2 b2的取值范围是 解析 因为 2 a 1 3 b 2 所以2 b 3 于是0 a b 2 又因为1 a2 4 4 b2 9 所以5 a2 b2 13 答案 0 2 5 13 考点1用不等式 组 表示不等关系 典例1 1 已知甲 乙两种食物的维生素A B含量如下表 设用甲 乙两种食物各xkg ykg配成至多100kg的混合食物 并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和62000单位维生素B 则x y应满足的所有不等关系为 2 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售 每天可销售100件 现在他采用提高售价 减少进货量的办法增加利润 已知这种商品的售价每提高1元 销售量就相应减少10件 若把提价后商品的售价设为x元 用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为 解题视点 1 利用已知表格数据及题目中的限制条件逐一写出并化简整理可解 2 确定单价变化时相应的每天利润 即可列出不等式 规范解答 1 依题意 有整理化简得答案 2 若提价后商品的售价为x元 则销售量减少件 因此 每天的利润为 x 8 100 10 x 10 元 则 每天的利润不低于300元 可以表示为不等式 x 8 100 10 x 10 300 即x2 28x 190 0 同时10 x 20 答案 x2 28x 190 0 10 x 20 规律方法 用不等式 组 表示不等关系的常见类型及解题策略 1 常见类型 常量与常量之间的不等关系 变量与常量之间的不等关系 函数与函数之间的不等关系 一组变量之间的不等关系 2 解题策略 分析题目中有哪些未知量 选择其中起关键作用的未知量 设为x 再用x来表示其他未知量 根据题目中的不等关系列出不等式 组 提醒 在列不等式 组 时要注意变量自身的范围 解题时极易忽略 从而导致错解 文字语言与符号语言的转化将实际问题中的不等关系写成相应的不等式 组 时 应注意关键性的文字语言与对应数学符号语言之间的正确转换 常见的转换关系如表 变式训练 某厂拟生产甲 乙两种适销产品 甲 乙产品都需要在A B两台设备上加工 在A B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时 2小时 加工一件乙产品所需工时分别为2小时 1小时 A B两台设备每月有效使用时数分别为400和500 写出满足上述所有不等关系的不等式 解析 设甲 乙两种产品的产量分别为x y 则由题意可知 加固训练 1 将一个三边长度分别为5 12 13的三角形的各边都缩短x 构成一个钝角三角形 试用不等式 组 表示x应满足的不等关系 解析 各边都缩短x后 长度仍然为正数 只要最短边大于零即可 因此5 x 0 而要构成三角形 还要满足 5 x 12 x 13 x 当三角形是钝角三角形时 应使最大角是钝角 此时只需最长边对的角是钝角即可 因此 5 x 2 12 x 2 13 x 2 故x应满足的不等关系如下 2 某化工厂制定明年某产品的生产计划 受下面条件的制约 生产此产品的工人不超过200人 每个工人的年工作时间约为2100h 预计此产品明年的销售量至少为80000袋 生产每袋产品需用4h 生产每袋产品需用原料20kg 年底库存原料600t 明年可补充1200t 试根据这些数据预测明年的产量 解析 设明年的产量为x袋 则解得80000 x 90000 预计明年的产量在80000袋到90000袋之间 考点2比较大小 典例2 1 已知a1 a2 0 1 记M a1a2 N a1 a2 1 则M与N的大小关系是 A MNC M ND 不确定 2 2014 郑州模拟 已知0y zB z y xC z x yD y x z 解题视点 1 将M N作差 变形 因式分解可解 2 利用对数运算法则整理 再利用对数函数的单调性可解 规范解答 1 选B 因为M N a1a2 a1 a2 1 a1 a2 1 a2 1 a1 1 a2 1 因为a1 a2 0 1 故a1 10 所以M N 2 选D 因为又0 x z 互动探究 若将本例 1 中 a1 a2 0 1 这个条件去掉 又将如何判断M N的关系 解析 作差 即M N a1 1 a2 1 当a1 a2 1 时 a1 1 a2 1 0 即M N 当a1 a2 1 时 a1 1 a2 1 0 即M N 当a1 a2中一个小于或等于1 另一个大于或等于1时 a1 1 a2 1 0 即M N 综上 当a1 a2 1 或a1 a2 1 时 M N 当a1 a2中一个小于或等于1 另一个大于或等于1时 M N 规律方法 比较两个数大小的常用方法 1 作差法 其基本步骤为 作差 变形 判断符号 得出结论 用作差法比较大小的关键是判断差的正负 常采用配方 因式分解 分子 分母 有理化等变形方法 2 作商法 即判断商与1的关系 得出结论 要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子分母的正负做出判断 这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤 3 单调性法 利用有关函数的单调性比较大小 4 特值验证法 对于一些题目 有的给出取值范围 可采用特值验证法比较大小 变式训练 已知且a cos2 b cos sin 则a与b的大小关系为 解析 由于所以故a cos2 0 且cos sin 所以b 0 而由于所以故即故必有a b 答案 a b 加固训练 1 若则 A aa 所以a c 即c a b 2 2013 烟台模拟 已知x R 则m n的大小关系为 A m nB m nC m nD m n 解析 选B 因为所以则有x R时 恒成立 故选B 3 已知等比数列 an 中 a1 0 q 0 前n项和为Sn 则与的大小关系为 解析 当q 1时 所以当q 0且q 1时 所以综上可得答案 考点3不等式性质及其应用 考情 不等式的性质及其应用是高考命题的热点 不等式性质的应用是高考的常考点 常通过不等式性质来比较大小 有时也与函数结合综合考查充要条件等问题 常以选择题 填空题形式出现 题目难度不大 高频考点通关 典例3 1 2013 北京高考 设a b c R 且a b 则 A ac bcB C a2 b2D a3 b3 2 2013 天津高考 设a b R 则 a b a2 0 是 a b 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 解题视点 1 排除法 利用特值 可解 2 利用两命题间关系可解 规范解答 1 选D A选项 当c0 b时 显然B不正确 C选项 当a 1 b 2时 a2b时 有a3 b3 D是正确的 2 选A a b a2 0 则必有a b 0 即a b 而a b时 不能推出 a b a2 0 如a 0 b 1 所以 a b a2 0 是 a b 的充分而不必要条件 通关锦囊 关注题型 通关题组 1 2013 陕西高考 设 x 表示不大于x的最大整数 则对任意实数x y 有 A x x B 2x 2 x C x y x y D x y x y 解析 选D 对A 设x 1 8 则 x 1 x 2 所以A选项错 对B 设x 1 4 2x 2 8 3 2 x 4 所以B选项错 对C 设x y 1 8 x y 3 6 3 x y 2 所以C选项错 2 2012 四川高考 设a b为正实数 现有下列命题 若a2 b2 1 则a b 1 若 1 则a b 1 若 1 则 a b 1 若 a3 b3 1 则 a b 1 其中的真命题有 写出所有真命题的序号 解析 中a2 b2 1 所以a b 而a 0 b 0 又a2 b2 1 1 所以a 1 所以b 因为a3 b3 1 又 a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 1 3ab b a 1 故a b 1 所以 正确 答案 加固训练 1 2012 湖南高考 设a b 1 cloga b c 则其中所有的正确结论的序号是 A B C D 解析 选D 因为a b 1 所以又cb 1 所以acb 1 c 0 所以a c b c 1 所以logb a c loga a c loga b c 故logb a c loga b c 故 对 2 2014 台州模拟 已知函数y ax2 bx c a 0 的图象经过点 1 3 和 1 1 两点 若0 c 1 则a的取值范围是 A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 1 3 解析 选B 函数y ax2 bx c a 0 的图象经过点 1 3 和 1 1 两点 则可得c 2 a 因为0 c 1 所以0 2 a 1 所以1 a 2 所以实数a的取值范围是1 a 2 故选B 3 2014 枣庄模拟 若a b 0 c d 0 又a b 0 所以a c b d 0 故而e 0 所以 4 2014 绍兴模拟 若二次函数f x 的图象关于y轴对称 且1 f 1 2 3 f 2 4 求f 3 的范围 解析 设f x ax2 c a 0 f 3 9a c 3f 2 3f 1 因为1 f 1 2 3 f 2 4 所以5 5f 1 10 24 8f 2 32 14 8f 2 5f 1 27 所以 巧思妙解6 巧用特值判断不等式问题 典例 2014 宁波模拟 若则下列不等式 a b 0 lna2 lnb2中 正确的不等式是 A B C D 解析 常规解法 选C 由可知b0 所以故有故 正确 排除B D 中 因为ba b 又因为所以故 正确 排除A 选C 巧妙解法 选C 因为故可取a 1 b 2 显然故 对 排除B D 对于 中 而故成立 排除A 选C 解法分析 小试牛刀 若a b 0 则下列不等式中一定成立的是 解析 常规解法 选A 对B 故B不成立 对D 故D不成立 另外 函数f x x 是 0 上的增函数 但函数g x x 在 0 1 上递减 在 1 上递增 所以 当a b 0时 f a f b 必定成立 但g a g b 未必成立 这样 巧妙解法 选A 取a 2 b 1 排除B和D 取a 2 b 排除C