高考数学题型全归纳第五章平面向量第1节.pptx

第五章平面向量第一节向量的线性运算 考纲解读1 了解向量的实际背景 理解平面向量的概念及两个向量相等的含义及向量的几何表示 2 掌握向量加法 减法的运算 并理解其几何意义 掌握向量数乘的运算及其意义 理解两个向量共线的含义 3 了解平面向量的基本定理及其意义 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 会用坐标表示平面向量的加法 减法与数乘运算 理解用坐标表示平面向量共线的条件 知识点精讲 一 向量的基本概念1 向量定义既有大小又有方向的量叫向量 一般用来表示 或用有向线段的起点与终点的大写字母表示 如 其中为起点 为终点 2 向量的大小 模 向量的大小 也就是向量的长度 记作或 3 零向量 单位向量 相等向量 平行 共线 向量零向量 长度为零的向量 记为 其方向是任意的 单位向量 模 长度 为个单位的向量 当时 显然向量是与向量共线 平行 的单位向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合 记为 平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 平行向量也叫共线向量 因为任何平行向量经过平移后 总可以移到一条直线上 规定零向量与任何向量平行 共线 即 二 向量的线性运算1 向量的加法求两个向量和的运算叫做向量的加法 已知向量 在平面内任取一点 作 则向量叫做与的和 或和向量 即 向量加法的几何意义 向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则 如图5 1所示 向量 图5 1 2 向量的减法 1 相反向量与长度相等 方向相反的向量 叫做的相反向量 记作 规定 零向量的相反向量仍是零向量 即互为相反向量的和是零向量 若 互为相反向量 则 2 向量的减法 向量与的相反向量之和 叫做向量与的差 即 向量减法的几何意义 向量的减法符合三角形法则 如图5 2所示 则向量 3 向量的数乘图5 2 1 实数与向量的积是一个向量 记为 其长度与方向规定如下 当时 与的方向相同 当时 与的方向相反 当时 当时 2 向量数乘运算的运算律 设为实数 则 三 重要定理和性质 1 共线向量基本定理如果 则 反之 如果 则一定存在唯一的实数 使 口诀 数乘即得平行 平行必有数乘 2 平面向量基本定理如果和是同一平面内的两个非零不共线向量 那么对于平面内的任一向量 都存在唯一的一对实数 使得 我们把不共线向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 记为 叫做向量关于基底的分解式 3 线段定比分点的向量表达式如图5 3所示 在中 若点是边上的点 且则向量 在向量线性表示 运算 有关的问题中 若能熟练利用此结论 往往能有 化腐朽为神奇 之功效 应熟练掌握 4 三点共线定理图5 3平面内三点 共线的充要条件是 存在实数 使 其中 为平面内任一点 此定理在向量问题中经常用到 应熟练掌握 三点共线存在唯一的实数 使得 存在唯一的实数 使得 存在唯一的实数 使得 存在 使得 5 中线向量定理 如图5 4所示 在中 若点是边的中点 则中线向量 题型归纳及思路提示题型71共线向量的基本概念 例5 1 1 有向线段就是向量 向量就是有向线段 2 向量与向量共线 则四点共线 3 如果 那么 以上命题中正确的个数是 A B C D 分析 联系向量的基本概念 注意特殊向量零向量 注意考查判断 解析 1 不正确 向量可以用有向线段表示 但向量不一定是有向线段 2 不正确 共线向量所在的直线可以重合 也可以平行 3 不正确 当时 则与不一定共线 所以 1 2 3 均不正确 故选D 评注 本题易忽视零向量这一特殊向量 认为 3 是正确的 题型72共线向量基本定理及应用 例5 2 平面向量 共线的充要条件是 A 方向相同B 两向量中至少有一个为零向量C D 存在不全为零的实数 解析 选项A中 时 与既可同向 又可反向 故A项不一定成立 选项B中 若 有一个为 一定有与共线 但是与共线时 与可能都不为 故B项不一定成立 选项C中 若 时 但不存在使 故C项不一定成立 选项D中 时 时 故D项成立 故选D 题型73平面向量的线性表示 例5 4 设是所在平面内的一点 则 A B C D 解析 如图5 5所示 故为的中点 因此 故选B 例5 7 如图5 12所示 在平行四边形中 分别是 的中点 与交于点 设 则等于 A B C D 图5 12 分析 本题主要考查向量的线性表示 可以利用三点共线定理相关知识求解 解析 因为 三点共线 故 又因为与共线 则存在实数 使 所以 故 解法二 特殊化思想 如图5 13所示 联立 得 故选B 例5 9 已知向量 不共线 实数满足 则的值等于 解析 由平面向量基本定理可知 故 题型75向量与三角形的四心 例5 13 若是内一点 则是的 A 外心B 内心C 垂心D 重心 解析 如图5 20所示 以为邻边作平行四边形 取的中点为 则 得 即 所以点为的三等分点 且 故为的重心 故选D 题型74平面向量基本定理及应用 题型76利用向量法解平面几何问题 例5 15 如图5 22所示 在四边形中 分别是 的中点 求证 以线段中点为顶点的四边形为平行四边形 图5 22 解析 分别以表示线段的中点 则 因此 同理可得 从而 所以四边形是平行四边形 原命题得证