非齐次泊松过程与复合泊松过程.ppt

1 非齐次泊松过程复合泊松过程 主讲人 崔东旭制作人 崔东旭高旭刘涛2012 11 02 2 一 泊松过程的定义二 齐次泊松过程 三 非齐次泊松过程四 复合泊松过程 3 一 泊松过程的定义 泊松过程是一类较为简单的时间连续状态离散的随机过程 一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程 4 一 泊松过程的定义 泊松过程是由法国著名数学家泊松 Poisson Simeon Denis 1781 1840 证明的 1943年C 帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程 辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它 5 二 齐次泊松过程 1 齐次泊松过程的定义 称计数过程 X t 0 为具有参数 0的泊松过程 若它满足下列条件 X 0 0 X t 是独立 平稳增量过程 在任意长度为t的区间内 事件A发生的次数服从参数 0的泊松分布 即对任意s t 0 有P X t s X s n n 0 1 2 6 二 齐次泊松过程 解释 独立增量过程 是指在每一个时间段内事件A发生的次数是相互独立的 平稳增量过程 是指计数过程N t 在 t t s 内 s 0 事件A发生的次数N t s N t 仅与时间差有关 而与时间段的起始时间无关 因此 齐次泊松过程是平稳增量过程且E X t t 由于 单位时间内事A发生的平均个数 故称为此过程的速率或强度 7 二 齐次泊松过程 齐次泊松过程的解释 称计数过程 X t t 0 为具有参数 0的泊松过程 若它满足下列条件 X 0 0 X t 是独立 平稳增量过程 X t 满足下列两式 P X t h X t 1 h o h P X t h X t 2 o h 以上定义说明 在充分小的时间间隔内 最多有一个事件发生 而不能有两个或两个以上的事件同时发生 也就是说 要么事件发生一次 要么事件不发生 这是泊松过程的核心概念 8 三 非齐次泊松过程 例 设电话总机在早晨8时接到的电话呼叫数为20个 8时至11时接到的电话呼叫数线性增加 接到的电话呼叫数为50个 11时至15时保持平均到呼叫数不变 15时到18时接到的电话呼叫数线性下降 到18时为20个 接到的呼叫在不相重叠时间间隔内是相互独立的 求9时至11时有30个呼叫数的概率 9 三 非齐次泊松过程 从这个例子可以看出 它符合泊松过程 即符合独立增量过程 且在充分小的时间间隔内 最多只有一个事件发生 而不能有两个或两个以上的事件同时发生 但是 和齐次泊松过程比有一个条件变了 不再是常数了 在齐次泊松过程的讨论中 由于对齐次过程做了时齐的假设 其均值函数E Xt t与t成正比 但是现实生活中不可能所有的事情都按齐次泊松过程发生 因此引入了非齐次泊松过程 10 三 非齐次泊松过程 非齐次泊松过程的定义 称计数过程 X t t 0 为具有强度函数 t 非齐次泊松过程 若它满足下列条件 X 0 0 X t 是独立增量过程 X t 满足下列两式 P X t h X t 1 t h o h P X t h X t 2 o h 在这里 定义与齐次泊松过程相比 出现了微小的变化 11 三 非齐次泊松过程 首先 X t 不再是平稳增量过程 也就是说 计数过程N t 在 t t s 内 s 0 事件A发生的次数N t s N t 不仅与时间差有关 而且还与时间段的起始时间有关 其次 定义公式里不再是泊松过程的强度 也就是说数学期望不再是E X t t 而出现了 t 叫做强度函数 因此 引入累积强度函数的概念 12 三 非齐次泊松过程 下面我们将从均值函数的层面解释非齐次泊松过程与齐次泊松过程的不同之处 在齐次泊松过程中 由于齐次性 即它的平稳增量过程 过程的强度为 因此 在 s t s 内 其均值为 t 在非齐次泊松过程中 由于非齐次性 即强度函数的为 t 因此 在 0 s 内 均值为 x 在 0 t s 内 均值为 t x 因此 在 s t s 内 均值为 t x x 13 三 非齐次泊松过程 在齐次泊松过程中 事件A在 s t s 内发生n次的概率P为 P X t s X s n n 0 1 2 其中 t为数学期望 即均值 因此 可以想象 在非齐次泊松过程中 事件A在 x t x 内发生n次的概率P为 P 14 三 非齐次泊松过程 证明 对t 0 h 0及非负整数n 定义则由独立增量性和和非齐次泊松过程的定义知 对任意s 0 有 15 三 非齐次泊松过程 于是用s除上式两端 并令s 0得由非齐次泊松过程的定义知 以上偏微分方程满足下列初始条件 4 1 4 2 16 三 非齐次泊松过程 利用初始条件 4 2 式 对 4 1 积分得对于n 1 由独立增量性和非齐次泊松过程的定义知 对任意s 0 有 4 3 17 三 非齐次泊松过程 18 三 非齐次泊松过程 于是 用s除上式两端 并令s 0得 4 4 4 5 19 三 非齐次泊松过程 若令 则当n 0时 4 5 式就变为 4 1 式 即 4 5 式对任意非负整数n均成立 下面利用生成函数法求偏微分方程组 4 5 的解 令 4 6 20 三 非齐次泊松过程 对每一n 0 1 2 将 4 5 式两端乘以Zn 然后对n求和即得对 4 7 式积分得 4 7 4 8 21 三 非齐次泊松过程 由非齐次泊松过程的定义知于是 4 9 4 10 22 三 非齐次泊松过程 由 4 8 式及 4 10 式得 4 11 23 三 非齐次泊松过程 将 4 6 式与 4 11 式比较得定理证明完毕 4 12 24 三 非齐次泊松过程 关于非齐次泊松过程的几个实例 例 设某路公共汽车从早晨5时到晚上9时有车发出 乘客流量是 5时按平均乘客200人 时计算 5时至8时乘客平均到达率线性增加 8时到达率为1400人 时 8时至18时保持平均到达率不变 18时到21时从到达率1400人 时按线性下降 到21时为200人 时 假定乘客数在不相重叠时间间隔内是相互独立的 求12时至14时有2000人来站乘车的概率 并求这两小时内来站乘车人数的数学期望 25 三 非齐次泊松过程 解 将时间5时至21时平移为0到16时 依题意得乘客到达率为 乘客到达率与时间关系如图所示 26 三 非齐次泊松过程 由题意 乘客数的变化可用非齐次泊松过程描述 从知 在12时至14时有2000名乘客到达的概率12时至14时有2000名乘客的数学期望是mX 9 mX 7 2800 人 27 三 非齐次泊松过程 例 某商店每日8时开始营业 从8时到11时平均顾客到达率线性增加 在8时顾客平均到达率为5人 时 11时到达率达最高峰20人 时 从11时到13时 平均顾客到达率维持不变 为20人 时 从13时到17时 顾客到达率线性下降 到17时顾客到达率为12人 假定不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的 问在8 30到9 30无顾客到达商店的概率是多少 在这段时间内到达商店的顾客数学期望是多少 28 三 非齐次泊松过程 解 将时间5时至21时平移为0到9时 依题意得顾客到达率为 乘客到达率与时间关系如图所示 29 三 非齐次泊松过程 由题意 顾客的变化可用非齐次泊松过程描述 从知 在0 30时至1 30时无顾客到达商店的概率概率8 30至9 30有2000名乘客的数学期望是 30 四 复合泊松过程 在人们的日常生活中 泊松过程往往不是单独存在的 比如顾客到商店 不会只是在商店转一圈 往往会购物 当然 进去转转不买也是有的 生产线的机器坏了 维修的时候会有维修费用 参加保险公司的医疗保险人生病 保险公司会对其作出赔偿等 这一系列的泊松过程都会有累积的事件参杂在其中 如果我们能够将这些累积的事件和泊松过程联系起来 找出一定的规律 也许就能成为解决某些生活规律的工具 例如 算出商店一天的营业额 生产线一年的机器维修费用 保险公司的预备赔偿金的存储额等 因此 可以看出 前面多考虑的泊松过程 并未涉及到 泊松过程质点 的大小 确定这些泊松过程质点的累积效果的随机过程及其概率结构是有实际意义的 31 四 复合泊松过程 下面我们引入复合泊松过程的定义 定义3 5设 N t t 0 是强度为 的泊松过程 Yk k 1 2 是一列独立同分布随机变量 且与 N t t 0 独立 令则称 X t t 0 为复合泊松过程 32 四 复合泊松过程 例 设N t 是在时间段 0 t 内到某商店的顾客人数 N t t 0 是泊松过程 若Yk是第k个顾客在商店所花的钱数 则 Yk k 1 2 是独立同分布随机变量序列 且与 N t t 0 独立 记X t 为该商店在 0 t 时间段内的营业额 则是一个复合泊松过程 33 四 复合泊松过程 例 令X t 表示在时间段 0 t 内抵达某港口船舶的艘数 他们到达的时刻为0 1 2 n在通常情况下 X Xt t 0 是一个泊松过程 在时刻 n到达的船舶的载货吨数为Yn是一个随机变量 若要考虑 0 t 内抵达该港口船舶的总载重吨数Zt 则需要研究随机过程 34 四 复合泊松过程 定理3 6设是复合泊松过程 则 1 X t t 0 是独立增过程 2 X t 的特征函数为式中gY u 是随机变量Y1的特征函数 是事件的到达率 3 若 则E X t tE Y1 D X t tE YI2 35 证明 1 令0 t0 t1 tm 则由于 Yk k 1 2 是一列独立同分布随机变量 所以X t 具有独立增量性 2 36 由条件期望的性质E X t E E X t N t 及假设知 所以 类似的 37 四 复合泊松过程 复合泊松过程由一列随机变量 Yn 的和而构成 当Yn 1时 X t N t X t 即为通常的泊松过程 复合泊松过程的定义要求 分析具体问题时 首先要确定一个泊松过程与一个随机变量序列 然后要验证随机变量序列以及随机变量序列与泊松过程的独立性 只有在这些条件都具备后 方可对该问题进行处理或计算 38 四 复合泊松过程 例 设移民到某地定居的户数是一泊松过程 已知平均每周有2户定居 设每户的人口数是一随机变量 而且一户有4人的概率为1 6 有3人的概率是1 3 有2人的概率为1 3 有1人的概率是1 6 且知各户的人口数相互独立 求 0 t 周内到该地定居的移民人数的数学期望与方差 39 四 复合泊松过程 解 记Yi为第i户的人口数 Yi 相互独立 移民总人数X t 是一复合泊松过程 依题意 2 E Y1 4 1 6 3 1 3 2 1 3 1 1 6 5 2 E Y12 42 1 6 32 1 3 22 1 3 12 1 6 43 6 所以 E X t tE Y1 2t 5 2 5t D X t tE Y12 2t43 6 43t 3 40 四 复合泊松过程 例 考虑保险公司准备支付保险总金额的金钱储备 假设保险单持有者在时刻0 1 2 n死亡 家属索取的的保险金额Yn Yn相互独立 都服从U 1500 2000 均匀分布 假设X t 表示 0 t 时间段内人的死亡数量 X t 为 3的齐次泊松过程 保险公司准备的保险金额Zt 求复合泊松过程的E Z t D Z t 41 四 复合泊松过程 解 由题意知 3由概率论可知 均匀分布的数学期望所以 因为由 42 四 复合泊松过程 因此 因此 43 四 复合泊松过程 例 设某飞机场到达的客机数服从泊松过程 平均每小时到达的客机数为5架 客机共有A B C三种类型 他们能承载的乘客数分别为180人 145人 80人 且这三种飞机出现的概率相同 求3小时内到达机场的最多乘客数的数学期望为多少 方差为多少 44 四 复合泊松过程 解 设Yi代表第n架飞机的乘客数 X t 代表到达机场的乘客数 则因此 45 四 复合泊松过程 由题意知 5因此三小时内乘客的数学期望和方差为 46 五 总结 复合泊松过程相当于把一个对应于时间区间 0 t 的辅助随机变量Yn叠加到一个泊松过程 X t t 0 中去 所以可以将复合泊松过程称作叠加过程 因此 根据复合泊松过程往往可以求一些类似商店营业额 保险公司储备金之类的问题 这是因为它们的对象都是相对独立的个体在自己相对独立的时间段内做了一件相对独立的事情 例如消费的金额 每个人买煎饼果子的个数等