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第二十一章 21.2.3因式分解法知识点1：用因式分解法解一元二次方程1.因式分解法:因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解一元二次方程的方法,叫做因式分解法.2.因式分解法的理论依据是:若两个因式的积等于0,则这两个因式至少有一个等于0. 用式子表示为:若ab=0,则a=0或b=0.3.因式分解法的基本思想:化一元二次方程为一元一次方程,基本方法是“降次”. 通过分解因式,可以化二次式为一次式,达到降次的目的,从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解.4.因式分解法的一般步骤:(1)将方程化为一元二次方程的一般形式;(2)将方程左边因式分解为两个一次因式的积;(3)令每一个因式分别为零,得到两个一元一次方程;(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的根.5.方法:因式分解法几种常见的类型形如x2-a2=0的一元二次方程:将左边运用平方差公式因式分解为(x+a)(x-a)=0,则x+a=0或x-a=0,即x1=-a,x2=a.形如x2+bx=0的一元二次方程:将左边运用提公因式因式分解为x(x+b)=0,则x=0或x+b=0,即x1=0,x2=-b.形如x2-(a+b)x+ab=0(a,b为常数)的一元二次方程:将其左边因式分解,方程变为(x+a)(x+b)=0,则x+a=0或x+b=0,即x1=-a,x2=-b.知识点2：灵活选用方程的解法解一元二次方程的方法有:直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法.1.当一个一元二次方程的一边为零,而另一边可以分解成两个一次因式的积时,就可以运用分解因式法求解;2.如果一个一元二次方程的一边是含有未知数的平方式,另一边是一个非负数,就可以直接开平方求解;3.用配方法解方程是以完全平方式a22ab+b2=(ab)2和直接开平方为依据将方程加以变形,即将给定的一元二次方程经过移项,二次项系数化为1,配方后写成形如(x+b)2=c(c0)的形式后,再用直接开平方法求解.4.公式法是解一元二次方程的“万能钥匙”,它对任何形式的一元二次方程都适用,用公式法解方程,只需将一元二次方程化为一般形式,正确找出a,b,c的值,再代入求根公式x=即可.5.选择合适的方法解一元二次方程(1)如果题目能使用直接开平方法解方程,那就直接使用开平方法解方程;(2)能使用因式分解方法求解的一元二次方程,就不要使用公式法解决;(3)当不易使用因式分解法解的方程,且方程中的系数绝对值较大时,我们考虑使用配方法解方程;(4)公式法是解决一元二次方程的通用方法,当其它方法都不易解决时,我们考虑使用公式法解题.考点1：利用因式分解法解一元二次方程【例1】用因式分解法解下列方程.(1)5x2+3x=0; (2)7x(3-x)=4(x-3);(3)4x2-9=0; (4)(2y+1)2+2(2y+1)+1=0.解:(1)原方程可化为x(5x+3)=0,所以x=0或5x+3=0,解得x1=0,x2=-.(2)原方程可化为7x(3-x)+4(3-x)=0,即(7x+4)(3-x)=0,所以7x+4=0或3-x=0,解得x1=-,x2=3.(3)原方程可化为(2x-3)(2x+3)=0,所以2x-3=0或2x+3=0,解得x1=-,x2=.(4)原方程可化为(2y+1+1)2=0,所以2y+2=0,解得y1=y2=-1.点拨:(1)将方程左边用提公因式法因式分解为x(5x+3);(2)先移项,将方程右边化为0,然后把(3-x)作为公因式提取出来,原方程即化为(7x+4)(3-x);(3)4x2-9可写成(2x)2-32,运用平方差公式可将其因式分解为(2x-3)(2x+3);(4)把(2y+1)看作一个整体,方程左边满足完全平方和公式,可将其分解为(2y+1+1)2.考点2：用适当的方法解下列一元二次方程【例2】用适当的方法解下列一元二次方程:(1)4(x-5)2=16; (2)x2+4x+1=0;(3)3x2+2x-3=0; (4)(x+3)(x-1)=5.解:(1)(x-5)2=4,开方,得x-5=2.即x1=7,x2=3.(2)移项、配方,得(x+2)2=3,开方,得x+2=.即x1=-2+,x2=-2-.(3)b2-4ac=22-43(-3)=40,则x=.即x1=,x2=.(4)整理,得x2+2x-8=0,因式分解,得(x+4)(x-2)=0,即x1=-4,x2=2.点拨:根据方程的不同特点选取最简便的方法:(1)两边同除以4后,可以用直接开平方法;(2)二次项系数为1,一次项系数为偶数,可以用配方法;(3)一时难以有简便方法,可以用公式法;(4)不去括号不能用任何方法解答,整理后发现,可以用因式分解法解.
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