2019版高考数学 4.4 平面向量应用举例课件.ppt

第四节平面向量应用举例 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 向量在平面几何中的应用 a b b 0 x1y2 x2y1 0 a b 0 x1x2 y1y2 0 2 向量在三角函数中的应用 以向量为载体利用向量的共线 垂直 数量积等的坐标运算 转化成三角函数问题 以解决三角函数中的图象 性质等问题 3 向量在物理中的应用 由于物理学中的力 速度 位移都是矢量 它们的分解与合成和向量的减法和加法相似 可以用向量的知识来解决 物理学中的功是一个标量 是力F与位移s的数量积 即W 为F与s的夹角 F s F s cos 2 必备结论教材提炼记一记 1 在 ABC中 D是BC的中点 则 2 在 ABC中 若 0 则点O是 ABC的 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 向量法 坐标法 2 数学思想 数形结合 函数与方程 转化与化归思想 重心 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 在四边形ABCD中 若则四边形为平行四边形 2 a b是非零向量 若 a b a b 则a b 3 在 ABC中 若 0 则 ABC为钝角三角形 4 作用于同一点的两个力F1和F2的夹角为 且 F1 3 F2 5 则F1 F2大小为 解析 1 正确 在四边形ABCD中 由可得AB DC且AB CD 由平行四边形定义可知ABCD为平行四边形 2 正确 由 a b a b 得a b 0 从而a b 3 错误 由 0可知在 ABC中 B的补角为钝角可判断 B为锐角 而无法得出 ABC为钝角三角形 4 正确 由已知可得 F1 F2 2 F1 2 F2 2 2 F1 F2 cos 9 25 2 3 5 19 所以 F1 F2 答案 1 2 3 4 2 教材改编链接教材练一练 1 必修4P113A组T1改编 已知点A 1 0 抛物线y2 4x 点Q是抛物线上的一点 若则点P的轨迹方程为 解析 设Q x0 y0 P x y 由得 1 x0 y0 2 x 1 y 即又 x0 y0 满足y2 4x 故4y2 4 3 2x 即y2 3 2x 答案 y2 3 2x 2 必修4P113A组T4改编 O为 ABC的重心 若OA 1 OB AOB 则OC 解析 因为O为 ABC的重心 所以 0 即所以所以 1 答案 1 3 真题小试感悟考题试一试 1 2014 上海高考 如图 四个边长为1的小正方形排成一个大正方形 AB是大正方形的一条边 Pi i 1 2 7 是小正方形的其余顶点 则 i 1 2 7 的不同值的个数为 A 7B 5C 3D 2 解析 选C 当Pi取P2 P5时 0 当Pi取P1 P3 P6时 当Pi取P4 P7时 所以取值共有三个 2 2013 福建高考 在四边形ABCD中 1 2 4 2 则该四边形的面积为 A B 2C 5D 10 解析 选C 因为 0 所以AC BD是互相垂直的对角线 所以S 3 2015 杭州模拟 已知非零向量与满足 0且则 ABC为 A 等边三角形B 直角三角形C 等腰非等边三角形D 三边均不相等的三角形 解析 选A 因为 所以 BAC 60 又与以 BAC为顶角的菱形的一条对角线共线 即是 BAC的平分线 由题意 得 BAC的平分线与BC边垂直 所以AB AC 故 ABC为等边三角形 4 2015 庆阳模拟 已知a cos sin b 1 f a b 则f 的最大值为 解析 f a b cos sin 2 cos sin 2cos 故当 2k k Z 时 f max 2 答案 2 考点1向量在平面几何中的应用 典例1 1 2013 浙江高考 设 ABC P0是边AB上一定点 满足P0B AB 且对于边AB上任一点P 恒有则 A ABC 90 B BAC 90 C AB ACD AC BC 2 2013 天津高考 在平行四边形ABCD中 AD 1 BAD 60 E为CD的中点 若则AB的长为 解题提示 1 利用坐标运算 建立平面直角坐标系 设出点的坐标 利用已知求解 2 根据题意 选取当基底 根据向量的加法及平面向量基本定理由表示由列方程求AB的长 或建系用向量的坐标运算求AB的长 规范解答 1 选D 设AB 4 以AB所在直线为x轴 线段AB的中垂线为y轴建立坐标系 则A 2 0 B 2 0 P0 1 0 设点C a b 动点P x 0 所以由恒成立 得 2 x a x a 1 即x2 2 a x a 1 0恒成立 所以 2 a 2 4 a 1 a2 0 则a 0 因此点C在线段AB的中垂线上 故 2 因为所以 1 所以解得答案 一题多解 解答本题你还有其他解法吗 解析 如图 以A为原点 AD所在直线为x轴建立直角坐标系 则A 0 0 D 1 0 设AB的长为a 则因为E是CD的中点 所以所以即2a2 a 0 解得a 或a 0 舍去 故AB的长为 互动探究 本例 2 中其他条件不变 若AB 试求的值 解析 如图 令 a b 则 a b 1 a与b的夹角为60 a b 因为E是CD的中点 所以故 规律方法 向量与平面几何综合问题的解法 1 坐标法把几何图形放在适当的坐标系中 则有关点与向量就可以用坐标表示 这样就能进行相应的代数运算和向量运算 从而使问题得到解决 2 基向量法适当选取一组基底 沟通向量之间的联系 利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解 提醒 用坐标法解题时 建立适当的坐标系是解题的关键 用基向量解题时要选择适当的基底 变式训练 2015 临沂模拟 在平行四边形ABCD中 cos18 cos72 2cos63 2cos27 则四边形ABCD的面积为 解题提示 因为S ABCD 2S ABC 故可先求S ABC 解析 选B 由 cos18 cos72 得 cos18 sin18 又 2sin27 2cos27 故 1 2 且cos ABC 又0 ABC 所以sin ABC 所以S ABC 所以S ABCD 2S ABC 2 加固训练 1 在 ABC中 若则 ABC的形状为 A 等腰三角形B 直角三角形C 等腰直角三角形D 不能确定 解析 选B 根据向量加法的平行四边形法则可知 等于AC边上的中线的二倍 所以由知AC边的中线长等于AC长度的一半 所以 ABC为直角三角形 2 2014 沧州模拟 平面上O A B三点不共线 设 a b 则 OAB的面积等于 解析 选C 由条件得cos 所以sin 所以S OAB a b sin 考点2向量在三角函数中的应用知 考情利用向量的共线与垂直和向量数量积之间的关系建立三角方程 或三角函数式 从而解决三角函数中的求值 求角及求最值问题 是高考考查热点 以选择题 填空题或解答题的形式出现 明 角度命题角度1 利用向量数量积求三角函数的值 典例2 2015 济宁模拟 设a cos sin b cos sin 0 是平面上两个向量 若a b 且tan 则tan 解题提示 利用已知转化为一个角的三角函数 再利用同角三角函数基本关系及两角和的正切公式求解 规范解答 a b cos cos sin sin cos 因为0 所以 0 所以sin tan 所以tan tan 所以tan 答案 命题角度2 利用向量求角的大小 典例3 2013 江苏高考改编 已知a cos sin b cos sin 0 若c 0 1 且a b c 则 解题提示 利用向量相等列出关于 的方程 由三角函数变换求解 规范解答 因为a b cos cos sin sin 0 1 所以由 1 得 cos cos 由0 所以 答案 悟 技法利用向量求解三角函数问题的一般思路 1 求三角函数值 一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式 利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解 2 求角时通常由向量转化为三角函数问题 先求值再求角 3 解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想 即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题 通 一类1 2015 日照模拟 已知向量a sin 2 与向量b cos 1 平行 则tan2 的值为 解析 因为向量a sin 2 与b cos 1 平行 所以sin 2cos 0 即tan 2 故tan2 答案 2 2015 汕头模拟 若向量a sin b cos 且a b 则锐角 的大小是 解析 因为a b 所以 sin cos 0 所以sin2 1 又 为锐角 故 答案 3 2015 淮南模拟 如图 A B是单位圆上的动点 C是单位圆与x轴的正半轴的交点 且 AOB 记 COA 0 AOC的面积为S 1 若f 2S 试求f 的最大值以及此时 的值 2 当A点坐标为时 求 2的值 解析 1 S 则f 因为 0 故 时 f max 1 2 依题cos sin 在 BOC中 BOC 由余弦定理得 2 1 1 2 1 1 cos 考点3向量在解析几何中的应用 典例4 1 2015 绵阳模拟 已知两点M 3 0 N 3 0 点P为坐标平面内一动点 且 0 则动点P x y 到点M 3 0 的距离d的最小值为 A 2B 3C 4D 6 2 2015 大连模拟 已知椭圆方程为 1 点A 1 1 M为椭圆上任意一点 动点N满足则N点的轨迹方程为 解题提示 1 利用已知求P点的轨迹方程 再利用几何意义求解 2 设出动点N的坐标和M点坐标 利用已知条件 由代入法可得N点轨迹方程 规范解答 1 选B 因为M 3 0 N 3 0 所以 6 0 6 x 3 y x 3 y 由 0得 6 x 3 0 化简得y2 12x 所以点M是抛物线y2 12x的焦点 所以点P到点M的距离的最小值就是原点到M 3 0 的距离 所以dmin 3 2 设M x1 y1 N x y 则由已知得 x 1 y 1 2 x1 1 y1 1 即得因为M点在椭圆上 故M点坐标满足方程 所以 1 答案 1 规律方法 向量在解析几何中的 两个 作用 1 载体作用 向量在解析几何问题中出现 多用于 包装 解决此类问题的关键是利用向量的意义 运算脱去 向量外衣 导出曲线上点的坐标之间的关系 从而解决有关距离 斜率 夹角 轨迹 最值等问题 2 工具作用 利用a b a b 0 a b为非零向量 a b a b b 0 可解决垂直 平行问题 特别地 向量垂直 平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直 平行问题是一种比较优越的方法 变式训练 2015 海滨模拟 已知平面上一定点C 2 0 和直线l x 8 P为该平面上一动点 作PQ l 垂足为Q 且 0 则点P的轨迹方程是 解析 设P x y 则Q 8 y 由 0 得 2 2 0 即 x 2 2 y2 x 8 2 0 化简得 1 答案 1 加固训练 1 在平面直角坐标系xOy中 若定点A 1 2 与动点P x y 满足 4 则点P的轨迹方程是 解析 因为定点A 1 2 与动点P x y 满足 4 所以 x y 1 2 4 即x 2y 4 0 答案 x 2y 4 0 2 2014 兰州模拟 已知点P 0 3 点A在x轴上 点Q在y轴的正半轴上 点M满足当点A在x轴上移动时 1 求动点M的轨迹方程 2 若EF为圆N x2 y 1 2 1的一条直径 求的取值范围 解析 1 设M x y 为所求轨迹上任一点 设A a 0 Q 0 b b 0 则 a 3 x a y x b y 由 0 得a x a 3y 0 由得 x a y x b y x y b 所以所以把a 代入 得整理得y x2 x 0 2 因为所以 x2 y 1 2 1 y2 2y y 1 2 1 因为y 0 所以 y 1 2 1 0 故的取值范围为 0 规范解答6平面向量与三角函数相结合的综合问题 典例 12分 2014 山东高考 已知向量a m cos2x b sin2x n 函数f x a b 且y f x 的图象过点和点 1 求m n的值 2 将y f x 的图象向左平移 0 个单位后得到函数y g x 的图象 若y g x 的图象上各最高点到点 0 3 的距离的最小值为1 求y g x 的单调增区间 解题导思研读信息快速破题 规范解答阅卷标准体会规范 1 已知f x a b msin2x ncos2x 因为f x 过点所以 3分所以解得 4分 2 f x 6分f x 左移 个单位后得到 8分设g x 的对称轴为x x0 因为d 1 解得x0 0 所以g 0 2 解得 所以g x 10分 由 2k 2x 2k k Z 得 k x k k Z 所以g x 的单调增区间为 k k k Z 12分 高考状元满分心得把握规则争取满分1 规范的解题思路解答综合性问题 清晰准确的解题思路是得分的关键 不要走弯走偏 如本例要清晰体现 用数量积求f x 平移变换求g x 求g x 单调区间的步骤 2 规范的解题步骤解题过程既要有体现关键点的关键步骤 也要有承上启下的辅助步骤 如本题忽视结论至少扣1分