集合与函数1.1集合1.1.1集合的含义与表示.ppt

第一章集合与函数概念 湘钢一中高一年级数学组 1 1集合 1 1 1集合的含义与表示 在小学和初中 我们已经接触过一些集合 例如 自然数的集合 有理数的集合 不等式x 7 3的解的集合 到一个定点的距离等于定长的点的集合 即圆 用一条线段的两个端点距离相等的点的集合 即这条线段的垂直平分线 那么 集合的含义是什么呢 我们再看下面的一些例子 1 20以内的所有素数 金星汽车厂2003年生产的所有汽车 所有的正方形 到直线l的距离等于定长d的所有的点 方程x 3x 2 0的所有实数根 新华中学2004年9月入学的所有高一学生 我国从1991 2003年的13年内所发射的所有人造卫星 书包里面所有的教科书 例 1 中 我们把1 20以内的每一个素数作为元素 这些元素的全体就是一个集合 同样地 例 2 中 我们把金星汽车厂2003年生产的每一辆汽车作为一个元素 这些元素的全体也是一个集合 1 集合的含义是什么呢 一般地 我们把研究的对象统称为元素 把一些元素组成的总体叫做集合 简称集 上面的例 3 到 8 也能组成集合吗 它们的元素分别是什么 思考 例题1 下列各组对象 接近于0的数的全体 比较小的正整体全体 平面上的点O的距离等于1的全部 正三角形的全体 的近似值的全体其中能构成集合的组数是 A 2B 3C 4D 5 A 2 集合的表示法元素常用小写字母a b c 表示 集合常用大写字母A B C 表示 集合的概念是一中描述性说明 因为集合是数学最原始的 不加定义的概念 这与我们初中说过的点 直线等一些概念一样 都是用描述性语言表述的 我们一般用花括号 表示集合 也就是赋予了符号 新的含义 表示 所有的 全部的 具有共同特征的研究对象都在花括号内 例如 圆 表示所有到定点的距离等于定长的点的轨迹 即所有的圆 但以下的表示的方法是错误的 A 所有的圆 因为符号 已有 所有的 含义 3 元素与集合的关系元素与集合的关系有属于与不属于两种 元素a属于集合A 记作a A 读作 a属于集合A 元素a不属于集合A 记作aA 读作 a不属于集合A 1 确定性 判断一些对象是否可以组成一个集合 主要方法是 在观察任意一个对象时 应该可以确定这一对象要么属于这一集合 要么它不属于这一集合 绝无模棱两可的情况 否则这些对象想无法组成一个集合 因此我们说集合的元素具有确定性 即a A和aA二者必居其一 例如 给出集合 地球上的四大洋 它的元素是 太平洋 大西洋 印度洋 北冰洋 其他对象都不属于这个集合 2 无序性 集合中的元素的无序性 是指在表示一个集合时 我们只需将某些的对象集中在一起 虽然习惯上会将某些元素按一定顺序来写出 但却不强调它们的顺序 当两个集合中的元素相同 即便放置顺序完全不同 它们也表示同一集合 例如 a b 和 b a 表示同一个元素 集合中的元素是不分先后次序的 集合和点的坐标是不同的概念 在平面直角坐标系中 点 1 0 和点 0 1 表示不同的两个点 而集合 1 0 和 0 1 表示同一个集合 3 互异性 集合中元素的互异性 则是说对于任意一个集合而言 在这一集合中的表示出来的元素都是互不相同的个体 无论是从其表现形式来看 还是从其本质特征来看 都应强调不同的元素只能出现一次 如 给出集合 1 a 我们根据集合中元素的互异性 就已经得到了关于这个集合的几点信息 即这一集合中两个不同的元素 其中的一个实数1 而另一个一定不是1 所以a 1 且a 1 重点提示 集合中的元素具有 三性 即 确定性 互异性 无序性 解题时要注意运用 即分析问题时 要思考能否利用 三性 找到解题的切入点 题目解答出来后 也要检验其元素是否满足 三性 特别是 互异性 最容易被忽视 应引起足够的重视 4 特定集合的表示对于一些常用的数集 我们指定一些大写字母的拉丁字母专门表示这些集合 非负整数集 或自然数集 记作 正整数集 记作 整数集 记作 有理数集 记作 实数集 记作 在这些特定的集合符号中 与的区别为中比多一个元素0 符号中的 号在下标位置 中的 号在上标位置 不能写成或 此种写法是错误的 5 集合的分类按集合中元素的个数分为有限集和无限集 有限集是指含有有限个元素的集合 无限集是指含有无限个元素的集合 如果一个集合是有限集 并且元素的个数较少时 通常选择用列举法表示 如果一个集合是有限集且所含元素较多或是无限集时 通常选择用描述法表示如方程x 9 0的解集为 3 3 所有正偶数组成的集合为 2 4 6 8 描述法的一般形式是 x A P x 或 x P x 其中x是集合中的代表元素 P x 是集合元素的共同特征 注意竖线 不能省略 用列举法表示集合时要注意一下几点 1 元素间用分隔号 2 元素不重复 3 元素无顺序 4 对于较多的元素的集合 如果构成该集合的元素有明显的规律 可用列举法 但是必须把元素间的规律显示清楚后才能用删节号 使用描述法时 还应注意以下几点 1 写清集合中代表元素的符号 如实数或实数对 2 说明该集合中元素具有的性质 如方程 函数等 3 不能出现未被说明的字母 4 多层描述时 应当准确使用 且 或 5 所有描述的内容都要写在花括号内 用于描述的语句力求简明 确切 例题2 已知a A x x m n m n Z 则a与A之间是什么关系 分析 由题目可获得以下主要信息 1 元素a是个无理数 2 集合A中的元素都能写成一个整数与另外一个整数倍的和 解答本题可将a分母有理化 看能否化成m n的形式 解析 例题3 已知集合且 设 则 解析 B 例题4 设集合 1 试判断实数1 实数2与集合的关系 2 用列举法表示集合 解析 例题5 设集合 且A B 求 解析 例题6 用列举法表示下列集合 分析 集合中的元素是都有序数对 x y 可以理解为直角坐标系上点的坐标 因此 此题给的集合可以理解为点集 解析 例题7 用描述法表示下列集合 1 大于4的全体奇数构成的集合 2 坐标平面内 两坐标轴上点的集合 3 三角形的全体构成的集合 解析 例题8 下面三个集合 x y x 1 y y x 1 x y y x 1 1 它们各自的含义是什么 2 它们是不是相同的函数 2 由 1 可知集合 是实数集 集合 是大于或等于1的实数集 集合 是抛物线上的点构成的点集 故它们是互不相同的集合 练习 1 用符号 或 填空 1 设A为所有亚洲国家组成的集合 则 中国A 美国A 印度A 英国A 2 若A x x x 则 1A 3 若B x x x 6 0 则3B 4 若C xN 1 x 10 则8C 9 1C 作业 书P5 练习2P11 A1 5