2018年高中数学第三章不等式3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题学案新人教A版必修5 .doc

2018年高中数学第三章不等式3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题学案新人教A版必修5预习课本P8286，思考并完成以下问题 (1)二元一次不等式是如何定义的？(2)应按照怎样的步骤画二元一次不等式表示的平面区域？(3)应按照怎样的步骤画二元一次不等式组表示的平面区域？含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式2二元一次不等式组由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组3二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集4二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式AxByC0表示直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界不等式AxByC0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线5二元一次不等式表示的平面区域的确定(1)直线AxByC0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入AxByC，所得的符号都相同(2)在直线AxByC0的一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0By0C的符号可以断定AxByC0表示的是直线AxByC0哪一侧的平面区域点睛确定二元一次不等式表示平面区域的方法是“线定界，点定域”，定边界时需分清虚实，定区域时常选原点(C0)1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)由于不等式2x10不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域()(2)点(1,2)不在不等式2xy10表示的平面区域内()(3)不等式AxByC0与AxByC0表示的平面区域是相同的()(4)二元一次不等式组中每个不等式都是二元一次不等式()(5)二元一次不等式组所表示的平面区域都是封闭区域()解析：(1)错误不等式2x10不是二元一次不等式，但表示的区域是直线x的右侧(不包括边界)(2)错误把点(1,2)代入2xy1，得2xy130，所以点(1,2)在不等式2xy10表示的平面区域内(3)错误不等式AxByC0表示的平面区域不包括边界，而不等式AxByC0表示的平面区域包括边界，所以两个不等式表示的平面区域是不相同的(4)错误在二元一次不等式组中可以含有一元一次不等式，如也称为二元一次不等式组(5)错误二元一次不等式组表示的平面区域是每个不等式所表示的平面区域的公共部分，但不一定是封闭区域答案：(1)(2)(3)(4)(5)2在直角坐标系中，不等式y2x20表示的平面区域是()解析：选C原不等式等价于(xy)(xy)0，因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包括边界)，故选C.3在不等式2xy60表示的平面区域内的点是()A(0,7)B(5,0)C(0,1) D(2,3)解析：选C对于点(0,1)，代入上述不等式200160成立，故此点在不等式2xy60，解得m.答案：二元一次不等式(组)表示的平面区域典例画出下列不等式(组)表示的平面区域(1)2xy60；(2)解(1)如图，先画出直线2xy60，取原点O(0,0)代入2xy6中，2010660，与点O在直线2xy60同一侧的所有点(x，y)都满足2xy60，因此2xy60表示直线下方的区域(包含边界)(如图中阴影部分所示)(2)先画出直线xy50(画成实线)，如图，取原点O(0,0)代入xy5，00550，原点在xy50表示的平面区域内，即xy50表示直线xy50上及其右下方的点的集合同理可得，xy0表示直线xy0上及其右上方的点的集合，x3表示直线x3上及其左方的点的集合如图所示的阴影部分就表示原不等式组的平面区域(1)在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可其步骤为：画线；定侧；求“交”；表示(2)要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域，只需在它所对应的直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从Ax0By0C的正负判定活学活用若关于x，y的不等式组表示的平面区域是直角三角形区域，则正数k的值为()A1B2C3 D4解析：选B如图，易知直线kxy10经过定点A(0,1)，又知道关于x，y的不等式组表示的平面区域是直角三角形区域，且k0，所以k1，解得k2，故选B.二元一次不等式(组)表示平面区域的面积典例不等式组表示的平面区域的面积为()A. B.C. D.解析作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示可以求得点A的坐标为，点B的坐标为(2，2)，点C的坐标为(8，2)，所以ABC的面积是8(2).答案A求平面区域的面积的方法求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积若图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采取分割的方法，将平面区域分为几个规则图形求解活学活用不等式组所表示的平面区域的面积等于()A. B.C. D.解析：选C作出平面区域如图所示为ABC，由可得A(1,1)，又B(0,4)，C，SABC|BC|xA|1，故选C.用二元一次不等式组表示实际问题典例某厂使用两种零件A，B装配两种产品P，Q，该厂的生产能力是月产P产品最多有2 500件，月产Q产品最多有1 200件；而且组装一件P产品要4个零件A,2个零件B，组装一件Q产品要6个零件A,8个零件B，该厂在某个月能用的A零件最多14 000个，B零件最多12 000个用数学关系式和图形表示上述要求解设分别生产P，Q产品x件，y件，依题意则有用图形表示上述限制条件，得其表示的平面区域如图(阴影部分整点)所示用二元一次不等式组表示实际问题的方法(1)先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示(2)将问题中所有的量都用这两个字母表示出来(3)由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量均有实际意义写出所有的不等式(4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来 活学活用某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h和2 h，漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h和1 h又木工、漆工每天工作分别不得超过8 h和9 h请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域解：设家具厂每天生产甲，乙型号的桌子的张数分别为x和y，它们满足的数学关系式为：分别画出不等式组中各不等式表示的平面区域，然后取交集，如图中的阴影部分所示，生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件层级一学业水平达标1设点P(x，y)，其中x，yN，满足xy3的点P的个数为()A10B9C3 D无数个解析：选A作的平面区域，如图所示，符合要求的点P的个数为10.2不在3x2y3表示的平面区域内的点是()A(0,0) B(1,1)C(0,2) D(2,0)解析：选A将(0,0)代入，此时不等式3x2y3不成立，故(0,0)不在3x2y3表示的平面区域内，将(1,1)代入，此时不等式3x2y3成立，故(1,1)在3x2y3表示的平面区域内，将(0,2)代入，此时不等式3x2y3成立，故(0,2)在3x2y3表示的平面区域内，将(2,0)代入，此时不等式3x2y3成立，故(2,0)在3x2y3表示的平面区域内，故选A.3不等式组表示的平面区域为()解析：选C取满足不等式组的一个点(2,0)，由图易知此点在选项C表示的阴影中，故选C.4已知点M(2，1)，直线l：x2y30，则()A点M与原点在直线l的同侧B点M与原点在直线l的异侧C点M与原点在直线l上D无法判断点M及原点与直线l的位置关系解析：选B因为22(1)310,020330，所以点M与原点在直线l的异侧，故选B.5若不等式组表示的平面区域为，则当a从2连续变化到1时，动直线xya0扫过中的那部分区域的面积为()A. B.C. D.解析：选C如图所示，为BOE所表示的区域，而动直线xya扫过中的那部分区域为四边形BOCD，而B(2,0)，O(0,0)，C(0,1)，D，E(0,2)，CDE为直角三角形S四边形BOCD221.6直线2xy100与不等式组表示的平面区域的公共点有_个解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示因为直线2xy100过点A(5,0)，且其斜率为2，小于直线4x3y20的斜率，故只有一个公共点(5,0)答案：17平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的形状是_解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知平面区域为等腰直角三角形答案：等腰直角三角形8若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是_解析：不等式组表示的平面区域如图所示，当ya过A(0,5)时表示的平面区域为三角形，即ABC，当5a7时，表示的平面区域为三角形，综上，当5a7时，表示的平面区域为三角形答案：5,7)9已知点P(1，2)及其关于原点的对称点均不在不等式kx2y10表示的平面区域内，求k的取值范围解：点P(1，2)关于原点的对称点为P(1,2)，由题意，得即解得5k3.故k的取值范围是5，310已知实数x，y满足不等式组：(1)画出满足不等式组的平面区域；(2)求满足不等式组的平面区域的面积解：(1)满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示(2)解方程组得A，解方程组得D，所以满足不等式组的平面区域的面积为S四边形ABCDSAEFSBCFSDCE(23)(12)1(31).层级二应试能力达标1如图阴影部分用二元一次不等式组表示为()A.B.C. D.解析：选B由图易知平面区域在直线2xy0的右下方，在直线xy3的左下方，在直线y1的上方，故选B.2原点和点(1,1)在直线xya0的两侧，则a的取值范围是()A(，0)(2，) B0,2C(0,2) D0,2解析：选C因为原点和点(1,1)在直线xya0的两侧，所以a(2a)0，即a(a2)0，解得0a2.3由直线xy10，xy50和x10所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为()A. B.C. D.解析：选A由题意，得所围成的三角形区域在直线xy10的左上方，直线xy50的左下方，及直线x10的右侧，所以所求不等式组为4完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为23，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，请工人数的限制条件是()A. B.C. D.解析：选C由题意50x40y2 000，即5x4y200，x，yN*，故选C.5不等式组表示的平面区域的面积为_解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得C(4,0)，B(4,2)，D(0,3)，A(2,3)，所以平面区域的面积为342111.答案：116设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x02y02，则实数m的取值范围是_解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图得点C的坐标为(m，m)，把直线x2y2转化为斜截式yx1，要使平面区域内存在点P(x0，y0)满足x02y02，则点C在直线x2y2的右下方，因此m，故m的取值范围是.答案：7已知点M(a，b)在由不等式组表示的平面区域内，求N(ab，ab)所在的平面区域的面积解：由题意，得a，b满足不等式组设nab，mab，则a，b，于是有即这个不等式组表示的平面区域为如图所示的OAB内部(含边界)，其面积为(22)24，即点N(ab，ab)所在的平面区域的面积为4.8已知点P在|x|y|1表示的平面区域内，点Q在表示的平面区域内(1)画出点P和点Q所在的平面区域；(2)求P与Q之间的最大距离和最小距离解：(1)不等式|x|y|1等价于不等式组等价于由此可作出点P和点Q所在的平面区域，分别为如图所示的四边形ABCD内部(含边界)，四边形EFGH内部(含边界)(2)由图易知|AG|(或|BG|)为所求的最大值，|ER|为所求的最小值，易求得|AG|5，|ER|OE|.33.2简单的线性规划问题预习课本P8791，思考并完成以下问题(1)约束条件，目标函数，可行解，线性规划问题是如何定义的？(2)如何求解线性目标函数的最值问题？线性规划的有关概念名称意义约束条件变量x，y满足的一组条件线性约束条件由x，y的二元一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式线性目标函数关于x，y的二元一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题点睛(1)线性约束条件包括两点：一是变量x，y的不等式(或等式)，二是次数为1.(2)目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函数在变量x，y的次数上作了严格的限定：一次解析式，即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数(3)可行解必须使约束条件成立，而可行域是所有的可行解组成的一个集合1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)可行域是一个封闭的区域()(2)在线性约束条件下，最优解是唯一的()(3)最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解()(4)线性规划问题一定存在最优解()解析：(1)错误可行域是约束条件表示的平面区域，不一定是封闭的(2)错误在线性约束条件下，最优解可能有一个或多个，也可能有无数个，也可能无最优解，故该说法错误(3)正确满足线性约束条件的解称为可行解，但不一定是最优解，只有使目标函数取得最大值或最小值的可行解，才是最优解，所以最优解一定是可行解(4)错误线性规划问题不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最优解，故该说法是错误的答案：(1)(2)(3)(4)2已知变量x，y满足约束条件则zx2y的最小值为()A3B1C5 D6解析：选C由约束条件作出可行域如图：由zx2y得yx，的几何意义为直线在y轴上的截距，当直线yx过直线x1和xy1的交点A(1，2)时，z最小，最小值为5，故选C.3已知实数x，y满足若可行域内存在点使得x2ya0成立，则a的最大值为()A1 B1C4 D5 解析：选D作出不等式对应的可行域如图所示，由x2ya0可得yx，平移直线yx，当直线yx经过点A时，直线yx的截距最大，此时a最大，由解得故A(1,2)，此时a的最大值是ax2y1225.4已知实数x，y满足条件则的取值范围是_解析：由约束条件作出可行域如图所示 ，所以即是可行域内的点与原点连线的斜率，故可得0,2，所以.答案：求线性目标函数的最大(小)值典例设z2xy，变量x，y满足条件求z的最大值和最小值解作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示把z2xy变形为y2xz，则得到斜率为2，在y轴上的截距为z，且随z变化的一组平行直线由图可以看出，当直线z2xy经过可行域上的点A时，截距z最大，经过点B时，截距z最小解方程组得A点坐标为(5,2)，解方程组得B点坐标为(1,1)，z最大值25212，z最小值2113.解线性规划问题的基本步骤(1)画：画出线性约束条件所表示的可行域(2)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线(3)求：通过解方程组求出最优解(4)答：根据所求得的最优解得出答案活学活用1若实数x，y满足不等式组目标函数tx2y的最大值为2，则实数a的值是()A0B1C2 D3解析：选C作出满足条件的可行域(如图)，由目标函数tx2y，得直线yxt在点处取得最大值，即tmax224a2，得a2，故选C.2已知实数x，y满足约束条件若目标函数z2xay仅在点(3,4)取得最小值，则a的取值范围是_解析：作出不等式对应的平面区域如图所示，若a0，则目标函数为z2x，即此时函数在A(3,4)时取得最大值，不满足条件当a0，由z2xay得yx，若a0，目标函数斜率0，此时平移yx，得yx在点A(3,4)处的截距最大，此时z取得最大值，不满足条件若a0，目标函数斜率0，要使目标函数yx仅在点A(3,4)处取得最小值，则kAB1 ，a，所以，由图可知直线过点A时，z取得最大值又x，yN，所以点A不是最优解点(0,7)，(2,6)，(9,2)都在可行域内，逐一验证可得，当x2，y6时，z取得最大值，故选D.层级一学业水平达标1设变量x，y满足约束条件则目标函数zx6y的最大值为()A3B4C18D40解析：选C由题意作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示作直线x6y0并向右上平移，由图可知，过点A(0,3)时zx6y取得最大值，最大值为18.2某服装制造商有10 m2的棉布料，10 m2的羊毛料和6 m2的丝绸料，做一条裤子需要1 m2的棉布料，2 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料，做一条裙子需要1 m2的棉布料，1 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x条，裙子y条，利润为z，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为()A.z20x40yB.z20x40yC.z20x40yD.z40x20y解析：选A由题意知A正确3已知变量x，y满足约束条件则的取值范围是()A.B.6，)C(，36，) D(3,6解析：选A作出可行域，如图中阴影部分所示，可理解为可行域中一点与原点的连线的斜率，又B，A(1,6)，故的取值范围是.4某学校用800元购买A，B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A，B两种用品应各买的件数为()A2,4 B3,3C4,2 D不确定解析：选B设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则求z800100x160y取得最小值时的整数解(x，y)，用图解法求得整数解为(3,3)5已知若zaxy的最小值是2，则a的值为()A1 B2C3 D4解析：选B作出可行域，如图中阴影部分所示，又zaxy的最小值为2，若a2，则(1,0)为最优解，所以a2；若a2，则(3,4)为最优解，解得a，舍去，故a2.6若点P(m，n)在由不等式组所确定的区域内，则nm的最大值为_解析：作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为A(1,3)，B(2,5)，C(3,4)，设目标函数为zyx，则yxz，其纵截距为z，由图易知点P的坐标为(2,5)时，nm的最大值为3.答案：37已知x，y满足约束条件则x2y2的最小值是_解析：画出满足条件的可行域(如图)，根据表示可行域内一点到原点的距离，可知x2y2的最小值是|AO|2.由得A(1,2)，所以|AO|25.答案：58铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：ab(万吨)c(百万元)A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为_(百万元)解析：设购买铁矿石A，B分别为x，y万吨，购买铁矿石的费用为z(百万元)，则目标函数z3x6y.由得记P(1,2)，画出可行域，如图所示当目标函数z3x6y过点P(1，2)时，z取到最小值，且最小值为zmin316215.答案：159若x，y满足约束条件(1)求目标函数zxy的最值；(2)若目标函数zax2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围解：(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)平移初始直线xy0，过A(3,4)取最小值2，过C(1，0)取最大值1.z的最大值为1，最小值为2.(2)直线ax2yz仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知12，解得4a2.故所求a的取值范围为(4,2)10某人承担一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小解：设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x2y)个，绘画标牌(2xy)个，由题意可得所用原料的总面积为z3x2y，作出可行域如图在一组平行直线3x2yz中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线过直线2xy5和直线x2y4的交点(2,1)，最优解为x2，y1，使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小层级二应试能力达标1设变量x，y满足约束条件则目标函数z3xy的取值范围是()A.B.C1,6 D.解析：选A作出可行域如图所示目标函数z3xy可转化为y3xz，作l0：3xy0，在可行域内平移l0，可知在A点处z取最小值为，在B点处z取最大值为6.2已知实数x，y满足条件若目标函数zmxy(m0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值为()A1 B.C D1解析：选A作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线ymxz(m0)与直线2x2y10重合，即m1时，目标函数zmxy取最大值的最优解有无穷多个，故选A.3已知实数x，y满足：z|2x2y1|，则z的取值范围是()A. B0,5C0,5) D.解析：选C作出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示令u2x2y1，当直线2x2y1u0经过点A(2，1)时，u5，经过点B时，u，则u0，f(1)0，即画出可行域如图中阴影部分所示，由线性规划可知，点M(1,2)与阴影部分连线的斜率k的取值范围为kAMkkBM, A(3,1)，B(1,0)，2，即a4时，f(x)minf(2)2a7，由2a7a，得a7，7a4.综上，可得a的取值范围为7,2.