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张家口市20182019学年度第一学期期末教学质量监测高三数学（理科）第卷一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，是的共轭复数，则的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘除运算可求得z,写出z的共轭复数，即可得到虚部.【详解】，1i，其虚部为1，故选:D.【点睛】本题考查复数的乘除运算，考查共轭复数及复数虚部的概念，属于简单题.2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解出集合A,B，然后利用交并补的概念对选项逐个进行检验，即可得到答案.【详解】集合A=xx2-3x+20=x1x2，集合B=x22x8=x1x3，选项A，AB=x1x3B,选项B，(CRB)A=xxR且x1,选项C,AB=x1x2选项D，CRBCRA=CRABR，故选：C.【点睛】本题考查的知识点是集合的包含关系判断与应用，其中解不等式求出集合A，B是解答的关键3.甲、乙两名同学在五次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x1，x2，观察茎叶图，下列结论正确的是（ ）A. x1x2，乙比甲成绩稳定C. x1x2，甲比乙成绩稳定【答案】A【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，即可计算出两人平均分，再根据茎叶图的分布情况可知乙成绩稳定.【详解】由茎叶图知，甲的平均数是x1=102+104+105+114+1335=91.6，乙的平均数是x2=108+115+116+122+1235=116.8，所以x10即可得到答案.【详解】f(x)=ax3+3x+2，则f(x)=3ax2+3,又f(-1)=-3，则f-1=3a+3=-3，解得a=-2,fx=-6x2+3,解fx0,得-22x22,则函数fx的单调递增区间为-22,22,故选：B.【点睛】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，是基础题6.设D为ABC所在平面内一点，BC=5CD，则（ ）A. AD=15AB65AC B. AD=15AB+65ACC. AD=15AB65AC D. AD=15AB+65AC【答案】D【解析】【分析】利用向量三角形法则、向量共线定理即可得出【详解】AD=AB+BD=AB+BC+CD=AB+65BC=AB+65(AC-AB)=-15AB+65AC,故选：D【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7.某几何体的三视图如图所示，其正视图是斜边长为22的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 4【答案】B【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是等边圆柱斜削一半，求出圆柱体积的一半即可.【详解】由三视图可知，该几何体是等边圆柱斜削一半,由正视图是斜边长为22的等腰直角三角形可知底面圆的半径为1,圆柱的高为2，所求几何体的体积为V=12122=.故选：B.【点睛】本题考查三视图，考查圆柱的体积公式，其中由三视图推出几何体的形状是关键.8.f(x)=lnx，g(x)=f(x)mx恰有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）A. 0,1e B. 1e,2e C. 0,1 D. 1e,+【答案】A【解析】【分析】由题意g(x)有三个零点，即y=f(x)与y=mx有三个交点，计算y=mx与函数y=f(x)相切时的m值，然后由图像即可得到m的范围.【详解】由题意g(x)有三个零点，即y=f(x)与y=mx的图像有三个交点，作出y=f(x)和y=mx的图像如图，当y=mx与y=f(x)相切时，设切点坐标为x0,lnx0,则mx0=lnx01x0=m,解得m=1e,则当0m0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为双曲线右支上一点.若MF1=F1F2，直线MF2的斜率为22，则双曲线的离心率为（ ）A. 53 B. 75 C. 253 D. 3【答案】D【解析】【分析】运用双曲线定义得|MF2|2c- 2a，在MF1F2中，运用余弦定理和双曲线的离心率公式，计算可得所求值【详解】设|MF1|F1F2|2c，由双曲线的定义可得|MF2|2c-|MF1|2c- 2a，直线MF2的斜率为-22，即tanF1 F2M22，可得cosF1 F2M13,在MF1F2中，由余弦定理得cosF1 F2MF1F22+MF22-MF122F1F2MF2=2c2+2c-2a2-2c222c2c-2a=c-a2c=13,即c3a，即e=3故选：D【点睛】本题考查双曲线的定义性质，考查三角形余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题10.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积为50，直角三角形中较小的锐角为，sin2+cos2cos2sin2=2，在大正方形内取一点，则此点取自中间小正方形的概率为（）A. 125 B. 225 C. 150 D. 7250【答案】A【解析】【分析】先根据已知条件得到小正方形的边长，然后利用几何概型的概率公式即可得到答案.【详解】大正方形的面积为50，则正方形的边长为52，3sin2=cos2,即tan2=13,sin=2sin2cos2sin22+cos22=2tan21+tan22=23109=35,则直角三角形中较短的边为52sin=32，较长边为52cos=42,则中间小正方形的边长为42-32=2，故点取自中间小正方形的概率为S小S大=250=125.故选：A.【点睛】本题考查“面积型”的几何概型，解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关键是计算事件的总面积以及所求事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.11.抛物线y2=2x的焦点为F，A，B是抛物线上与原点不重合的两点，弦AB经过点P(4,0)，并且AB=32AP，则ABF的面积是（ ）A. 172 B. 9 C. 212 D. 12【答案】C【解析】【分析】设直线AB方程与抛物线联立，由韦达定理和AB=32AP可确定直线方程， 然后利用面积公式计算即可.【详解】不妨设点Ax1,y1,Bx2,y2y20,由AB=32AP得y2-y1=320-y1，即y1=-2y2，设直线AB为x=my+4,与抛物线联立消x得y2-2my-8=0,得y1+y2=2my1y2=-8y1=-2y2,解方程组可得m=1,则SABF=12FPy1-y2=1272y1-y22=74y1+y22-4y1y2=212故选：C.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查韦达定理及向量坐标运算和面积公式的应用，属基础题.12.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，C1D1的中点，G为棱CC1靠近C点的三等分点，用过点E，F，G的平面截正方体，则截面图形的周长为（ ）A. 13+223 B. 10+223 C. 13+226 D. 143【答案】B【解析】【分析】根据已知条件画出过点E,F,G的截面，求周长即可.【详解】连接FG并延长交DC延长线于点H，连接EH交BC于点M,连接GM，取A1D1靠近点A1的三等分点N，连接FN并延长交B1A1的延长线于点Q,连接QE交A1A于点P,连接NP，则六边形EMGFNP即为过点E，F，G的截面，由G为棱CC1靠近C点的三等分点，可得CHFC1=12,即CH=14,由CHBE=12，知点M为靠近点C的三等分点，即CM=13，由勾股定理得GM=23=NP,FG=PE=49+14=56,同理得EM=FN=56，则截面图形的周长为223+564=10+223，故选：A.【点睛】本题考查正方体中的截面问题，考查学生空间想象能力和计算能力，属中档题.第卷二、填空题（将答案填在答题纸上）13.设变量x，y满足的约束条件xy+20,2x+3y60,3x+2y90,，则目标函数z=x+7y的最大值为_【答案】22【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】作出不等式组x-y+20,2x+3y-60,3x+2y-90,对应的平面区域如图由z=x+7y得到y=-17x+z7，平移直线y=-17x+z7，由图象可知当直线y=-17x+z7经过点B时，直线y=-17x+z7的截距最大，此时z最大， 由x-y+2=03x+2y-9=0解得B(1,3)此时z1+3722，故答案为：22【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.已知数列an的前n项积为Tn，an0，an+12=anan+2，a2=13，a5=9，则T5=_【答案】1【解析】【分析】由已知得数列an为等比数列，利用通项即可求得首项和公比，从而求得T5.【详解】由已知an+12=anan+2可得数列an为等比数列，设等比数列公比为q,a5=a2q3,即9=13q3，解得q=3,则a1=19，前5项积T5=a1a1q1a1q2a1q3a1q4=a15q10=195310=1故答案为：1【点睛】本题考查等比数列通项的应用，考查学生计算能力，属于基础题.15.若(x2)5+(2x+1)4= a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0+a2+a4=_【答案】81【解析】【分析】在已知等式中分别取x1与x1，然后作和求得a0+a2+a4+a6，再求出a6，则答案可求【详解】在(x-2)5+(2x+1)4= a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5中，取x1，得a0+a1+a2+a3+a4+a580，取x1，得a0a1+a2a3+a4a5242，两式子相加得2（a0+a2+a4）162，即a0+a2+a481，故答案为：-81【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，是中档题16.函数f(x)=sinxalnx在0,4单调递增，则实数的取值范围是_【答案】(,0【解析】【分析】求出函数f(x)的导函数，由函数f(x)在区间0,4上是单调增函数，fx0在0,4上恒成立，转化为求函数的最值即可.【详解】函数f(x)=sinx-alnx在0,4单调递增，即fx=cosx-ax0在0,4上恒成立，变量分离得axcosx,令g(x)=xcosx,则gx=cosx-xsinx,gx=-2sinx-xcosx0即gx0恒成立，则函数g(x)在0,4上单调递增，可得g(x)g(0)=0,即a0,故答案为：(-,0【点睛】本题考查根据函数在某个区间上单调递减，递增求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点是导数和单调性的关系，注意其等价条件为其导数在给定区间上小于等于零或大于等于0.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数f(x)=4sinxcosx-3，在锐角ABC中，b，分别为角A，B，C的对边，且f(A)=23.（1）求A的大小；（2）若a=23，求ABC面积的最大值.【答案】(1) A=3 (2) 33【解析】【分析】（1）利用两角和差公式，二倍角公式和辅助角公式求得f（A）解析式，从而可得A值（2）利用余弦定理，基本不等式，求得bc的最大值，即可得ABC面积最大值【详解】fx=4sinxcosx-3=4sinx12cosx+32sinx=2sinxcosx+23sin2x=sin2x+31-cos2x=sin2x-3cos2x+3in2x-3+3.f(A)=2sin2A-3+3=23，sin2A-3=32，又0A2，2A-3=3，A=3.（2）b2+c2-2bccosA=a2，b2+c2-2bccos3=(23)2.b2+c2-bc=12.b2+c2=bc+122bc（当且仅当b=c时取等号）.bc12.SABC=12bcsin3=34bc33.当a=b=c时，SABC的最大值为33.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，余弦定理，基本不等式的应用，属于中档题18.某医疗器械公司在全国共有100个销售点，总公司每年会根据每个销售点的年销量进行评价分析.规定每个销售点的年销售任务为一万四千台器械.根据这100个销售点的年销量绘制出如下的频率分布直方图.（1）完成年销售任务的销售点有多少个？（2）若用分层抽样的方法从这100个销售点中抽取容量为25的样本，求该五组2,6)，6,10)，10,14)，14,18)，18,22)，（单位：千台）中每组分别应抽取的销售点数量.（3）在（2）的条件下，从前两组2,6)，6,10)中的销售点随机选取3个，记这3个销售点在6,10)中的个数为X，求X的分布列和期望.【答案】(1)24 (2) 各组应抽取的销售点数量分别为2，8，9，3 (3)见解析【解析】【分析】（1）根据频率和为1，即直方图中的矩形的面积和为1即可求出a值,从而可得到完成年销售任务的销售点个数；（2）利用分层抽样的特点即可得到答案；（3）写出变量X的可能取值，计算相应的概率，列出分布列，由期望公式计算即可.【详解】（1）(0.02+0.08+0.09+2a)4+1，解得a=0.03，则完成年销售任务的销售点个数为0.0324100=24.（2）各组应抽取的销售点数量比例为2:8:9:3:3，则各组应抽取的销售点数量分别为2，8，9，3，3.（3）在第（2）问的容量为25的样本中，2,6)，6,10)中的销售点数量分别为2，8，则X所有可能的取值为1，2，3，P(X=1)C22C81C103=115，P(X=2)=C21C82C103=715，P(X=3)=C83C103=715，所以X的分布列为X123P115715715E(X)=1115+2715+3715=125.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查分层抽样及离散型随机变量的分布列及期望公式的应用，属于基础题.19.四棱柱ABCDABCD中，侧棱AA底面ABCD，底面ABCD为菱形，ABC=60，AB=2，AA=3.E是AB的中点，BD与AC相交于点F.（1）求证：平面AEF 平面DEF；（2）求二面角CABD的余弦值.【答案】（1）见证明；（2）528【解析】【分析】(1)根据已知条件证明DF平面AEF，然后利用面面垂直的判定定理即可得到证明；（2）取BC中点G，以射线AG，AD，AA的方向作为x，y，轴的正方向建立空间直角坐标系，求平面CAB和平面DAB的法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】（1）证明：连接BF.因为AB=AD，F是BD的中点，所以AFBD.又AFBB，所以AF平面BBDD，所以AFDF.在ABD中，AB=AD=2，BAD=120，所以BD=23.在矩形BBDD中，BB=3，BD=23，F是BD中点，所以BFDF.所以DF平面ABF，即DF平面AEF.又DF平面DEF，所以平面AEF平面DEF.（2）解：取BC中点G，以射线AG，AD，AA的方向作为x，y，轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），则C(3,1,0)，D(0,2,0)，B(3,-1,0)，A(0,0,-3).AB=(3,-1,-3)，AC=(3,1,-3)，AD=(0,2,-3).设平面CAB的一个法向量为a=(x1,y1,z1)，则由aAB=0,aAC=0,得3x1-y1-3z1=0,3x1+y1-3z1=0,取x1=1，则a=(1,0,1).设平面DAB的一个法向量为b=(x2,y2,z2)，则由bAB=0,bAD=0,得3x2-y2-3z2=0,2y2-3z2=0,取z2=2，则b=(3,3,2)cos=abab=528. 所以二面角C-AB-D的余弦值为528.【点睛】利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小20.已知点Q是圆C1：x2+y2=4上一动点，线段OQ与圆C2：x2+y2=3相交于点T.直线d经过Q，并且垂直于x轴，T在d上的射影点为E.（1）求点E的轨迹C的方程；（2）设圆C1与x轴的左、右交点分别为A，B，点P是曲线C上的点（点P与A，B不重合），直线AP，BP与直线：x=4分别相交于点M，N，求证：以MN直径的圆经过定点.【答案】（1）x24+y23=1（2）见证明【解析】【分析】(1)设点E(x,y)，Q(xQ,yQ),由已知条件找到两点坐标之间的关系，然后利用相关点法即可求得点E的轨迹方程；（2）根据已知条件设直线AP,BP的方程，当x=4时可得点M,N的坐标，从而可得以MN为直径的圆的方程，整理即得圆经过的定点.【详解】（1）设点E(x,y)，Q(xQ,yQ).当yQ=0时，易得E(2,0)；当yQ0时，有yyQ=32，所以yQ=2y3.又xQ=x，所以Qx,2y3.代入C1的方程，得x2+2y32=4，即x24+y23=1. （2）证明：设直线AP，BP的斜率分别为k，k1，记P(xp,yp).则kk1=ypxp+2ypxp-2 =yp2xp2-4=-34，k1=-34k.直线AP的方程为y=k(x+2)，所以M(4,6k).直线BP的方程为y=-34k(x-2)，所以N4,-32k.以MN为直径的圆的方程为(x-4)2+(y-6k)y+32k=0.整理，得12yk2-2(x-4)2+ 2y2-18k-3y=0.令y=0x-42+2y2-18=0解得x=1,y=0,或x=7,y=0,所以以MN为直径的圆过定点(1,0)，(7,0).【点睛】本题考查相关点法求轨迹，考查曲线过定点问题，解决曲线过定点问题一般有两种方法： 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标. 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.21.已知函数f(x)=x2+(a2)xalnx (a0).（1）若x0，使得f(x)3a23a恒成立，求的取值范围.（2）设P(x1,y1)，Q(x2,y2)为函数f(x)图象上不同的两点，PQ的中点为M(x0,y0)，求证：f(x1)f(x2)x1x20恒成立，只需g(x)最小值大于0即可，求导根据函数单调性即得函数g(x)最小值，从而得到a的范围;(2)用x1，x2表示出f(x0)和f(x1)-f(x2)x1-x2 ，整理后把证明f(x1)-f(x2)x1-x22x1x2-1x1x2+1，构造函数h(t)=lnt-2(t-1)t+1（t1）,利用导数证明该函数在（1，+）上为增函数即可证得结论【详解】（1）f(x)3a2-3a恒成立，即f(x)-3a2+3a0恒成立，令g(x)=f(x)-3a2+3a，g(x)=2x+a-2-ax =(x-1)(2x+a)x，由于-a200，解得a13,1.（2）证明：因为M(x0,y0)为PQ的中点，则x0=x1+x22，故f(x0)=2x0+a-2-ax0 =x1+x2+a-2-2ax1+x2f(x1)-f(x2)x1-x2= x12+(a-2)x1-alnx1-x22-(a-2)x2+alnx2x1-x2=x12-x22+(a-2)(x1-x2)-alnx1x2x1-x2=x1+x2+a-2-alnx1x2x1-x2,故要证f(x1)-f(x2)x1-x2f(x0)，即证-alnx1x2x1-x20，即证lnx1x2x1-x22x1+x2.不妨假设x1x20，只需证明lnx1x22(x1-x2)x1+x2，即lnx1x22x1x2-1x1x2+1.设t=x1x21，构造函数h(t)=lnt-2(t-1)t+1，h(t)=(t-1)2t(t+1)20，则h(t)h(1)=0，则有lnx1x22x1x2-1x1x2+1，从而f(x1)-f(x2)x1-x2f(x0).【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性及求函数最值，考查函数恒成立问题，函数恒成立问题往往转化为函数最值解决，是压轴题22.在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为x=8+4ty=1t（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2(54cos2)=9.（1）求直线的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点M到的距离的最大值.【答案】（1）直线：x+4y12=0，曲线C：x29+y2=1（2）17【解析】【分析】（1）消去参数t即可得到直线l的普通方程，利用2=x2+y2，x=cos，y=sin化简可得曲线C的直角坐标方程；（2）由曲线C的方程，设M(3cos,sin)，再由点到直线的距离公式和三角函数的性质，即可求解【详解】（1）x=8+4t,y=1-t,消，得：x+4y-12=0.2(5-4cos2)=9，25-4(1-2sin2)=9.2(1+8sin2)=9，即2+82sin2=9x2+y2+8y2=9，即x2+9y2=9.x29+y2=1.直线：x+4y-12=0，曲线C：x29+y2=1.（2）曲线C的参数方程为x=3cos,y=sin,（为参数），设M(3cos,sin)，则d=3cos+4sin-1217 =5sin(+)-1217（其中满足sin=35，cos=45）.5sin(+)-5,5，dmax=1717=17.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及椭圆的参数方程的应用问题，考查点到直线的距离公式，把距离转化为三角函数问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解决问题的能力23.已知函数f(x)=2x+a2x1 (aR).（1）若a=2，求不等式f(x)3的解集；（2）若不等式f(x)2的解集非空，求的取值范围.【答案】（1）xx12（2）aa1或a3【解析】【分析】（1）根据绝对值定义去掉绝对值符号，转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集.（2）不等式f(x)2有解，即f(x)max2,利用绝对值三角不等式可得f(x)最大值，从而得到a的范围.【详解】(1)a=2 当时，无解； 当时，由，得，解得，；当时，恒成立，.所以不等式的解集为.（2） .由的解集非空，.或，解得或.的取值范围为.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和不等式的有解问题，考查学生运用函数零点分类讨论的解题思路和问题的转化能力.
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