随机变量的函数的分布.ppt

第五节随机变量的函数的分布 问题的提出离散型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布 一 问题的提出 在实际中 人们常常对随机变量的函数更感兴趣 求截面面积A 的分布 比如 已知圆轴截面直径d的分布 再比如 已知t t0时刻噪声电压V的分布 求功率W V2 R R为电阻 的分布等 二 离散型随机变量函数的分布 例1 设X 求Y 2X 3的概率函数 设随机变量X的分布已知 Y g X 如何由X的分布求出Y的分布 解 当X取值1 2 5时 Y取对应值5 7 13 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件 两者具有相同的概率 故 如果g xk 中有一些是相同的 把它们作适当并项即可 一般地 若X是离散型r v X的分布律为 则Y X2的分布律为 三 连续型随机变量函数的分布 解 设Y的分布函数为FY y 例2 设X 求Y 2X 8的概率密度 于是Y的密度函数 故 注意到 0 x 4时 即 8 y 16时 此时 Y 2X 8 当y 0时 注意到 Y X20 解 设Y和X的分布函数分别为和 求导可得 若 则Y X2的概率密度为 该概率密度函数对应的分布为 从上述两例中可以看到 在求P Y y 的过程中 关键的一步是设法从 g X y 中解出X 从而得到与 g X y 等价的X的不等式 这样做是为了利用已知的X的分布 从而求出相应的概率 这是求r v的函数的分布的一种常用方法 例如 例4 设随机变量X的概率密度为 求Y sinX的概率密度 解 所以 其中 x h y 是y g x 的反函数 设X是一个取值于区间 a b 具有概率密度f x 的连续型随机变量 又设y g x 处处可导 且对于任意x 恒有g x 0或恒有g x 0 则Y g X 是一个连续型随机变量 它的概率密度为 定理 解 例7设随机变量服从正态分布 也服从正态分布 证明 随机变量函数的分布 II 连续型随机变量函数概率密度的求法 1 先求出Y的分布函数与X的分布函数之间的关系 2 再两边同时对y求导 I 离散型随机变量函数分布律的求法