随机变量函数及其分布.ppt

2020 1 29 皖西学院应用数学学院 1 第六章随机变量的函数及其分布 第一节一维随机变量的函数及其分布 定义设f x 是定义在随机变量X的一切可能值x集合上的函数 对X的每一可能取值x 有唯一的y f x 与之对应 Y是y的集合 则Y是一个随机变量 称Y为X的函数 记作Y f X 问题 若X的分布已知 如何求Y的分布 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 2 一 离散型随机变量函数的分布 设离散型随机变量X的分布列为 当Y的取值有相等的情况时 把相应的概率相加即可 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 3 例1已知X的分布列如下 解 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 4 整理 得 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 5 二 连续型随机变量函数的分布 1 公式法 g x 严格单调 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 6 定理的证明 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 7 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 8 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 9 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 10 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 11 补充说明 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 12 2 分布函数法 g x 为任意形式 1 先确定Y的可能取值范围 2 在Y的可能取值范围内 求出其分布函数 3 在Y的可能取值范围内 求其密度函数 4 在实数区间内 表示出Y的密度函数 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 13 例3设X服从区间 0 1 上的均匀分布 求Y X2的分布 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 14 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 15 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 16 例5设X的密度函数为 Y 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 17 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 18 例6假设由自动线加工的某种零件的内径服从正态分布N 11 1 内径小于10或大于12为不合格品 销售每件合格品获利 而销售不合格品亏损 已知销售利润Y与销售零件的内径X关系如下 求Y的分布列 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 19 分析 Y的可能取值有那些 如何求离散型随机变量的分布 计算概率 利用等价事件 考虑X与Y的关系 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 20 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 21 从而得到Y的分布列为 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 22 一 二维离散型随机变量函数的分布 如果 X Y 是二维随机变量 且分布函数已知 Z g X Y 是关于X和Y的二元函数 则Z是一个一维随机变量 当然也存在着分布问题 而且与 X Y 的联合分布有着必然的联系 第二节二维随机变量函数的分布 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 23 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 24 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 25 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 26 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 27 二 二维连续型随机变量函数的分布 1 和的分布 连续场合下的卷积公式 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 28 例3设X U 0 1 Y Exp 1 且X Y相互独立 求Z X Y的密度函数 解 X和Y的密度函数分别是 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 29 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 30 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 31 2 分布函数法 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 32 注 分布函数法是普遍适用的一种方法 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 33 例3设X U 0 1 Y Exp 1 且X Y相互独立 求Z X Y的密度函数 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 34 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 35 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 36 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 37 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 38 分布函数法求随机变量函数的分布具有普遍性 对任意的函数都适用 无论是一维还是多维函数 而利用其他方法或公式求随机变量函数的分布时 必须注意定理或公式应满足的条件 总之 分布函数法是一种重要的方法 同时也是证明其他方法的依据 因此必须熟练掌握 补充说明 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 39 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 40 利用极坐标计算 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 41 随机变量的可加性 2020 1 29 皖西学院应用数学学院 42 课后作业 P75 76 2 3 6 8 11