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小专题(一)求锐角的三角函数值求锐角三角函数值的方法很多,且方法灵活,是中考中常见的题型,可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法.现将求锐角三角函数值的常用方法总结如下:直接根据定义求三角函数值,首先求出相应边的长度,然后代入三角函数公式计算即可;若已知两边的比值或一个三角函数值,而不能直接求出对应边的长,则可采用设元的方法求解;利用互余两角的三角函数关系式,改求其余角的三角函数值;当直接用三角函数定义求某锐角的三角函数值较为困难时,可通过相等角进行转换求解.类型1运用定义求三角函数值1.在RtABC中,CD是斜边AB上的高线,已知ACD的正弦值是23,则ACAB的值是(D)A.25B.35C.52D.232.如图,在RtABC中,CD是斜边AB上的高,则下列线段的比等于sin A的是(A)A.CDACB.BDDCC.BCACD.CDBC3.一个等腰三角形的腰是10,底边是12,求这个三角形顶角的正弦值、余弦值和正切值.解:设三角形顶角为A,底角为B,C.则有AB=AC=10,BC=12,作ADBC于点D,作CEAB于点E.AB=AC,ADBC,BD=CD=6.在RtABD中,AD=AB2-BD2=102-62=8,又SABC=12ABCE=12BCAD,CE=9.6.在RtACE中,AE=AC2-CE2=102-9.62=2.8,sin BAC=CEAC=9.610=0.96,cos BAC=AEAC=2.810=0.28,tan BAC=CEAE=9.62.8=247.类型2巧设参数求三角函数值4.若a,b,c是ABC中A,B,C的对边,且abc=123,则cos B的值为(B)A.63B.33C.22D.245.如图,在ABC中,B=90,C是BD上一点,DC=10,ADB=45,ACB=60,求AB的长.解:设AB=x,在ABD中,ADB=45,B=90,AB=BD=x.B=90,ACB=60,BC=xtan60=33x.又BD=BC+DC,x=33x+10,x=15+53,AB的长为15+53.6.如图,在RtABC中,C=90,BAC的平分线交BC于点E,EFAB于点F,F恰好是AB的一个三等分点(AFBF).(1)求证:AC=AF;(2)求tan CAE的值.解:(1)C=90,ECAC.AE平分BAC,EFAB,EC=EF.在RtACE和RtAFE中,EC=EF,AE=AE,RtACERtAFE,AC=AF.(2)F是AB的一个三等分点(AFBF),设BF=x,AF=2x,则AC=2x,AB=3x.在RtACB中,由勾股定理得BC=(3x)2-(2x)2=5x.tan B=ACBC=2x5x=25,在RtEFB中,EF=BFtan B=2x5,CE=EF=2x5,tan CAE=CEAC=55.类型3利用互余的两角的三角函数关系求锐角三角函数值7.在ABC中,C=90,则下列式子成立的是(A)A.sin A=cos BB.sin Atan A=cos AC.sin Acos B=1D.sin A=sin (90-A)8.在ABC中,A,B为锐角,且有sin A=cos B,则这个三角形是(B)A.等腰三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形类型4等角代换求三角函数值9.在ABC中,C=90,a,b,c分别是A,B,C的对边,那么c等于(B)A.acos A+bsin BB.asin A+bsin BC.asinA+bsinBD.acosA+bsinB10.(咸宁中考)如图,已知直线l1l2l3l4,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,则sin =55.11.请你画出一个以BC为底边的等腰ABC,使底边上的高AD=BC.(1)求tan ABC和sin ABC的值;(2)在你所画的等腰ABC中,假设底边BC=5,求腰上的高BE.解:图略.(1)tan ABC=2,sin ABC=255.(2)BE=25.类型5构造法求三角函数值12.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sin 的值是(C)A.35B.34C.45D.4313.如图,在ABC中,B=135,tan A=25,BC=62.(1)求AC的长;(2)求ABC的面积.解:(1)过点C作CDAB交AB的延长线于点D.在ABC中,ABC=135,CBD=45,BD=CD.BC=62,BD=CD=6.tan A=25,AD=CDtanA=15,AB=AD-BD=9.AC=152+62=329.(2)SABC=12ABCD=1296=27.14.学习过三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的,可以在等腰三角形中建立边角之间的联系,我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图,在ABC中,AB=AC,顶角A的正对记作sad A,这时sad A=底边腰=BCAB.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述对角的正对的定义,解下列问题:(1)sad 60的值为(B)A.12B.1C.32D.2(2)对于0A180,A的正对值sad A的取值范围是0sad A2.(3)已知sin =35,其中为锐角,试求sad 的值.解:(3)如图,在ABC中,ACB=90,sin A=35.在AB上取点D,使AD=AC,作DHAC,H为垂足,令BC=3k,AB=5k,则AD=AC=(5k)2-(3k)2=4k,又在ADH中,AHD=90,sin A=35.DH=ADsin A=125k,AH=AD2-DH2=165k.则在CDH中,CH=AC-AH=45k,CD=DH2+CH2=4105k.于是在ACD中,AD=AC=4k,CD=4105k.由正对的定义可得,sad A=CDAD=105,即sad =105.
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