高三数学一轮复习 6.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件 .ppt

第三节二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 知识梳理 1 二元一次不等式 组 表示的平面区域 包括边界直线 公共部分 2 二元一次不等式 组 的解集满足二元一次不等式 组 的x和y的取值构成的 叫做二元一次不等式 组 的解 所有这样的 构成的集合称为二元一次不等式 组 的解集 有序数对 x y 有序数对 x y 3 线性规划的有关概念 不等式 组 不等式 组 解析式 一次 最大值或最小值 最大值 最小值 考点自测 1 思考 给出下列命题 不等式Ax By C 0表示的平面区域一定在直线Ax By C 0的上方 任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域 线性目标函数的最优解可能是不唯一的 线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上 目标函数z ax by b 0 中 z的几何意义是直线ax by z 0在y轴上的截距 其中正确的是 A B C D 解析 选C 错误 不等式Ax By C 0表示的平面区域也可能在直线Ax By C 0的下方 这要取决于A与B的符号 错误 不一定 如果二元一次不等式组的解集为空集 它就不表示任何区域 正确 当目标函数对应的直线与可行域的某一条边界直线平行时 最优解可能有无数多个 正确 线性目标函数都是通过平移直线 在与可行域有公共点的情况下 分析其在y轴上的截距的取值范围 因此其取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上 错误 由ax by z 0可得所以才是该直线在y轴上的截距 2 若点 m 1 在不等式2x 3y 5 0所表示的平面区域内 则m的取值范围是 A m 1B m 1C m1 解析 选D 依题意有2m 3 5 0 解得m 1 3 不等式组所表示的平面区域的面积为 A 1B C D 2 解析 选B 不等式组表示的区域如图所示 所以面积S 1 1 4 2013 天津高考 设变量x y满足约束条件则目标函数z y 2x的最小值为 A 7B 4C 1D 2 解析 选A 由z y 2x 得y 2x z 作出不等式组对应的平面区域ABC 如图 作直线y 2x 平移直线y 2x z 由图象知当直线经过点B时 y 2x z的截距最小 此时z最小 由得代入z y 2x得z 3 2 5 7 所以最小值为 7 5 2014 杭州模拟 华源装饰公司要为客户做4个文字版面 3个绘画版面 现有两种规格原料 甲种规格每张3m2 可做文字版面2个 绘画版面2个 乙种规格每张2m2 可做文字版面2个 绘画版面1个 为了节约费用 使总用料面积最小 则需要买甲 乙两种规格的原料的张数分别为 解析 设买甲种规格原料x张 乙种规格原料y张 由题意得所用原料总面积的目标函数S 3x 2y 作出可行域 当直线S 3x 2y过2x 2y 4与2x y 3的交点M 1 1 时 S最小 故甲 乙规格原料各1张 答案 1 1 6 若实数x y满足不等式组且x y的最大值为9 则实数m 解析 如图作出可行域 由得平移直线y x 当其经过点A时 x y取得最大值 即解得m 1 答案 1 考点1平面区域的相关问题 典例1 1 2014 衢州模拟 如果不等式组表示的平面区域是一个直角三角形且y 2x与kx y 1 0垂直 则该三角形的面积为 A B C D 2 2013 山东高考 在平面直角坐标系xOy中 M为不等式组所表示的区域上一动点 则 OM 的最小值为 解题视点 1 根据构成的平面区域为直角三角形来求解 2 作出不等式组表示的平面区域 利用区域内的点与原点的距离及数形结合可求 OM 的最小值 规范解答 1 选C 由y 2x与kx y 1 0垂直 则k 三角形的三个顶点为 0 0 0 1 面积为 2 作出可行域如图易知过原点作直线x y 2 0的垂线 即为 OM 的最小值 OM min 答案 规律方法 平面区域问题的解题思路 1 求平面区域的面积 首先画出不等式组表示的平面区域 若不能直接画出 应利用题目的已知条件转化为不等式组问题 从而再作出平面区域 对平面区域进行分析 若为三角形应确定底与高 若为规则的四边形 如平行四边形或梯形 可利用面积公式直接求解 若为不规则四边形 可分割成几个三角形分别求解再求和即可 2 利用几何意义求解的平面区域问题 也应作出平面图形 利用数形结合的方法去求解 变式训练 2014 温州模拟 已知不等式组表示的平面区域的面积是 则a等于 A B 3C D 2 解析 选A 画出平面区域 可知该区域是一个三角形 其面积等于所以解方程组得所以解得a 选A 加固训练 1 若M为不等式组表示的平面区域 则当a从 2连续变化到1时 动直线x y a扫过M中的那部分区域的面积为 A B 1C D 2 解析 选C 根据题意作图如图所示 图中阴影部分为所求的区域 设其面积为S S S AOD S ABC 2 2 1 2 2012 福建高考 若直线y 2x上存在点 x y 满足约束条件则实数m的最大值为 A 1B 1C D 2 解析 选B 如图 当y 2x经过且只经过x y 3 0和x m的交点时 m取到最大值 此时点 m 2m 在直线x y 3 0上 则m 1 3 若不等式组表示的平面区域为M 当抛物线y2 2px p 0 与平面区域M有公共点时 实数p的取值范围是 A 0 2 B C D 解析 选D 作出平面区域 如图 可以求得A 1 2 B 2 1 代入抛物线方程可得p 2 p 所以 考点2线性规划的相关问题 考情 线性规划问题以其独特的表达形式成为不等式部分的重要内容 线性规划中 通过最优解求参数的值或范围问题是高考命题的亮点与热点 作为不等式的重要组成部分 高考中常以选择题 填空题的形式出现 解答题偶尔也会考查 高频考点通关 典例2 1 2013 新课标全国卷 设x y满足约束条件则z 2x 3y的最小值是 A 7B 6C 5D 3 2 2013 大纲版全国卷 记不等式组所表示的平面区域为D 若直线y a x 1 与D有公共点 则a的取值范围是 解题视点 1 作出可行域找到取最优解的点 联立方程得交点代入可求 2 先确定可行域 再根据该直线过定点 1 0 然后把该直线绕 1 0 旋转 根据倾斜角和斜率的关系求解 规范解答 1 选B 由z 2x 3y得3y 2x z 即作出可行域如图 平移直线由图象可知当直线经过点B时 直线的截距最大 此时z取得最小值 由即B 3 4 代入直线z 2x 3y 得z 2 3 3 4 6 选B 2 画出可行域如图所示 当直线y a x 1 过点A 0 4 时 a取得最大值为4 当直线y a x 1 过点B 1 1 时 a取得最小值为所以a的取值范围为答案 通关锦囊 特别提醒 对求线性规划中含有参数的问题 有时需要对参数进行分类讨论解决 关注题型 通关题组 1 2013 福建高考 若变量x y满足约束条件则z 2x y的最大值和最小值分别为 A 4和3B 4和2C 3和2D 2和0 解析 选B 可行域如图所示 可行域的三个端点为 1 0 2 0 1 1 当直线z 2x y分别过点 1 0 2 0 时 z取得最小值与最大值 分别代入可得zmin 2 1 0 2 zmax 2 2 0 4 2 2013 四川高考 若变量x y满足约束条件且z 5y x的最大值为a 最小值为b 则a b的值是 A 48B 30C 24D 16 解析 选C 作出可行域如图 结合图形可知 当经过点A 4 4 时 z取最大值16 当经过点B 8 0 时 z取最小值为 8 所以a b 24 故选C 3 2013 北京高考 设D为不等式组表示的平面区域 区域D上的点与点 1 0 之间的距离的最小值为 解析 不等式组表示的平面区域如图所示 可得点 1 0 到区域D上点的最小距离即是点 1 0 到直线2x y 0的距离 答案 4 2014 绍兴模拟 设x y满足约束条件若目标函数z abx y a 0 b 0 的最大值为8 则a b的最小值为 解析 如图所示 线性约束条件表示的区域为图中的阴影部分 A 0 2 C 1 4 当直线l y abx z过点C时 z取最大值8 即8 ab 4 所以ab 4 又因为a 0 b 0 所以a b 4 答案 4 加固训练 1 2013 安徽高考 在平面直角坐标系中 O是坐标原点 两定点A B满足则点集所表示的区域的面积是 解析 选D 因为所以又 1 故 1 1 1 1 同理可推得 1 1 满足的点所在的区域如图所示 其中 AOB是正三角形 其面积为S1 故所求区域的面积为S 4S1 4 2 2013 江苏高考 抛物线y x2在x 1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D 包含三角形内部和边界 若点P x y 是区域D内的任意一点 则x 2y的取值范围是 解析 由y 2x得抛物线y x2在x 1处的切线方程为y 1 2 x 1 即y 2x 1 即得可行域如图中阴影 目标函数z x 2y 平移目标函数 经过点A时x 2y最小 经过点B时x 2y最大 故x 2y的取值范围是答案 考点3线性规划的实际应用 典例3 1 2013 湖北高考 某旅行社租用A B两种型号的客车安排900名客人旅行 A B两种车辆的载客量分别为36人和60人 租金分别为1600元 辆和2400元 辆 旅行社要求租车总数不超过21辆 且B型车不多于A型车7辆 则租金最少为 A 31200元B 36000元C 36800元D 38400元 2 某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品 由乙车间加工出B产品 甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品 每千克A产品获利40元 乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品 每千克B产品获利50元 甲 乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工 每天甲 乙两车间耗费工时总和不得超过480小时 甲 乙两车间每天总获利最大的生产计划为 A 甲车间加工原料10箱 乙车间加工原料60箱B 甲车间加工原料15箱 乙车间加工原料55箱C 甲车间加工原料18箱 乙车间加工原料50箱D 甲车间加工原料40箱 乙车间加工原料30箱 解题视点 1 利用题意设出A B两种型号的车辆数量 列出不等式组及目标函数 利用线性规划求解 2 设出两车间加工原料数量及总利润 列出不等式组及目标函数 利用线性规划求解 规范解答 1 选C 设A型 B型车辆的数量分别为x y辆 则相应的租金为1600 x 2400y 依题意 x y还需满足 x y 21 y x 7 36x 60y 900 于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数z 1600 x 2400y达到最小的x y 作可行域如图所示的阴影部分中的整点 可行域的三个顶点坐标分别为P 5 12 Q 7 14 R 15 6 由图可知 当直线z 1600 x 2400y经过可行域的点P时 直线z 1600 x 2400y在y轴上的截距最小 即z取得最小值 故应配备A型车5辆 B型车12辆 zmin 1600 x 2400y 1600 5 2400 12 36800 元 2 选B 设甲车间加工x箱原料 乙车间加工y箱原料 总获利为z 则目标函数z 280 x 200y 画出可行域如图所示 阴影部分整数点 联立平移7x 5y 0 知z在点A 15 55 时取最大值 易错警示 关注实际问题的特殊性本例 1 约束条件要全面 不能漏掉某些条件 本例 2 中是最优整数解 解题时忽略这一点 易造成误解 规律方法 解线性规划应用题的步骤 1 转化 设元 写出约束条件和目标函数 从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题 2 求解 解这个纯数学的线性规划问题 求解过程 作图 画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l 平移 将l平行移动 以确定最优解所对应的点的位置 求值 解有关方程组求出最优解的坐标 再代入目标函数 求出目标函数的最值 3 作答 就应用题提出的问题作出回答 提醒 线性规划的实际应用问题 需要通过审题理解题意 找出各量之间的关系 最好是列成表格 找出线性约束条件 写出所研究的目标函数 转化为简单的线性规划问题 利用线性规划解实际问题的一般思路 1 认真分析并掌握实际问题的背景 收集有关数据 2 将影响问题的各项主要因素作为决策量 设为未知数 3 根据问题特点 写出约束条件 4 根据问题特点 写出目标函数 并求出最优解或其他要求的解 变式训练 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐 已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物 6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C 一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物 6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C 另外 该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物 42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C 如果一个单位的午餐 晚餐的费用分别是2 5元和4元 那么要满足上述的营养要求 并且花费最少 应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐 A 4 4B 4 3C 3 4D 3 3 解析 选B 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位 所花的费用为z元 则依题意得z 2 5x 4y 且x y满足 作出线性约束条件所表示的可行域 如图中阴影部分的整数点 让目标函数表示的直线2 5x 4y z在可行域上平移 由此可知z 2 5x 4y在B 4 3 处取得最小值 因此 应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐 就可满足要求 加固训练 1 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用A原料3吨 B原料2吨 生产每吨乙产品要用A原料1吨 B原料3吨 甲产品每吨利润为5万元 乙产品每吨利润为3万元 该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨 B原料不超过18吨 那么该企业的最大利润为 解析 设生产甲产品x吨 乙产品y吨 利润为z万元 由题意可得目标函数为z 5x 3y 作出如图所示的可行域 阴影部分 当直线5x 3y z经过A 3 4 时 z取得最大值 所以zmax 5 3 3 4 27 万元 答案 27万元 2 2014 徐州模拟 某工厂生产甲 乙两种产品 其产量分别为45个与55个 所用原料为A B两种规格金属板 每张面积分别为2m2与3m2 用A种规格金属板可造甲种产品3个 乙种产品5个 用B种规格金属板可造甲 乙两种产品各6个 问A B两种规格金属板各取多少张才能完成计划 并使总的用料面积最省 解析 设A B两种金属板各取x张 y张 用料面积为z 则约束条件为目标函数z 2x 3y 作出不等式组所表示的平面区域 即可行域 如图所示 z 2x 3y变成得斜率为 在y轴上截距为 且随z变化的一族平行直线 当直线z 2x 3y过可行域上点M时 截距最小 z最小 解方程组得M点的坐标为 5 5 此时zmin 2 5 3 5 25 m2 答 两种金属板各取5张时 用料面积最省 易错误区14 含参数的线性规划问题的易错点 典例 2013 浙江高考 设z kx y 其中实数x y满足若z的最大值为12 则实数k 解析 画出可行域如图所示 其中A 2 3 B 2 0 C 4 4 当k 0 时 显然不成立 当k 0 时 最大值在C处取得 此时12 4k 4 得k 2 当k 0 时 最大值在A或C处取得 此时 12 2k 3或12 4k 4 得 均不合要求 故k 2 答案 2 误区警示 1 处易出现未对k的取值讨论 直接将点代入求解 2 处忘记检验所求值与条件是否相符 规避策略 1 对于含参数的线性规划问题 若目标函数含参数一般需要分类讨论 2 解题过程中 对求出的参数值要进行检验是否合乎要求 类题试解 2014 余姚模拟 已知x y满足约束条件 x 2 y 2 且z y mx m 0 的最小值等于 2 则实数m的值等于 解析 原不等式等价于以下四个不等式组 因此可画出可行域 如图 由z y mx得y mx z 1 当m 时 由图形可知 目标函数在点A 2 0 处取得最小值 因此 2 0 2m 解得m 1 2 当0 m 时 由图形可知 目标函数在点D 0 1 取得最小值 因此 2 1 m 0 m无解 3 当m 时 由图形可知 目标函数在点C 2 0 处取得最小值 因此 2 0 2m 解得m 1 4 当 m 0时 由图形可知 目标函数在点D 0 1 取得最小值 因此 2 1 m 0 m无解 综上 实数m的值等于1或 1 答案 1或 1