非稳态导热分析解法.ppt

第三章非稳态导热 3 4 3 15 3 16 3 31 3 33 3 41 3 52 本章作业 第三章非稳态热传导 3 1非稳态导热的基本概念3 2零维问题的分析法 集总参数法3 3典型一维物体非稳态导热的分析解3 4半无限大物体的非稳态导热 重点内容 非稳态导热的基本概念及特点 集总参数法的基本原理及应用 一维非稳态导热和半无限大物体导热问题 2 掌握内容 确定瞬时温度场的方法 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法 3 1非稳态导热的基本概念 3 1 1非稳态导热过程物体的温度随时间而变化的导热过程为非稳态导热 自然界和工程上许多导热过程为非稳态 t f 例 冶金 热处理与热加工中工件被加热或冷却 锅炉 内燃机等装置起动 停机 变工况 自然环境温度 供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度 2非稳态导热的分类 周期性非稳态导热 物体的温度随时间而作周期性的变化 非周期性非稳态导热 瞬态导热 物体的温度随时间不断地升高 加热过程 或降低 冷却过程 在经历相当长时间后 物体温度逐渐趋近于周围介质温度 最终达到热平衡 物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值 着重讨论瞬态非稳态导热 非稳态导热过程必定是加热或冷却过程 非稳态导热过程中在热量传递方向上不同位置处的导热量是处处不同的 不同位置间导热量的差别用于 或来自 该两个位置间内能随时间的变化 这是区别与稳态导热的一个特点 3 非稳态导热过程的特点 对非稳态导热一般不能用热阻的方法来作问题的定量分析 4温度分布 一复合平壁 左侧金属壁 右侧保温层 层间接触良好 两种材料导热系数 密度和比热均为常数 初始温度t0 复合壁左侧表面温度突然升高到t1 并保持不变 右侧仍与温度为t0的空气接触 5两个不同的阶段 依据温度变化的特点 可将加热或冷却过程分为二个阶段 非正规状况阶段 右侧面不参与换热 温度分布受环境和初始温度的综合影响 即 在此阶段物体温度分布受t0分布的影响较大 环境的热影响不断向物体内部扩展的过程 即物体 或系统 有部分区域受到初始温度分布控制的阶段 必须用无穷级数描述 二类非稳态导热的区别 瞬态导热存在着有区别的两个不同阶段 而周期性导热不存在 正规状况阶段 右侧面参与换热 当右侧面参与换热以后 物体中的温度分布不受初始温度的影响 主要取决于边界条件及物性 此时非稳态导热过程进入到正规状况阶段 环境的热影响已经扩展到整个物体内部 即物体 或系统 不再受到初始温度分布影响的阶段 可以用初等函数描述 6热量变化 1 板左侧导入的热流量 2 板右侧导出的热流量 各阶段热流量的特征 非正规状况阶段 1急剧减小 2保持不变 正规状况阶段 1逐渐减小 2逐渐增大 非稳态导热问题的求解实质 在规定的初始条件及边界条件下求解导热微分方程式 是本章主要任务 3 1 2导热微分方程解的唯一性定律 三个不同坐标系下导热微分方程式 用矢量形式统一表示为 温度的拉普拉斯算子 初始条件的一般形式 简单特例f x y z t0 边界条件 着重讨论第三类边界条件 解的唯一性定理数学上可以证明 如果某一函数t x y z 满足方程 3 1a 3 1b 以及一定的初始和边界条件 则此函数就是这一特定导热问题的唯一解 本章所介绍的各种分析解都被认为是满足特定问题的唯一解 一般情况下 稳态导热的温度分布取决于物体的导热系数 但非稳态导热的温度分布则取决于导热系数 和热扩散率a 3 1 3第三类边界条件非稳态导热温度分布的三种情形 在第三类边界条件下 确定非稳态导热物体中的温度变化特征与边界条件参数的关系 已知 平板厚 初温 表面传热系数h 平板导热系数 将其突然置于温度为的流体中冷却 平板中温度场的变化会出现以下三种情形 由此可见 上述两个热阻的相对大小对于物体中非稳态导热的温度场的变化具有重要影响 为此 我们引入表征这两个热阻比值的特征数毕渥数 1 毕渥数的定义 毕渥数属特征数 准则数 2 Bi物理意义 固体内部单位导热面积上的导热热阻与单位表面积上的换热热阻之比 Bi的大小反映了物体在非稳态条件下内部温度场的分布规律 3 特征数 准则数 表征某一物理现象或过程特征的无量纲数 4 特征长度 是指特征数定义式中的几何尺度 毕渥数 1 这时 由于表面对流换热热阻几乎可以忽略 因而过程一开始平板的表面温度就被冷却到 并随着时间的推移 逐渐趋近于 2 这时 平板内部导热热阻几乎可以忽略 因而任一时刻平板中各点的温度接近均匀 并随着时间的推移 整体地下降 逐渐趋近于 这时平板中不同时刻的温度分布介于上述两种极端情况之间 3 与的数值比较接近 3 2零维问题的分析法 集总参数法 定义 忽略物体内部导热热阻 认为物体温度均匀一致的分析方法 此时 温度分布只与时间有关 即 与空间位置无关 因此 也称为零维问题 物体的质量与热容量均集中到一点 由于物体温度与空间坐标无关 因此集总参数法尤其易于处理形状不规则的物体 3 2 1集总参数法温度场的分析解 一个集总参数系统 其体积为V 表面积为A 密度为 比热为c以及初始温度为t0 突然放入温度为t 换热系数为h的环境中 求物体温度随时间变化的依变关系及物体与外界的换热量 建立数学模型 利用两种方法 利用能量守恒热平衡关系为 内热能随时间的变化率 通过表面与外界交换的热流量 c 根据导热微分方程的一般形式进行简化 方法一 椐非稳态有内热源的导热微分方程 物体内部导热热阻很小 忽略不计 物体温度在同一瞬间各点温度基本相等 即t仅是 的一元函数 与坐标x y z无关 即 可视为广义热源 而且热交换的边界不是计算边界 零维无任何边界 界面上交换的热量应折算成整个物体的体积热源 即 物体被冷却 应为负值 适用于本问题的导热微分方程式 在导热问题中 将边界的对流换热 或辐射换热 折算成 计算源项 是有条件的 即在所研究的方向上导热体内部热阻忽略不计 当物体被冷却时 t t 由能量守恒可知 方法二 适用于本问题的导热微分方程式 物体与环境的对流散热热流量 物体内能的变化率 方程式改写为 积分 过余温度比 其中的指数 温度呈指数分布 傅立叶数 应用集总参数法时 物体过余温度随时间的变化关系是一条负自然指数曲线 或者无因次温度的对数与时间的关系是一条负斜率直线 3 2 2导热量计算式 时间常数与傅立叶数 1 导热量计算 瞬态热流量 导热体在时间0 内传给流体的总热量 当物体被加热时 t t 计算式相同 物体与环境的对流散热量 物体内能的变化量 方程中指数的量纲 2 时间常数 即与的量纲相同 上式表明 当传热时间等于时 物体的过余温度已经达到了初始过余温度的36 8 称为时间常数 也称弛豫时间 用表示 如果导热体的热容量 cV 小 换热条件好 hA大 那么单位时间所传递的热量大 导热体的温度变化快 时间常数 Vc hA 小 时间常数反映了系统处于一定的环境中所表现出来的传热动态特征 与其几何形状 密度及比热有关 还与环境的换热情况相关 可见 同一物质不同的形状其时间常数不同 同一物体在不同的环境下时间常数也是不相同 当物体冷却或加热过程所经历的时间等于其时间常数时 即 c 则 4 c 时 工程上认为 4 c时导热体已达到热平衡状态 3Fo物理意义 Fo越大 热扰动就能越深入地传播到物体内部 各点温度就越接近周围介质的温度 Fo物理意义 表征非稳态过程进行深度的无量纲时间 Fo 称之为傅里叶准则或傅里叶数 表征了给定导热系统的导热性能与其贮热 贮存热能 性能的对比关系 是给定系统的动态特征量 3 2 3集总参数系统的适用范围 如何去判定一个任意的系统是集总参数系统 特征长度的取值 特征长度 工程计算中 物体中各点过余温度的差别小于5 是与物体几何形状有关的无量纲常数 由Bi数的定义 若表面传热系数h或特征尺度 如直径d 是未知时 事先无法知道Bi数的大小 因而可以先假设集总参数法的条件成立 待求出h或d之后 进行校核 这一点是非常重要的 例 将一个初始温度为20 直径为100mm的钢球投入1000 的加热炉中加热 表面传热系数为h 50W m2 K 已知钢球的密度为7790kg m3 比热容为470J kg K 导热系数为43 2W m K 试求钢球中心温度达到800 所需要的时间 解 首先判断能否用集总参数法求解 毕渥数为 可以用集总参数法求解 在某厂生产的测温元件说明书上 标明该元件的时间常数为1s从传热学角度 你认为此值可信吗 在对非稳态流体温度场的测定中 时间常数是反映测温元件精度很重要的指标之一 它表征导热体温度随流体温度变化的快慢 它不仅取决于几何参数 v A 和物性参数 c 还取决于换热条件 h 而h是过程量 因而在不同换热条件下 时间常数是变化的 不是常数 一厨师在炒鸡肉丝时要品尝一下咸淡 于是他从100 的热炒锅中取出一鸡肉丝 用嘴吹了一会 待其降至65 时再放入口中 试估算厨师需要吹多长时间 出锅时鸡肉丝可视为平均直径为2mm的圆条 厨师口中吹出的气流温度为30 其与鸡肉丝之间的表面传热系数为100W m2K 鸡肉丝的物性参数 810kg m3 1 1W mK c 3 35kJ kgK 解 首先检验是否可用集总参数法 故可以采用集总参数法 3 3典型一维物体非稳态导热的分析解 3 3 1三种几何形状物体的温度场分析解3 3 2非稳态导热正规状况阶段分析解的简化3 3 3非稳态导热正规状况阶段工程计算方法3 3 4分析解应用范围的推广 1 平板 厚度2 的无限大平壁 a为已知常数 0时温度为t0 突然把两侧介质温度降低为t 并保持不变 壁表面与介质之间的表面传热系数为h 两侧冷却情况相同 温度分布对称 中心为原点 导热微分方程 初始条件 边界条件 第三类 采用分离变量法求解 与Fo数 Bi数及 有关 使无穷级数满足初始条件 2 圆柱 半径为R的一实心圆柱 a为已知常数 初始温度为t0 初始瞬间把周围介质温度降低为t 并保持不变 圆柱表面与流体之间的表面传热系数h为常数 与Fo数 Bi数及 有关 第一类贝塞尔函数查表P572附录14 3 球 半径为R的一实心球 a为已知常数 初始温度为t0 初始瞬间把两侧介质温度降低为t 并保持不变 球表面与流体之间的表面传热系数h为常数 与Fo数 Bi数及 有关 平板 圆柱与球中的无量纲过余温度与Fo数 Bi数及无量纲距离 有关 教材错误 P1253 24 3 3 2非稳态导热正规状况阶段分析解的简化 1 非稳态导热正规状况的物理概念和数学含义 物理概念 非周期性的非稳态导热过程在进行到一定深度后 初始条件对物体中无量纲温度分布的影响基本消失 温度分布主要取决于边界条件的影响 非稳态导热的这一阶段称为正规状况阶段 数学含义 取无穷级数第一项 可查表求部分Bi数下的 n值 n为超越方程的根 以平板为例进行说明 特征值 n是Bi数的函数 在一定的Bi下 特征值 n随n的增加而迅速增长 当Bi 1时 n的前4个值 无穷级数第一项后各项随Fo数的增大而迅速减小 数值计算表明 Fo 0 2后 略去无穷级数中的第二项及以后各项所得的计算结果与按完整级数计算结果的偏差小于1 2 正规状况三个分析解的简化表达式 Fo 0 2时 进入正规状况阶段 平壁内所有各点过余温度的对数都随时间按线性规律变化 变化曲线的斜率都相等 Fo 0 2时是非正规状况阶段 各点温度变化速率不同 与时间无关 只取决于边界条件 以平板为例进行分析 平板中心处过余温度 平板从初始时刻到热平衡所传递的热量 3 一段时间间隔内所传导的热量计算式 非稳态导热所能传递的最大热量 若令Q为 0 内所传递热量 平均过余温度 热量计算式 三种几何形状物体的正规状况阶段温度场与导热量的计算式可统一为 当Fo 0 2时 可采用上述计算公式求得非稳态导热物体的温度场及交换的热量 也可采用简化的拟合公式和诺模图求得 3 3 3正规热状况的实用计算方法 常数见表3 3 1 近似拟合公式 式中常数a b c d见P128表3 2 对上述公式中的A B 1 J0可用下式拟合 教材错误 三个变量 需分来画 以无限大平板为例 Fo 0 2时 取其级数首项即可 2 图线法 P129图3 7 P130图3 8 P130图3 9 无限长圆柱体和球体加热 冷却 过程分析 1 无限长圆柱 式中r0为无限长圆柱体的半径 类似有 和 P573附录16 2 球体 球体处理方法与无限大圆柱体完全相同 相应的线算图示于P575附录17之中 这里要注意的是特征尺寸R为球体的半径 r为球体的径向方向 如何利用线算图 a 对于由时间求温度的步骤为 计算Bi数 Fo数和x 从图3 7中查找 m 0和从图3 8中查找 m 计算出 最后求出温度 b 对于由温度求时间步骤为 计算Bi数 x 和 0 从图3 8中查找 m 计算 m 0然后从图3 7中查找Fo 再求出时间 c 平板吸收 或放出 的热量 可在计算Q0 Bi数 Fo数之后 从图3 9中Q Q0查找 再计算出 目前 随着计算技术的发展 直接应用分析解及简化拟合公式计算的方法受到重视 线算图法评述 优点 简洁方便 缺点 准确度有限 误差较大 3 3 4分析解应用范围的推广及准数对过程的影响 分析解对物体被加热或冷却均适用 对一维平板 还可应用于以下边界条件 1 平板一侧绝热 另一侧第三类边界 2 平板两侧均为第一类边界 Fo对温度场的影响 物体中各点过余温度随时间增加而减少 所以也随Fo的增加而减少 Bi对温度场的影响 Fo一定时 Bi越大 越小Bi大小还决定物体中温度趋于均匀的程度 求解非稳态导热问题的一般步骤 非稳态导热求解方法 1 先校核Bi是否满足集总参数法条件 若满足 则优先考虑集总参数法 若性质属于h或 未知 可先假设 然后校核 2 如不能用集总参数法 则尝试用诺谟图或近似公式 3 若上述方法都不行则采用数值解 4 确定温度分布 加热或冷却时间 热量 例 一块厚200mm的大钢板 钢材的密度为 7790kg m3 比热容cp 170J kg K 导热系数为43 2W m K 钢板的初始温度为20 放入1000 的加热炉中加热 表面传热系数为h 300W m2 K 试求加热40分钟时钢板的中心温度 解 根据题意 100mm 0 1m 毕渥数为 傅里叶数为 查图可得 钢材的热扩散率为 一壁厚40mm 直径1m的钢制输油管 AISI1010 管道外壁有很厚的隔热层 在输油前 管壁处于 20 的均匀温度 流动开始时用泵使60 的热油通过管道 在管内壁 形成相当于h 500W mK的对流条件 1 开始流动8min后 Fo Bi值 2 8min时 覆盖了隔热层的管子外壁温度 3 8min时 油对管壁传热的热流 4 在8min时间内 热油传给每m长管道的能量 解 AIAI1010钢 管壁厚度远小于管道直径 管壁可近似为平壁 特征长度取壁厚 2 由于Bi 0 1 故不可采用集总参数法 FO 0 2 可用一维分析解的简化形式 求绝热表面的温度查图3 7 3 在x 处 查图3 8 4 油传给每米管道能量能量查图3 9 3 4半无限大物体非稳态导热 x 0界面开始 可向正向及上下方向无限延伸 而在每个与x坐标垂直的截面上物体温度相等 处理非稳态导热初始阶段问题的方法 第一类 边界温度突然升至tw 并保持恒定 第二类 边界受到恒定热流密度加热 第三类 受到温度为t 的流体加热 完整的数学描述 第一类 第二类 第三类 误差函数 以第一类边界条件为例 对分析解进行讨论 无量纲坐标 物理意义 2时 x处温度仍为t0无量纲过余温度变化小于0 5 几何位置若对一原为2 的平板 若时间若惰性时间局部Fo数 则均可作为半无限大物体来处理 以第一类边界条件为例 导出 0 时刻物体与外界换热量 任意截面x处热流密度 令x 0即得边界面上的热流量 0 内累计传热量 吸热系数表征了物体向其接触的高温物体的吸热能力 铜和混凝土在温度为23 的房间中已经放置很久 用手分别接触这两种材料 问哪一块材料使人感觉更凉 假定材料可当作半无限大物体 人手的温度为37 手指的感觉与其感受到的热流密度有关 温度为23 时 铜和混凝土的物性 铜 混凝土 即铜块上的热流是混凝土上热流的20多倍 因此 人手的感觉是铜块要比混凝土凉 2 Bi准则对温度分布的影响 Bi Bi h 表征了给定导热系统内的导热热阻与其和环境之间的换热热阻的对比关系 当Bi 时 意味着表面传热系数h 对流换热热阻趋于0 平壁的表面温度几乎从冷却过程一开始 就立刻降到流体温度t 当Bi 0时 意味着物体的热导率很大 导热热阻 0 Bi h 物体内的温度分布趋于均匀一致 可用集总参数法求解 傅里叶准则 Fo 称之为傅里叶准则或傅里叶数 表征了给定导热系统的导热性能与其贮热 贮存热能 性能的对比关系 是给定系统的动态特征量 答 红砖的导热系数小 以致Bi较大 即在非稳态导热现象中 内部热阻较大 当一块被烧至高温的红砖被迅速投入一桶冷水中后 其内部温差较大 从而产生较大的热应力 则红砖会自行破裂 例 一块被烧至高温 超过400 的红砖 迅速投入一桶冷水中 红砖自行破裂 而铁块则不会出现此现象 试解释其原因 引入过余温度 以第一类边界条件为例进行分析 解的应用范围 教材中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质的第三类边界条件或第一类边界条件的加热及冷却过程 并且F0 0 2