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山东省邹城市2019届高三上学期期中质量监测数学（理）试题第I卷（选择题60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则=A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据对数函数和指数函数的单调性，化简集合，再求集合的并集.【详解】lgx0=lg1，即0x1，A=（0，1；2x1=20，即x0，B=（-，0，则AB=（-，1故选B【点睛】本题考查了集合的并集运算，涉及了对数函数与指数函数的单调性的应用；求集合的并集，通常需要先明确集合，即化简集合，然后再根据集合的运算规则求解.2.函数y=log12x2-1的定义域为A. -2,-11,2 B. -2,-11,2C. -2,-11,2 D. -2,-11,2【答案】C【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，以及对数的真数大于0，得到关于x的不等式组，解不等式即可求解.【详解】根据题意，得log12x210x210 ，即0x211 ，解得2x1,或1bc B. bca C. cba D. bac【答案】A【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，以及对数运算进行判断.【详解】a=31230=1,0b=log1312bc .故选A.【点睛】本题考查了指数函数和对数函数的单调性的应用，考查了对数的运算，采用了“中间量”法比较大小.5.定积分13(2x1x)dx=A. 10ln3 B. 8ln3 C. 223 D. 649【答案】B【解析】 由题意得13(2x1x)dx=(x2lnx)|13=(32ln3)(12ln1)=8ln3，故选B.6.已知a=b=2,a+2ba-b=-2，则与b的夹角为A. 30 B. 45 C. 60 D. 90【答案】C【解析】【分析】将a+2ba-b展开，利用向量的数量积公式求解.【详解】a+2bab=a22b2+ab=424+abcosa,b=4cosa,b4=2 解得cosa,b=12两向量夹角的范围为0，180，a,b 的夹角为60故选C【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量的夹角，在解题时要注意两向量夹角的范围是0, .7.已知命题p：存在实数,满足sin+=sin+sin；命题q：loga2+log2a2(a0且a1).则下列命题为真命题的是A. p(q) B. pq C. pq D. pq【答案】A【解析】【分析】先判断命题p，q的真假，再利用复合命题真假关系判断各选项.【详解】当=0时，满足sin（+）=sin+sin，故命题p是真命题，则p是假命题，当a=12 时，loga2=-1，log2a=-1，不等式不成立，故命题q是假命题，则q是真命题， 则pq是真命题，其余为假命题.故选A【点睛】本题考查了判断复合命题的真假；pq ，有真为真，都假为假；pq都真为真，有假为假；p与q真假相反.8.设函数f(x)=Asin(x+)（A,是常数，A0,0），且函数f(x)的部分图象如图所示，则有（ ）A. f(34)f(53)f(76) B. f(34)f(76)f(53)C. f(53)f(76)f(34) D. f(53)f(34)f(76)【答案】D【解析】试题分析：由题意T=43(5612)=，=2=2，212+=2，=3，f(x)=Asin(2x+3)，由图象知f(x)的一个减区间是(12,712)，一个增区间是(712,1312)，f(34)=f(4)，f(53)=f(23)=f(271223)=f(2)，f(76)=f(6)，12642f(4)f(2)，故选D考点：f(x)=Asin(x+)的解析式，比较大小，三角函数的单调性【名师点睛】函数f(x)=Asin(x+)的解析式的确定可利用最大值与最小值确定振幅A，利用周期确定，利用五点确定，特别是填空题、选择题中，可直接利用五点中的0,2,32确定，而不需要象解答题一样通过解三角方程求得9.下图是函数fx=x2+ax+b的部分图象，则函数 gx=lnx+fx的零点所在的区间是A. 14,12 B. 1,2 C. 2,3 D. 12,1【答案】D【解析】【分析】先求出gx=lnx+2x+a，根据导数判断其在定义域上单调递增，结合二次函数图象，判断2a0,g120 ，gx在定义域0,+上单调递增， 则gx若存在零点，则零点唯一.g1=ln1+2+a=2+a ，根据二次函数fx=x2+ax+b的图象，f1=1+a+b=0,1f0=b0 ，故2a0，g12=ln12+1+a=ln2+1+a0函数g（x）=lnx+f（x）的零点所在的区间是（12，1）.故选C【点睛】本题考查了导数的运算及应用，考查了函数零点所在区间的判断，涉及了二次函数图象的应用，考查了数形结合的思想 .在解题过程中，要注意定义域优先原则，分析函数单调性和零点必须在函数定义域内进行.10.已知x,yR，且y4,x-y+10,x+y-10则目标函数z=2x+y的最小值为A. -4 B. -2 C. 2 D. 4【答案】B【解析】【分析】根据约束条件，画出可行域，再平移直线2x+y=0确定取最小值时点的位置，进而求解.【详解】作出x，yR，且y4,x-y+10,x+y-10所表示的平面区域，作出直线2x+y=0，并对该直线进行平移，可以发现经过点A时Z取得最小值. 由y=4x+y1=0解得A（-3，4），zmin=23+4=2 .故选B【点睛】本题考查了线性规划求最值，解决这类问题一般要分三步：画出可行域、找出关键点、求出最值线性规划求最值，通常利用“平移直线法”解决.11.已知O是ABC的外心，AB=4，AC=2，则AOAB+AC=A. 8 B. 9 C. 10 D. 12【答案】C【解析】【分析】展开AOAB+AC ，结合向量在向量方向上投影的概念求解【详解】已知AOAB+AC=AOAB+AOAC，AOAB=AOABcosAO,AB，结合外心的性质，如图，可知AOcosAO,AB=12AB，AOAB=12AB2，同理AOAC=12AC2AOAB+AC=12AB2+12AC2=10故选C.【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上投影的概念，考查了平面向量在几何中的应用；解答的关键是外心的几何性质与向量的投影概念相结合.12.若直线y=kx+b是曲线y=lnx+3的切线，也是曲线y=ln(x+2)的切线，则实数b的值是A. 2+ln23 B. 2-ln6 C. 2+ln6 D. 2+ln32【答案】A【解析】【分析】分别设切点，利用切线斜率相等得x1=x2+2,则切线方程为y=1x1x+lnx1+2，y=1x1xx2x2+2+lnx1，可得x2x2+2=2, b=2+lnx2+2，计算可得解.【详解】已知直线y=kx+b是曲线y=lnx+3的切线，也是曲线y=ln(x+2)的切线，设切点分别为x1,lnx1+3,x2,lnx2+2 ，令f（x）=lnx+3， 则fx=1x ，令g（x）=ln(x+2)，则gx=1x+2可知1x1=1x2+2 ，即x1=x2+2，过切点x1,lnx1+3表示切线方程：ylnx13=1x1xx1, 整理得y=1x1x+lnx1+2 ，过切点x2,lnx2+2表示切线方程：ylnx2+2=1x2+2xx2,整理得y=1x2+2xx2x2+2+lnx2+2=1x1xx2x2+2+lnx1 故 x2x2+2=2,，解得x2=43 故b=2+lnx2+2=2+ln23 故选A.【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了学生对导数意义的理解，还考查了直线方程的求法；曲线的切点，包含以下三方面信息：切点在切线上，切点在曲线上，切点横坐标处的导数等于切线的斜率.第卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知向量 a=(1,2),b=(2,2),c=(1,) 若c(2a+b)，则实数=_【答案】12【解析】分析：首先根据向量的运算法则，求得向量2a+b的坐标，之后应用向量平行时坐标所满足的条件，得到相应的等量关系式，求得结果.详解： a=(1,2),b=(2,-2), 2a+b=(2,4)+(2,2)=(4,2),c(2a+b),24=0,=12.点睛：该题考查的是有关利用向量平行求参数的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有数乘向量，向量加法运算法则，向量共线时坐标所满足的条件，正确应用公式是解题的关键.14.设当x=时,函数fx=cosx-2sinx取得最大值,则cos=_.【答案】55【解析】【分析】利用辅助角公式，结合三角函数的性质以及诱导公式求解.【详解】利用辅助角公式 f（x）=2sinx+cosx=525sinx15cosx=5sinx+ ，其中cos=25,sin=15 已知当x=时,函数fx取得最大值，f（）=5sin+，故+=2k2,kZ，则=2k2 ，故cos=cos2k2=cos2+=sin=15=55 故填：55【点睛】本题考查了辅助角公式的应用，考查了正弦函数的最值，考查了三角函数的诱导公式的应用. 辅助角公式：asinx+bcosx=a2+b2sinx+,a2+b20, 其中sin=ba2+b2,cos=aa2+b2 .15.观察下列各式： 13=1213+23=3213+23+33=62 照此规律，则第n个等式应为_.【答案】13+23+33+n3=nn+122【解析】【分析】左边为几个连续整数的立方的和的形式，右边是数的平方形式，观察归纳得出右边式子底数的通式，即可求解.【详解】第1个式子右边底数为1，第2个式子右边底数为3=1+2=22+12 ，第3个式子右边底数为6=1+2+3=33+12 ，归纳可得：第n个式子右边底数为1+2+3+n=nn+12 故第n个等式为13+23+33+n3=nn+122故填：13+23+33+n3=nn+122【点睛】本题考查了归纳推理的运用，属于数的归纳，此类题目通常既要观察式或数与序号之间的关系，还要联系相关知识，比如等差数列等.16.已知函数fx是定义在R上的偶函数，其导函数为fx，且当x0时，2fx+xfx0，则不等式x-20182fx-2018-f-10的解集为_.【答案】xx2019【解析】【分析】构造函数F（x）=x2f（x），结合题意，得出F（x）在（-，0）是增函数，原不等式等价为Fx2018F10 ,结合函数的单调性和奇偶性求解即可.【详解】已知2f（x）+xf（x）0，x0；则2xf（x）+x2f（x）0，即x2f（x）0；令F（x）=x2f（x），则当x0时，Fx0，即F（x）在（-，0）上是增函数，F（x-2018）=（x-2018）2f（x-2018），F（-1）=f（-1），不等式等价为F（x-2018）-F（-1）0，偶函数f（x）是定义在R上的可导函数，f（-x）=f（x），F（-x）=F（x），F（x）在（-，0）是增函数，F（x）在（0，+）是减函数，由F（2018-x）=F（x-2018）F（-1）=F（1）得，|x-2018|1，解得x2019或x2017 故填：x|x2017或x2019【点睛】本题考查了导函数的应用，考查了函数奇偶性和单调性的应用；若题目中给出含有f（x）的不等式，通常做法是构造函数，使所构造函数的导函数与已知不等式相结合.三、解答题：（本大题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.设命题p:函数f(x)=x3-mx-1在区间-1,2上单调递减；命题q:函数y=ln(x2+2mx+1)的值域是R.如果命题pq为真命题，pq为假命题，求实数m的取值范围.【答案】m-,-11,12)【解析】【分析】分别求出p，q为真命题时m的范围，再由已知可得p和q有且只有一个是真命题，分类求解后，取并集得答案.【详解】命题p为真命题等价于fx=3x2-m0在-1,2上恒成立，即m3x2在-1,2上恒成立，所以m12 . 命题q为真命题等价于=4m2-40恒成立，解得m-1或m1 . 由题意，p和q有且只有一个是真命题， 则p真q假m12,-1m1，解得m； p假q真m12,m-1或m1，解得m-1或1m2的解集为(1,5).（）求实数m的值；（）若关于x的不等式x+af(x)恒成立，求实数的取值范围.【答案】（）4； （）aa-7或a1.【解析】【分析】（）解不等式得5-mx2，即m-x-32，x-3m-2，2-mx-3m-2 5-mx2的解集为(1,5)，5-m=1且m+1=5，解得m=4. （）由题设及（），结合绝对值的几何意义得不等式x+a4-x-3恒成立x+a+x-34恒成立 a+34恒成立. a+3-4或a+34，解得a-7或a1. 故所求实数aaa-7或a1.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查了不等式的恒成立问题；在解有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义，能有效的避免分类讨论不全面的问题.21.山东省于2015年设立了水下考古研究中心，以此推动全省的水下考古、水下文化遗产保护等工作;水下考古研究中心工作站，分别设在位于刘公岛的中国甲午战争博物院和威海市博物馆。为对刘公岛周边海域水底情况进行详细了解，然后再选择合适的时机下水探摸、打捞，省水下考古中心在一次水下考古活动中，某一潜水员需潜水50米到水底进行考古作业，其用氧量包含以下三个方面：下潜平均速度为x米/分钟，每分钟的用氧量为1100x2升；水底作业时间范围是最少10分钟最多20分钟，每分钟用氧量为0.4升；返回水面时，平均速度为12x米/分钟，每分钟用氧量为0.32升.潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升.（）如果水底作业时间是15分钟，将y表示为x的函数；（）若x6,12，水底作业时间为20分钟，求总用氧量y的取值范围.【答案】（）y=x2+32x+6(x0,+； （）16,503.【解析】【分析】（）依题意，知下潜时间50x分钟，返回时间100x分钟，再由题意可得y关于x的函数；（）由（）及x6，12，利用基本不等式求y的最小值，再由结合函数单调性求得最大值，则答案可求【详解】（）依题意，知下潜时间50x分钟，返回时间100x分钟， 则有y=50xx2100+100x0.32+150.4 (x0,+)， 整理，得y=x2+32x+6(x0,+. （）由（）及题意，得y=x2+32x+8 (x6,12)， y=x2+32x+82x232x+8=16（x6,12）.当且仅当x2=32x，即x=8时“=”成立. 当x=8时，ymin=16；y=1232x2，易求得x6，8时，y 0 ，x(8，10时 y 0, 函数在x6，8是减函数，x(8，10是增函数，又当x=6时，y=493；当x=12时，y=503493. 所以，总用氧量y的取值范围是16,503.【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用，考查了基本不等式的实际应用,涉及了根据导数判断函数的单调性；根据实际问题抽象出函数解析式后，可利用基本不等式求最值，但一定要在定义域内求解.22.已知函数gx=fx+12x2-bx，函数fx=x+alnx的图象在x=1处的切线与直线2x-y+3=0平行.（）求实数的值；（）若函数gx存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（）设x1,x2(x1x2)是函数gx的两个极值点，若b72，试求gx1-gx2的最小值.【答案】（）1； （）3,+； （）158-2ln2.【解析】【分析】（）利用导数的几何意义，结合平行线的斜率相等，得f（1）=2，即可求得实数a的值；（）由题意知g（x）0在（0，+）上有解，结合二次函数的图象和性质，求解b的取值范围；（）结合（），可知两个极值点x1+x2=b-1，x1x2=1，求出gx1-gx2=lnx1x2-12x1x2-x2x1，令t=x1x2，构造出函数ht；再根据b72，求得函数ht的定义域，进而利用导数求ht的最小值即可.【详解】（）fx=x+alnx，fx=1+ax.切线与直线2x-y+3=0平行，k=f1=1+a=2，a=1. （）易得gx=lnx+12x2-b-1x(x0,+)， gx=1x+x-b-1=x2-b-1x+1x (x0,+). 由题意，知函数gx存在单调递减区间,等价于gx0，则故可设x=x2-b-1x+1. 而0=10，所以，要使gx0,=b-12-40， 即b1,b3或b-1，故所求实数b的取值范围是3,+. （）由（）知，gx=x2-b-1x+1x，令gx=0，得x2-b-1x+1=0.x1,x2(x1x2)是函数gx的两个极值点，x1,x2(x1x2)是方程x2-b-1x+1=0的两个根，x1+x2=b-1，x1x2=1. gx1-gx2=lnx1+12x12-b-1x1-lnx2+12x22-b-1x2 =lnx1x2+12x12-x22-b-1x1-x2 =lnx1x2+12x12-x22-x1+x2x1-x2 =lnx1x2-12x12-x22=lnx1x2-12x12-x22x1x2 =lnx1x2-12x1x2-x2x1 令t=x1x2，0x1x1，t=x1x20,1，且gx1-gx2=ht=lnt-12t-1t.， 化简整理，得,解得或.而，. ，函数在单调递减， . 故的最小值为.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了导数与函数单调性的关系，考查了函数的极值和利用导数求最值；在求最值过程中，要注意定义域优先的原则，即求函数的单调性和最值必须在函数的定义域内进行.
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