2019版高考数学 10.6 几 何 概 型课件.ppt

第六节几何概型 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 成比例 则称这样的概率模型为几何概率模型 简称几何概型 2 几何概型的特点 无限性 试验中所有可能出现的结果 基本事件 有 个 等可能性 试验结果在每一个区域内 分布 长度 面积或体积 无限多 均匀 3 几何概型的概率公式 P A 2 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 随机模拟法 2 数学思想 数形结合思想 转化与化归思想 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率 2 相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的 3 几何概型中 每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点 该区域中的每一点被取到的机会相等 4 在几何概型定义中的区域可以是线段 平面图形 立体图形 解析 1 正确 由随机模拟方法及几何概型可知 该说法正确 2 错误 虽然环境相同 但是因为随机模拟得到的是某一次的频率 所以结果不一定相等 3 正确 由几何概型的定义知 该说法正确 4 正确 由几何概型的定义知 该说法正确 答案 1 2 3 4 2 教材改编链接教材练一练 1 必修3P140练习T1改编 有四个游戏盘 将它们水平放稳后 在上面扔一颗玻璃小球 若小球落在阴影部分 则可中奖 小明要想增加中奖机会 应选择的游戏盘是 解析 选A 如题干选项中图 各种情况的概率都是其面积比 中奖的概率依次为 2 必修3P140例4改编 已知A x y 1 x 1 0 y 2 B x y y 若在区域A中随机地扔一粒豆子 则该豆子落在区域B中的概率为 解析 选A 集合A x y 1 x 1 0 y 2 表示的区域是一正方形 其面积为4 集合B x y y 表示的区域为图中阴影部分 其面积为4 12 所以向区域A内随机地扔一粒豆子 则豆子落在区域B内的概率为 3 真题小试感悟考题试一试 1 2013 陕西高考 如图 在矩形区域ABCD的A C两点处各有一个通信基站 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF 该矩形区域内无其他信号来源 基站工作正常 若在该矩形区域内随机地选一地点 则该地点无信号的概率是 解析 选A 由题设可知 矩形ABCD的面积为2 曲边形DEBF的面积为2 故所求概率为 2 2013 四川高考 节日前夕 小李在家门前的树上挂了两串彩灯 这两串彩灯的第一次闪亮相互独立 且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生 然后每串彩灯在4秒内为间隔闪亮 那么这两串彩灯同时通电后 它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 解析 选C 由于两串彩灯第一次闪亮相互独立且在通电后4秒内任一时刻等可能发生 所以总的基本事件为如图所示的正方形的面积 而要求的是第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的基本事件为如图所示的阴影部分的面积 根据几何概型的计算公式可知它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是故选C 3 2013 福建高考 利用计算机产生0 1之间的均匀随机数a 则事件 3a 1 0 的概率为 解析 设事件A 3a 1 0 则a 所以P A 答案 考点1与长度 角度有关的几何概型 典例1 1 已知圆C x2 y2 12 直线l 4x 3y 25 圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为 2 已知A是圆上固定的一点 在圆上其他位置上任取一点A 则AA 的长度小于半径的概率为 解题提示 1 可转化为两平行线间的距离求解 2 可将AA 的长度小于半径转化为与A A 两点有关的角度问题 规范解答 1 设直线4x 3y c到圆心的距离为3 则 3 取c 15 则直线4x 3y 15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率 由于圆半径是2 则可得直线4x 3y 15截得的圆弧所对的圆心角为60 故所求的概率是 答案 2 如图 满足AA 的长度小于半径的点A 位于劣弧上 其中 ABO和 ACO为等边三角形 可知 BOC 故所求事件的概率P 答案 一题多解 解答本题还可以用如下方法 如例题解析中图 满足AA 的长度小于半径的点A 位于劣弧上 其中 ABO和 ACO为等边三角形 所以其概率P 答案 互动探究 本例 1 条件变为 已知圆O x2 y2 12 设M为此圆周上一定点 在圆周上等可能地任取一点N 连接MN 求弦MN的长超过2的概率 解析 如图 在图上过圆心O作OM 直径CD 则 MD MC 2 当N点不在半圆弧CMD上时 MN 2 所以P MN 2 规律方法 1 与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示 则其概率的计算公式为 2 与角度有关的几何概型当涉及射线的转动 扇形中有关落点区域问题时 应以角的大小作为区域度量来计算概率 且不可用线段的长度代替 这是两种不同的度量手段 变式训练 1 2015 淄博模拟 设P在 0 5 上随机地取值 则关于x的方程x2 px 1 0有实数根的概率为 2 如图 四边形ABCD为矩形 AB BC 1 以A为圆心 1为半径作四分之一个圆弧DE 在 DAB内任作射线AP 则射线AP与线段BC有公共点的概率为 解析 1 选C 方程有实根 则 p2 4 0 解得p 2或p 2 舍去 所以所求概率为 2 因为在 DAB内任作射线AP 则等可能基本事件为 DAB内作射线AP 所以它的所有等可能事件所在的区域H是 DAB 当射线AP与线段BC有公共点时 射线AP落在 CAB内 区域h为 CAB 所以射线AP与线段BC有公共点的概率为答案 加固训练 在Rt ABC中 BAC 90 AB 1 BC 2 在BC边上任取一点M 则 AMB 90 的概率为 解析 如图 在Rt ABC中 作AD BC D为垂足 由题意可得BD 且点M在BD上时 满足 AMB 90 故所求概率P 答案 考点2与面积 体积有关的几何概型 典例2 1 在Rt ABC中 A为直角 且AB 3 BC 5 若在 ABC内任取一点 则该点到三个顶点A B C的距离均不小于1的概率是 2 2015 烟台模拟 在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中 点O为底面ABCD的中心 在正方体ABCD A1B1C1D1内随机取一点P 则点P到点O的距离大于1的概率为 解题提示 1 应先考虑到三个顶点距离有一个小于1的点围成的图形的面积等于多少 2 点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心 以1为半径的半球的外部 规范解答 1 选D 如图所示 在Rt ABC中 AC 4 故Rt ABC的面积为 AB AC 3 4 6 在Rt ABC内任取一点 该点到三个顶点的距离均不小于1 则该点应在图中的阴影部分内 阴影部分的面积为6 12 6 由几何概型的概率计算公式可知 该点到三个顶点的距离均不小于1的概率为 2 选B 点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心 以1为半径的半球的外部 记点P到点O的距离大于1为事件A 则 规律方法 解决与面积有关的几何概型的方法求解与面积有关的几何概型时 关键是弄清某事件对应的几何元素 必要时可根据题意构造两个变量 把变量看成点的坐标 找到全部试验结果构成的平面图形 以便求解 变式训练 1 2015 兰州模拟 如图 矩形ABCD内的阴影部分是由曲线f x 2x2 2x与直线y 2x围成的 现向矩形ABCD内随机投掷一点 则该点落在阴影部分的概率为 解析 因为f x 2x2 2x与y 2x的交点为 0 0 和 2 4 曲线f x 2x2 2x与x轴的交点为 0 0 1 0 其顶点为所以矩形ABCD的面积为 4 2 9 阴影部分面积为所以该点落在阴影部分的概率为答案 2 2015 哈尔滨模拟 在体积为V的三棱锥S ABC的棱AB上任取一点P 则三棱锥S APC的体积大于的概率是 解析 如图 三棱锥S ABC的高与三棱锥S APC的高相同 作PM AC于M BN AC于N 则PM BN分别为 APC与 ABC的高 所以又所以时 满足条件 设则P在BD上 所求的概率P 答案 加固训练 如图 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1 在正方体内随机取点M 则使四棱锥M ABCD的体积小于的概率为 解析 过M作平面RS 平面AC 则两平面间的距离是四棱锥M ABCD的高 显然M在平面RS上任意位置时 四棱锥M ABCD的体积都相等 若此时四棱锥M ABCD的体积等于 只要M在截面以下即可小于 当VM ABCD 时 即 1 1 h 解得h 即点M到底面ABCD的距离 所以所求概率P 答案 考点3几何概型与其他知识的交汇问题知 考情几何概型是近几年高考的热点之一 常见的命题角度有 与三角形 矩形 圆等平面图形面积有关的问题 与随机模拟有关的概率问题 与线性规划知识交汇命题的问题 与定积分交汇命题的问题 明 角度命题角度1 几何概型与定积分交汇问题 典例3 2014 辽宁高考 正方形的四个顶点A 1 1 B 1 1 C 1 1 D 1 1 分别在抛物线y x2和y x2上 如图所示 若将一个质点随机投入正方形ABCD中 则质点落在图中阴影区域的概率是 解题提示 可依据定积分的几何意义 求出阴影部分的面积 再利用几何概型概率公式求解 规范解答 阴影部分面积S阴等于正方形面积S减去其内部的非阴影部分的面积S1 由对称性可知 根据几何概型知 质点落在图中阴影区域的概率是P 答案 命题角度2 几何概型与不等式 组 交汇问题 典例4 2014 湖北高考 由不等式组确定的平面区域记为 1 不等式组确定的平面区域记为 2 在 1中随机取一点 则该点恰好在 2内的概率为 解题提示 首先根据给出的不等式组表示出平面区域 然后利用面积型的几何概型概率公式求解 规范解答 选D 依题意 不等式组表示的平面区域如图 由几何概型概率公式知 该点落在 2内的概率为P 悟 技法两种常见几何概型的解决方法 1 线型几何概型 当基本事件只受一个连续的变量控制时 一般是把这个变量看成一条线段或角 这样基本事件就构成了 即可借助于线段 或角度 的度量比来求解 2 面型几何概型 当基本事件受两个连续的变量控制时 一般是把这两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标 这样基本事件就构成了平面上的一个区域 进而转化为面积的度量来解决 通 一类1 2015 成都模拟 如图所示 半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域 在圆中随机扔一粒豆子 它落在阴影区域内的概率是 则阴影部分的面积是 A B C 2 D 3 解析 选D 设阴影部分的面积为S1 圆的面积S 32 9 由几何概型的概率计算公式得得S1 3 2 2015 玉溪模拟 若任取x y 0 1 则点P x y 满足y 的概率为 解析 选A 由题意可得 x y 0 1 所对应区域为边长为1的正方形 面积为1 记 点P x y 满足y 为事件A 则A包含的区域由确定的区域的面积为所以P A 3 2015 威海模拟 若不等式组表示的平面区域为M x 4 2 y2 1表示的平面区域为N 现随机向区域内抛一粒豆子 则该豆子落在平面区域N内的概率是 解析 如图所示 答案 自我纠错28求几何概型的概率 典例 在等腰直角 ABC中 过直角顶点C在 ACB内作一条射线CD与线段AB交于点D 求AD AC的概率 解题过程 错解分析 分析以上解题过程 你知道错在哪里吗 提示 解题过程中出现错误的原因是不能准确找出事件的几何度量 选错几何度量导致错解 规避策略 1 处理几何概型问题的关键 几何概型试验所包含的基本事件无法一一列举出来 如何将某一事件所包含的基本事件用 长度 角度 面积 体积 等表示出来是关键 2 正确认识测度 当基本事件只受一个连续的变量控制即值域大小有关时 应用长度 当基本事件受两个连续的变量控制即与形状的大小有关时 应用面积 自我矫正 射线CD在 ACB内是均匀分布的 故 ACB 90 可看成试验的所有结果构成的区域 在线段AB上取一点E 使AE AC 则 ACE 67 5 可看成事件构成的区域 所以满足条件的概率为